Chapt-2-复变函数的积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第二章复变函数积分§2.1复变函数积分

复平面上路积分定义:复平面分段光滑曲线l上连续函数f(z)，作和••••A••xyo•Bz0znlz1zk-1zk

k1第1页存在且与

k选取无关,则这个和极限称为函数f(z)沿曲线l从A到B路积分，记为

即若2第2页

分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy

参数形式：曲线l参数方程{x=x(t),y=y(t)},起始点A和结束点

B

tA,tB3第3页几个主要性质1。常数因子能够移到积分号之外2。函数和积分等于各函数积分和3。反转积分路径，积分值变号4第4页4。全路径上积分等于各分段上积分之和即：假如l=l1+l2+……+ln5。积分不等式1：6。积分不等式2：其中M是|f(z)|在l上最大值，L是l全长。5第5页例计算积分解普通言,复变函数积分不但与起点和终点相关,同时还与路径相关.oxyl1l1l2l211+ii6第6页§2.2柯西（Cauchy）定理——研究积分与路径之间关系（一）单连通域情形单连通域在其中作任何简单闭合围线，围线内点都是属于该区域内点 单连通区域Cauchy定理

：假如函数f(z)在闭单连通区域中单值且解析，则沿中任何一个分段光滑闭合曲线c(也能够是边界l),函数积分为零。7第7页oxylco证实：由路径积分定义：因f(z)在上解析，因而在上连续，8第8页对实部虚部分别应用格林公式

将回路积分化成面积分又u、v满足C-R条件故9第9页推广：若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线C(也能够是边界)，有

（二）复连通域情形假如区域内存在：（1）奇点；（2）不连续线段；（3）无定义区为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当围道l1、l2、l3把它们分隔开来，形成带孔区域-复连通区域。10第10页普通言，在区域内，只要有一个简单闭合围线其内有不属于该区域点，这么区域便称为复连通域区域边界限正向当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者左边。

xy

l1l2l3l0Bo11第11页复连通区域Cauchy定理：假如f(z)是闭复连通区域中单值解析函数，则l为外边界限，

li为内边界限，积分沿边界限正向证：作割线连接内外边界限12第12页13第13页即14第14页柯西定理总结：1。若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线C(也能够是边界)积分为零；2。闭复连通区域上单值解析函数沿全部内外境界限正方向积分为零；3。闭复连通区域上单值解析函数沿外境界限逆时针方向积分等于沿全部内境界限逆时针方向积分之和；15第15页由Cauchy定理可推出：（与开头呼应！）在闭单连通区域或复连通区域中解析函数f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。16第16页证实：由图可知其中表示C2反方向。由积分基本性质可得：ADBC2C117第17页最终可得：只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时（不跳过“孔”）时，函数路积分值不变18第18页§2.3不定积分（原函数）

依据Cauchy定理，若函数f(z)在单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑曲线l积分只与起点和终点相关，而与路径无关。所以假如固定起点z0而改变终点z,这个不定积分便定义了一个单值函数F(z):

19第19页F(z)性质：(1)F(z)在B上是解析；(2)即F(z)是f(z)一个原函数。

原函数不是唯一，但原函数之间仅仅相差一常数，这一常数决定于起点z0。能够证实：20第20页

例一：计算积分 解：（1）当n-1时，zn原函数是z(n+1)/(n+1)故 （2）当n=-1时，z-1原函数是ln(z),故21第21页注意：此积分与路径相关系！因为z=0是1/z一个奇点。普通：假如被积函数有奇点，则由不定积分给出函数可能是多值。被积函数奇点，可能是该函数支点。22第22页例二：计算积分 其中C是正向圆周|z|=a>0. 解：显然函数ezsinz在复平面上处处解析，由Cauchy定理知

故

注意：此题若用复积分计算公式，则非常复杂，甚至可能得不到结果！23第23页例三（非常主要）：计算积分I

(n为整数）解：（1）假如l

不包含点，被积函数总解析,按柯西定理，I=0;(2)假如l

包含点,又要分两种情况： (a)n0,因被积函数解析，故I=0; (b)n<0,被积函数在l内有奇点

l•

R

C24第24页用半径为R圆周C包围

点，则l+C

组成复连通区域，所以原积分变成圆周C上积分，在C上

故:

25第25页这么,(一)n-1,(二)

n=-1,

总结起来有26第26页§2.4柯西（Cauchy）公式

解析函数是一类具特殊性质函数，特殊性表现之一是，在解析区域各处函数值并不相互独立，而是亲密相关，这种关联表现之一就是Cauchy积分公式一、单连通域情形若f(z)在闭单通区域上单值解析；l为境界限，为内任一点，则有Cauchy积分公式：27第27页证实：由（2.3.4）式从而仅需证实因被积函数普通以为奇点，作如图所表示回路，有••l28第28页对右端值作一预计因于是（2.4.2）左端与无关，故必有29第29页正向变量代换对复连通区域，（2.4.3）式仍成立只要将l了解成全部境界限，且均取正向Bl1l2l•

z30第30页二、无界区域Cauchy积分公式 假如：f(z)在l’外部解析，且当|z|时，f(z)0(一致)，则：

注意：l和l’方向不一样，但都是所考虑区域正方向（正方向是指：当沿着该方向走动时，所考虑区域一直在左方）l’•

z31第31页三、Cauchy积分公式主要推论（任意次可导！）：

32第32页本章基本要求：

1.掌握科希定理和科希公式，了解其证实方法及关键步骤。2．掌握(2．3．4)式及(2．3．5)式33第33页THEEND34第34页例一、计算积分I,其中C为不经过点0和1正向曲线。 解：(1)假如0和1都不在C中，则被积函数解析，因 此,由Cauchy定理得I=0; (2)若仅0在C内,函数在C上及C包围区域解析，由Cauchy积分公式，得到C•z=0•z=135第35页 （3）若仅1在C内,函数在C上及C包围区域解析，由Cauchy积分公式，得到 (4)若0和1都在C内，由Cauchy定理CC•z=1•z=0•z=0•z=1C1C036第36页

而在C0上及C0包围圆内

f0(z)解析，一样，在C1上及C1包围圆内

f1(z)解析，故利用Cauchy积分公式，有上面结果得 最终，我们有：其中D为曲线C包围区域。37第37页