双曲线专题练习- 高三数学一轮复习

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高三数学上学期一轮复习专题：双曲线一、单选题1．已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（

）A． B． C． D．2．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．93．双曲线的离心率为，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为（

）A． B． C．2 D．44．已知函数图象恒过的定点在双曲线的一条渐近线上，双曲线离心率为e，则等于（

）．A．2 B．3 C．4 D．55．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（

）．A． B． C． D．6．已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（

）A．4 B． C． D．7．已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，圆上的点到C的一条渐近线的距离的最大值为，A是双曲线C右支上一点，线段与双曲线C的左支交于点B，若的重心与内心重合，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（

）A．向量在上的投影向量为B．若为直角三角形，则为等轴双曲线C．若，则的离心率为D．若，则的渐近线方程为10．已知双曲线的右焦点为，虚轴上端点为，线段与及的一条渐近线分别交于点，.若，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为3 B．的渐近线的倾斜角为C． D．11．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，则下列结论正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．若是双曲线上的动点，则满足的点共有两个C．D．内切圆的半径为三、填空题12．已知双曲线的离心率，圆与双曲线E的渐近线相切，则．13．已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为.14．双曲线的两条渐近线分别为，经过的右焦点的直线分别交于两点，已知为坐标原点，反向，若的最小值为9a，则的离心率为.四、解答题15．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，其中O为坐标原点，求证：的面积S是定值．16．已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．(1)求双曲线E的离心率；(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．17．已知双曲线中，焦距为，且双曲线过点．斜率不为零的直线与双曲线交于两点，且以为直径的圆过点．(1)求双曲线的方程；(2)是否存在直线，使得点到直线的距离最大？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．18．已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为A−4,0，B4,0(1)求的方程；(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．（i）证明：点在定直线上：（ii）若直线与交于点，求证：PF2⊥QF19．已知双曲线的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为，离心率为，(1)求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的右支上异于点的动点，直线与直线相交于点，直线与双曲线的另一个交点为，直线垂直于点，问是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由，答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.【详解】因为双曲线C的焦点为在纵轴上，所以，且双曲线C方程满足，故，则C的方程为．故选：D．2．D【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】椭圆的焦点为，依题意可得，所以，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为.故选：D3．A【分析】根据题意，求得，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】由双曲线的离心率为，可得，解得，所以，又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为.故选：A.4．C【分析】先利用对数函数的性质，求得函数的图象恒过定点，代入双曲线的渐近线方程，求得，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由函数，令，可得，且，所以函数的图象恒过定点，又由双曲线的一条渐近线方程为，将点代入渐近线方程，可得，解得，所以双曲线的离心率为，所以.故选：C.5．B【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点.【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为，为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点，设的内切圆与分别切于，如图所示，

则根据双曲线的定义及圆的性质可知：，又，得，故为双曲线的右顶点.同上分析，当双曲线方程为时，为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），设的内切圆与分别切于，可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标.所以此时的内切圆恒过定点.故选：B.6．C【分析】双曲线的左顶点A−2,0，设，根据图形特征求出点坐标，从而可求的面积.【详解】由题意得A−2,0，点B和点C若是等腰直角三角形，由双曲线的对称性可得A为直角顶点，设，由对称性有，则有，代入双曲线方程，解得，，则有等腰直角三角形的斜边，三角形的高，所以.故选：C.7．B【分析】由，得，令，中，由正弦定理解得，可求双曲线离心率.【详解】设O为坐标原点，由，得，又两渐近线关于轴对称，所以直线斜率为，则，令，则，中，由正弦定理得，即，解得，故，所以的离心率故选：B8．B【分析】首先得到圆的圆心和半径，判断渐近线与圆的位置关系，得到圆心到渐近线的距离，进而利用点到直线的距离公式求得，得到，然后根据的重心与内心重合得到，，即可利用双曲线的定义、余弦定理及同角三角函数的基本关系得到直线的斜率，从而得到直线的方程．【详解】圆的圆心为0,2，半径，原点在圆的内部，则的渐近线与圆相交，依题意可得圆心到渐近线的距离为，则，得，设双曲线的焦距为，则，．由题不妨设在轴上方，若的重心与内心重合，则为等边三角形，

