第12章-量子物理基础省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

§12.6

波函数与波函数统计诠释(Wavefunctionandstatisticalexplanationofwavefunction)(1)12.6.1波函数(Wavefunction)12.6.2自由粒子波函数(Wavefunctionoffreeparticle)12.6.3波函数统计诠释(Statisticalexplanationofwavefunction)*12.6.4波函数线性叠加原理1/43定义:任何一个详细波动都能够用空间和时间函数来描述,这么函数称为波函数,用符号

(x,y,z,t)表示比如:频率为

、波长为

、沿x轴方向传输单色平面机械波,其波函数为或写成复数形式(2)对实物粒子而言,德布罗意波波函数怎样？12.4.1波函数(Wavefunction)量子力学假设:微观粒子运动状态用波函数

描述。2/4312.4.2自由粒子波函数(Wavefunctionoffreeparticle)设一自由粒子,不受外力作用,则粒子作匀速直线运动(设沿x轴),其动量Px、能量E均保持恒定。

=E/h恒定！

=h/Px恒定！这种波只能是单色平面波。x或由不确定关系,有

Px=0

x

弥散在整个x方向上

E=0

t

波列长为

结论:自由粒子DeBröglie波是单色平面波。(3)从波动观点看来:由德布罗意关系,有3/43其波函数为:由德布罗意关系式常写成复数:zxy(4)三维运动自由粒子波函数:注意描述微观粒子运动状态波函数因情况不一样而不一样。4/4312.6.3波函数统计诠释(Statisticalexplanationofwavefunction)光强与光振动平方成正比:I

E2物质波强度与波函数模平方成正比，即I

|Ψ|2=

(5)物质波与光波类比后玻恩假定:玻恩(BornM.1882-1970)德国物理学家其中

是

复共轭,把

中i(虚数)变成–i即得到

。5/43粒子一个一个地入射到单缝上:较长时间以后U(6)极大值极小值粒子观点很多粒子抵达没有粒子抵达波动观点波强度大,|

|2大波强度为零,

|

|2=0统计观点t时刻单位体积内粒子出现概率为|

|26/43结论:在空间dV=dxdydz内,波函数

可视为不变,t时刻,在(x,y,z)点处dV内粒子出现概率为

2dV－在t时刻粒子出现在(x,y,z)点附近dV体积元内概率。－在t时刻粒子出现在V体积内概率。

2－在t时刻粒子出现在(x,y,z)点处单位体积内概率,即粒子出现概率密度。所以波函数

相当于是概率振幅,简称概率幅(probabilityamplitude)。dW=|

|2dV=

dV

(7)以下熟练掌握(重点):7/431)波函数

是空间和时间复函数,无物理意义,而|

|2表示概率密度,有物理意义。

(8)说明2)因概率密度|

|2必须为空间坐标(x,y,z)单值、有限、连续函数,所以

也是空间坐标(x,y,z)

单值、有限、连续函数,称为波函数标准化条件(standardcondition)。

粒子在整个空间内出现概率为1,即3)满足上式波函数称为归一化波函数,上式称为归一化条件(normalizingcondition)。8/43例13:设粒子处于由下面波函数描述状态:0求:粒子在x轴上分布概率密度。解:首先把给定波函数归一化,设归一化波函数为

(x)＝C(x)其中C为待求归一化因子。由归一化条件：得(9)9/43C＝(2/a)1/2则归一化波函数为(10)0归一化之后,|

(x)

|2就代表概率密度了,即0怎样求在(0,a)区间内发觉粒子概率?10/43*12.6.4波函数线性叠加原理x

2电子双缝试验:单缝“1”打开,“2”关闭,波函数为

1单缝“2”打开,“1”关闭,波函数为

2双缝都打开,波函数为:

=C1

1+C2

2

“1”“2”(11)11/43波函数线性叠加原理:假如

1、

2、····

n都是系统可能状态,那么它们线性叠加也是这个系统一个状态。即:也是系统一个可能状态。双缝试验中:干涉项(12)12/43(13)§12.7薛定谔方程(Schrödinger’sEquation)宏观物体运动遵照运动方程,由方程解出位矢是描述物体运动状态基本物理量。描述微观粒子运动规律基本方程是薛定谔方程由方程解出描述微观粒子运动状态物理量称为波函数

