第二章知识点总结与例题讲解导学案- 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第78页等式性质与不等式性质知识点总结与例题讲解（新教材）一、本节知识点（1）两个实数的大小比较.（2）不等式≥的探究.（3）不等式的基本性质.二、本节题型（1）比较两个代数式的大小.（2）利用不等式的性质证明不等式.（3）利用不等式的性质求取值范围.三、知识点讲解知识点两个实数的大小比较关于实数的大小比较,有以下基本事实:如果是正数,那么;如果等于0,那么;如果是负数,那么.反过来也成立.用符号表示为:.作差法比较两个代数式的大小利用作差法比较大小的一般步骤为:（1）作差;（2）变形:对差进行变形.（3）判号:判断差的符号（如果差中含有参数,则需要进行分类讨论）.（4）定论:根据差的符号作出大小判断.即:作差变形判号定论.作差法的关键在于变形,常用的变形为:因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等.知识点不等式≥的探究一般地,R,有≥当且仅当时,等号成立.（1）公式的证明（作差法）:∵R,≥0∴≥0∴≥.当且仅当时取等号.（2）公式的变形=1\*GB3①≤（R）,当且仅当时取等号;=2\*GB3②≥（≥）（R）,当且仅当时取等号.变形=2\*GB3②的证明:证明:∵≥∴≥（不等式的两边同时加上）∴≥∴≥（不等式的两边同时乘以）∴≥,（R）,当且仅当时取等号.知识点不等式的基本性质不等式的基本性质有7条,分别如下:性质1（对称性）.（可逆）性质2（传递性）.性质3（可加性）.（可逆）性质3推论（移项法则）.（可逆）性质4（可乘性）;.（不可逆）性质5（同向可加性）.（不可逆）性质6（同向同正可乘性）.（不可逆）性质7（正数可乘方性）（N,且≥2）.性质7推论（正数可开方性）（N,且≥2）.不等式性质的拓展倒数法则（1）;（2）.即.不等式性质的证明性质1（对称性）的证明:.证明:∵,∴,∴,∴;∵,∴,∴,∴.∴.性质2（传递性）的证明证明:∵,∴∵,∴∴∴.性质3（可加性）的证明证明:∵,∴∴∴.∵∴,∴∴.∴.性质3推论（移项法则）的证明.证明:∵∴由不等式的基本性质3（可加性）可得:∴.∵∴由不等式的基本性质3（可加性）可得:∴.∴.说明相同的方法还可证明:.性质4（可乘性）的证明;.∵,∴∵∴,即∴.同理可证:.性质5（同向可加性）的证明.证明:∵∴由不等式的性质3（可加性）可得:∵∴由不等式的性质3（可加性）可得:,即由不等式的性质2（传递性）可得:.性质6（同向同正可乘性）.证明:∵∴由不等式的基本性质4（可乘性）可得:∵,∴由不等式的基本性质4（可乘性）可得:由不等式的基本性质2（传递性）可得:.∴.倒数法则的证明:证明:∵,∴∴由不等式的基本性质4（可乘性）可得:,即∴.倒数法则的证明:证明:∵,∴∴由不等式的基本性质4（可乘性）可得:,即∴.方法二:∵,∴∴∴,即.四、例题讲解例1.若,求证:.分析这里采用作差法证明.证明:∵∴由不等式的基本性质6（同向同正可乘性）可得:,∴∵∴,即∴.例2.已知,求证:.分析要证明,因为,所以只需证明（倒数法则）即可.证明:∵,∴∵∴.（不等式的基本性质4）例3.已知.求证:.证明:∵,∴∵∴,即（同向可加性）∴（倒数法则）∵∴.例4.已知R.求证:≤≤.证明:∵R,≥0∴≥0∴≥∴≥.∵≥∴≥∴≥∴≥,即≥.∵≥∴≥∴≥∴≥∴≥.综上所述,≤≤.例5.已知.求证:.证明:∵∴∴∴（倒数法则）∴由不等式的基本性质6（同向同正可乘性）可知:.例6.已知.求证:.分析这里采用作差法证明.证明:∵∴∴∴∴.例7.已知.求证:.分析注意.证明:∵∴∴∴∴.例8.已知,比较与的大小.分析这里采用作差法证明.利用作差法比较大小的一般步骤为:（1）作差;（2）变形:对差进行变形.（3）判号:判断差的符号（如果差中含有参数,则需要进行分类讨论）.（4）定论:根据差的符号作出大小判断.即:作差变形判号定论.作差法的关键在于变形,常用的变形为:因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等.解:∵∴∵恒成立∴∴.例8.已知≥1,试比较和的大小.分析利用分母有理化进行比较.解:∵≥1,∴∴∴.例9.设,比较与的大小.分析对于两个同号的数比较大小,还可以采用作商法比较大小.（1）若,且,则.（2）若,且,则.解:∵,∴∴∵∴∴.例10.比较与的大小.分析这里利用正数可开方性进行证明.