则，．由双曲线的定义得，又，所以，又，所以，则，，故直线的斜率为．由对称性可知当在轴下方时，直线的斜率为．综上，直线的方程为．故选：B．9．ABD【分析】由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判断A，由已知可得渐近线的倾斜角为，可判断B，设，解得，可得，可判断C，设,可得，代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D.【详解】对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确；对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，，为等轴双曲线，故B正确；对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，，，，，，故C错误；对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，，，在双曲线上，，，，的渐近线方程为，即，故D正确.故选：ABD10．BC【分析】通过求出，利用点在渐近线上得到a，c关系，从而求出离心率及渐近线的斜率，判断A、B选项，设，则，将点的坐标代入求解，进一步得，判断C、D选项.【详解】由题意得，．因为，所以，由点在的一条渐近线上，得，得，所以的离心率，故A错误；由，得，所以的渐近线方程为，由题意可知的一条渐近线的方程为，其倾斜角为，故B正确；设，则，将点的坐标代入，得，所以，故C正确；又，，所以，故D错误.故选：BC.11．ACD【分析】求出双曲线的渐近线方程判断A；按点P在左支、右支确定的点P个数判断B；利用双曲线定义结合勾股定理计算判断C；利用双曲线定义结合直角三角形内切圆半径公式计算判断D作答.【详解】双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距，焦点，对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确；对于B，设点，则，，解得或，当时，，当时，有两个值，即符合条件的点P有3个，B错误；对于C，由双曲线定义知，而，且，则，即有，因此，C正确；对于D，由双曲线定义知，因为，所以内切圆的半径：，D正确.故选：ACD12．【分析】根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式得，根据离心率公式求得，等量关系，即可求解．【详解】解：由题可知双曲线其中一条渐近线方程，即，因为其与圆相切，故可得：①，又，所以，因为，所以②，②代入①得，则．故答案为：．13．【分析】求出渐近线方程，写出直线的方程，联立渐近线求出和，求出三角形面积.【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为.不妨设直线为过右焦点且与渐近线垂直的直线，则直线的方程为，联立，解得，即.同理，联立，解得，即，所以.故答案为：.14．【分析】联立渐近线与直线的方程，可得坐标，继而根据点点距离公式可得，即可利用基本不等式求解最值得求解.【详解】设渐近线的方程分别为，，设直线的方程为，联立与可得，，故，同理联立与可得，由于反向，所以位于一四象限，故，故，，当且仅当,即时等号成立，故最小值为，因此，故，故答案为：【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由双曲线的渐近线方程结合点到直线的距离公式可求双曲线方程；（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，线段的长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点Fc,0，，，，解得．，，，双曲线C的标准方程为；（2）①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为，此时易得，点到直线的距离为，所以此时；②当直线的斜率存在时，设直线为，由得，因为直线于双曲线相切，所以且，整理得且，即，由得，则，同理得到，所以点到直线的距离所以，所以的面积为定值.

【点睛】方法点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用公式求得AB，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.16．(1)(2)【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率；（2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解.【详解】（1）由题意知，且，

，所以双曲线的离心率．（2）由（1）知双曲线方程为，将即代入，得，

不妨设，所以．17．(1)(2)存在，【分析】（1）待定系数法求解双曲线方程；（2）方法一：设直线，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据得到，即或，分两种情况讨论，得到直线过定点，要想到直线的距离最大，则⊥，从而求出直线的方程；方法二：齐次化求解，平移双曲线得，设平移后的直线方程为，变形得到，根据斜率之积为-1得到则直线过定点，从而原直线过定点，要想到直线的距离最大，则⊥，从而求出直线的方程；【详解】（1）由题意得，且，又，解得，故双曲线方程为；（2）设直线，联立得，设Ax则，由题意得，即，将代入上式，，即，化简得，变形为，故或，当时，直线，经过定点，与重合，不合要求，当时，直线，经过定点，要想到直线的距离最大，则⊥，其中故直线的斜率，故直线的方程为，即.经检验，满足要求.方法二：平移双曲线得，即，设平移后的直线方程为，则有，即，两边同除以得，由题意得，设，则，则直线过定点，将向左平移3个单位，向上平移1个单位，则原直线过定点，要想到直线的距离最大，则⊥，其中故直线的斜率，故直线的方程为，即，经检验，满足要求.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.18．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由点，的坐标可知，结合离心率可得，即可得，即可得双曲线方程；（2）设出Mx1,y1，Nx2,y2，可表示出直线与的方程，借助联立直线l与【详解】（1）由点，的坐标可知，离心率为e=ca=54所以双曲线方程为；（2）（ⅰ）设直线为：x=my+5，联立双曲线得x=my−5x216消去得：9m2根据题意得：9m2设Mx1,y1，Nx1+x2=直线：y=y1x1+4x+4，因为在直线：y=9x1−416y令9x可得9=81解得，故点在直线上；（ⅱ）由双曲线对称性可知，点也在直线上，设P165,y3，Q165点在直线ANy=y2xF==8125+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程