薛定谔(SchrödingerE.,1887-1961)奥地利物理学家怎样建立在给定条件(普通是给定一势场)下薛定谔方程,继而求解对应波函数?13/4312.7.1建立薛定谔方程(FoundingSchrödingerEquation)

粒子在x轴方向匀速直线运动,E,P,

,

不变(14)非相对论效应:(1)

对x求二阶导数二边再乘

2/(2m)得一维自由粒子波函数:1.建立一维运动自由粒子薛定谔方程(FoundingSchrödingerequationoffreeparticle)

其中称为动量算符,记为14/43(2)(1)、(2)式合并得:一维运动自由粒子薛定谔方程(Schrödingerequationoffreeparticle)(15)

对t

求一阶导数二边再乘i

得意义：它描述一维运动自由粒子波函数随时间演化规律。其中称为能量算符,记为15/43(3)(1)、(3)式合并得:上式为势场中一维运动粒子薛定谔方程。(16)2.建立势场中一维运动粒子薛定谔方程粒子处于势埸中,含有势能U(x,t)将该式代入(2)式得:总能量:16/433.建立势场中三维运动粒子薛定谔方程设作三维运动粒子,处于势场为U(x,y,z,t)中,其波函数为

(x,y,z,t)。引入拉普拉斯算符(Laplaceoperator)则引入哈密顿算符(Hamiltonianoperator)三维运动粒子薛定谔方程。(17)17/4312.7.2定态薛定谔方程(重点)(StationarySchrödingerEquation)定态问题:U(x,y,z)(即势能)不随时间改变。

(x,y,z,t)能分成二部分函数乘积,即将上式代入薛定谔方程再二边同除以

(x,y,z,t),得上式二边须都为常数,令常数为E(含有能量量纲),得(4)(4)式右边:(5)式解为(5)(18)18/43(4)式左边也为E,整理得此式解为

(x,y,z),叫定态波函数,对应状态为定态。称为定态薛定谔方程(stationary

Schrödingerequation)(5)式解与此式解乘积为粒子波函数:(19)结论:对于定态问题,概率分布不随时间改变粒子概率密度:19/43量子力学中处理微观粒子运动问题方法(重点)：1)已知粒子质量m和它在势场中势能函数U(x,y,z,t)

形式,便可写出薛定谔方程。2)由初始条件、边界条件求解可得波函数

(x,y,z,t)。(20)3)|

|2给出粒子在任意时刻任一位置出现概率密度。假如一个算符作用到波函数上等于一个数乘以这个波函数,则这个波函数是该算符本征函数,这个数值称为该算符本征值,这个方程称为该算符本征方程。本征函数本征值本征方程20/43代入上式可得：其基态能量(n=1)为(21)解:该粒子薛定谔方程为例14:一个被关闭在一维箱子中粒子,其质量为m,

箱子两个理想反射壁之间距离为L,若粒子波函数为求:粒子能量表示式。n=1,2,

21/43§12.8一维势场中粒子(Particlesinpotentialfield)

12.8.1一维无限深方势阱中粒子(Particlesininfinitudedeepsquarepotentialwell)

12.8.2势垒穿透(Barrierpenetration)12.8.3简谐振子(Harmonicoscillator)(22)22/4312.8.1一维无限深方势阱中粒子(Particlesininfinitudedeepsquarepotentialwell)

质量为m粒子在0<x<a

区域自由运动(23)粒子势能分布:

U(x)=00<x<a

U(x)=∞x≤0,x≥a问题:在势阱内、外求解定态薛定谔方程mE电子在金属中势能曲线质子在原子核中势能曲线一、一维无限深方势阱中粒子运动问题23/43二、一维无限深方势阱中粒子定态薜定谔方程求解(6)令代入上式得(7)(7)式通解为(24)(8)1.在势阱外(x≤0,x≥a):2.在势阱内(0<x<a):[

(x)有限性]24/43(9)(10)由(9)得B=0由(10)式A·sinka=0解得ka=n

n=1,2,3…..n=1,2,3…….称为量子数。(25)由边界条件解:x=0[

(x)单值,连续]

x=a由归一化条件求A解得25/43(26)波函数为0＜x＜an=1,2,3,…定态波函数为0＜x＜an=1,2,3,…

En=n2E1称为能量本征值(energyeigenvalue)是与本征值En对应本征函数(eigenfunction)26/43(27)

n=1

称为基态能量(又叫零点能)