解:,∵∴∴∴∴∵∴∴.重要结论若,且,则.例10在得出时,因为,所以根据上面的结论即可得出.利用不等式的基本性质求取值范围例11.已知,试求与的取值范围.解:∵∴∴∴的取值范围是.∵∴∴∴∴的取值范围是.例12.已知,求的取值范围.解:∵∴.∵∴∴.∴的取值范围为.例13.已知,求的取值范围.分析在使用不等式的基本性质4（可乘性）时,应注意所乘数的正负.解:∵,∴∵∴=1\*GB3①当0时,∴,∴;=2\*GB3②当时,;=3\*GB3③当时,∴.综上所述,的取值范围是.方法总结（1）同向不等式具有可加性,同向同正不等式具有可乘性,但不能相减和相除.（2）不等式的两边同时乘以同一个正数,不等号方向不变;不等式的两边同时乘以同一个负数,不等号方向改变.例14.已知,且,求的取值范围.解:设,则有∴,解之得:.∴.∵,∴∴∴∴∴的取值范围是.方法总结已知两个关于线性关系的代数式的取值范围,求另一个关于线性关系的代数式的取值范围的方法:根据条件确定（均为实数）的取值范围时,首先采用待定系数法,令,从而得到,求得的值,即可得到的取值范围.注意,用其它的方法求得的范围会比实际范围大.例14.已知,,分别求及的取值范围.解:∵,∴∴∴的取值范围为.∵,∴∴∴∴的取值范围为.∴,∴∴∴,∴∴的取值范围为.例15.已知是正实数,求证:≥.证明（作差法）:.∵≥0,∴≥0∴≥.证明（作商法）:∵是正实数∴,∴.∵≥0,∴≥1∴≥.例16.已知二次函数的图象过原点且≤≤1,3≤≤5,求的取值范围.解:由题意可设.∴设∴∴,解之得:.∴∵3≤≤5,≤≤1∴≤≤3∴0≤≤8∴0≤≤8.即的取值范围为.基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式.二、本节题型（1）利用基本不等式求最值.（2）利用基本不等式证明不等式.（3）基本不等式的实际应用.（4）与基本不等式有关的恒成立问题.三、知识点讲解知识点基本不等式（均值不等式）一般地,R,有≥.当且仅当时,等号成立.特别地,当时,分别用代替上式中的,可得≥.当且仅当时,等号成立.通常称不等式≥为基本不等式（也叫均值不等式）,其中叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意重要不等式≥与基本不等式≥成立的条件是不一样的.前者为任意实数,后者只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是.基本不等式的变形（1）≥,≤.其中R+,当且仅当时,等号成立.（2）当时,≥2,当且仅当,即时,等号成立;当时,≤,当且仅当时,等号成立.实际上,当时,.∵≥2,∴≤,即≤.当且仅当,即（）时,等号成立.（3）当同号时,≥2,当且仅当时,等号成立;当异号时,≤,当且仅当时,等号成立.（4）不等式链:≤≤≤（,当且仅当时,等号成立.）其中,,,,分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数.知识点利用基本不等式求最值设,则有（1）若（和为定值）,则当时,积取得最大值;（∵R+,有≤,∴≤.）和定积最大.（2）若（积为定值）,则当时,和取得最小值.（∵R+,有≥,∴≥.）积定和最小.说明上述结论可简记为:和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等.一正:各项都必须为正数;二定:和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值;三相等:等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数,当时,≥,即≥4,当,即时,等号成立;当时,≤,≤,当时,等号成立.由此可见,对于函数,和的最值情况是不一样的.（2）当时,求的最大值时,与的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为,即可求出其最大值.∵≤∴的最大值为,当且仅当,即时,取得最大值.（3）求的最小值时,虽然与都是正数,且乘积为定值1,但是当时,有,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式一般地,R+,有≥.当且仅当时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设,则有（1）若,则当时,和取得最小值为;（2）若,则当时,积取得最大值.