(zero-pointenergy)1.粒子能量是量子化

(解方程自然得来)n=1,2,3,…三、一维无限深方势阱中粒子运动特征2.粒子最小能量不等于零(∵n=0∴

n(x,t)=0,无意义)E2=4E1E3=9E1E4=16E1E1n=1n=2n=3n=4oa由不确定关系解释为何E10？27/43n=1,2,3,…4.粒子出现概率密度分布(重点)3.对电子而言,当a=1cm时,

E=(2n+1)

3.77

10-15[eV]电子能量看作是连续。电子能量量子化特征显现。当n＞＞1时,能级相对间隔为经典物理能够看成是量子物理中n

时极限。(28)当a=10-10m时,

E=(2n+1)

37.7[eV]28/435.以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波右行波左行波(29)mEoaU(x)xEaoxE1

1(x)

2(x)

3(x)

4(x)E2E3E4n=1n=2n=3n=4aox

1(x)

2

2(x)2

3(x)

2

4(x)

2EE1E2E3E4n=1n=2n=3n=429/43例15:一粒子在一维无限深势阱中运动,其波函数为势阱边缘在x=0和x=a处,求:1)归一化常数A,

2)粒子在a/4到a区间内出现概率?3)粒子坐标平均值。解:1)由波函数归一化条件得(30)30/432)粒子在(0,a/4)区间内出现概率为粒子在(a/4,a)区间内出现概率为1

0.091=0.9093)粒子坐标x平均值为(31)31/43例16:一维无限深势阱中粒子定态物质波相当于两端固定弦中驻波,因而势阱宽度a必须等于德布罗意波半波长整数倍。(1)试由此求出粒子能量本征值为(2)在核(线度1.0×10-14m)内质子和中子能够当成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中运动是自由。按一维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放出能量是多少MeV？解：在势阱中粒子德布罗意波长为粒子动量为(32)32/43粒子能量为(2)由上式,质子基态能量为(n=1):第一激发态(n=2)能量为E2=4E1=13.2

10-13[J]

n=1,2,3…从第一激发态转变到基态所放出能量为n=1n=2n=3(33)33/431.半无限深方势阱势垒穿透定态薛定谔方程:必须满足标准化条件下,求解薛定谔方程,“自然地”得到以下列图所表示量子化能级、波函数和概率密度。12.8.2势垒穿透(Barrierpenetration)(34)oa/2xU0U(x)-a/2mE半无限深方势阱势能函数为粒子沿x方向运动34/43量子力学:能量小于U0粒子,只能在阱内运动,不可进入其能量小于势能x>a/2区域,不然动能将为负值。薛定谔方程给出解

(x),在其势能U0大于总能量E区域x>a/2内即使逐步衰减,但仍有一定值。结论:与经典理论不一样,量子力学指出微观粒子能进入势能远大于总能量区域。经典理论:(35)E1E3E2-a/2a/2xU0

n|

n|2o35/43解薛定谔方程,可得如图所表示波函数。可见,能量低于势垒高度粒子不但有可能进入势垒内部,且还有一定概率穿过势垒,这种现象称为隧道效应(tunnelingeffect)

2(x)对有限厚度势垒,粒子势能函数为a越小,U0越小,穿透率越高(36)U(x)oaxU0E2mE1m

1(x)36/432.隧道效应应用隧道效应已经被试验完全证实。

粒子从放射性核中放出就是隧道效应例子,黑洞量子蒸发、热核反应也是隧道效应结果。隧道效应主要应用是扫描隧道显微镜。(37)

(x)UoaxU0Em37/43http://www.uwo.ca/iswSilicon(Si)atomsGerdBinnigHeinrichRohrerRussellYoungComputerScreen将采集隧道电流信号送到计算机中

扫描隧道显微镜(STM—scanningtunnelingmicroscopes)(38)样品表面电子云扫描探针

NobelPrize1986

38/431994年中国科学家“原子书法”原子操纵不是梦1993年科罗米(M.F.Crommie)将48个Fe原子栽到铜表面上组成