关于三个正数的不等式链若均为正数,则有≤≤≤.当且仅当时,等号成立.个正数的基本不等式对于个正数,则有≥.当且仅当时,等号成立.上面的不等式表明:对于个正数（≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、例题讲解例1.若,证明:≤≤≤.分析:本题即要求证明两个正数的不等式链.证明:∵∴≥0∴≥∴≤（当且仅当时,等号成立）∴≥∴≤（当且仅当时,等号成立）.∵≥∴≥∴≥∴≤,即≤.∴根据正数可开方性得:≤.∴≤（当且仅当时,等号成立）.综上所述,≤≤≤.例2.函数（）的最小值为_________,此时_________.解:∵∴≥,即≥3.当且仅当,即时,取等号.∴当时,函数（）取得最小值3.例3.已知,求的最小值.分析:当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:∵,∴.∴≥,当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为7.例4.已知,且,则的最小值是_________.解:∵,∴.∵,∴,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是3.另解:∵,∴.∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是3.例5.已知,且,求的最小值.解:∵,∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值为.点评本题若由≥,得的最小值为,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同.例6.已知,且,求的最小值.解:∵,∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值为16.另解（消元法）:∵,∴∵,∴,∴.∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值为16.例7.若正数满足,则的最小值是【】（A）（B）（C）5（D）6解:∵,∴.∵均为正数∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值是5.∴选择答案【C】.例8.（1）已知,求代数式的最小值;（2）已知,求代数式的最大值.分析:本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）∵,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴代数式的最小值为5;（2）∵,∴.∴≤当且仅当,即时,等号成立,取得最大值1.例9.已知实数,且,则的最小值是【】（A）（B）（C）3（D）2解:∵∴,整理得:.∵∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是.∴选择答案【B】.另解:.∵,∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值是.例10.设,且,则的最小值为【】（A）（B）2（C）（D）3解:∵∴,∴.∵∴≥.当且仅当,且,即时,等号成立.∴的最小值为.∴选择答案【A】.另解:∵,∴.∵,∴,解之得:.∴的取值范围为..设∵,∴.∴当时,.∴选择答案【A】.例11.代数式（）的最小值为【】（A）2（B）7（C）9（D）10分析:形如的式子可化为的形式.解:可设.∴∴,解之得:.∴.∴∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴代数式（）的最小值为9.∴选择答案【C】.另解:.∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立,.∴选择答案【C】.例12.求函数的最小值.解:∵∴≥.当且仅当,即时,等号成立..例13.已知函数（）在时取得最小值,则______.解:∵∴≥.当且仅当,即时,等号成立,函数取得最小值.∴,解之得:.实际上,函数（）,当时,函数取得最小值.所以,从而求得.例14.设正实数满足,若恒成立,则实数的取值范围是_____________.分析:利用基本不等式可求出的最小值.要使恒成立,只需即可.解:∵为正实数,∴∴≥当且仅当,即时,等号成立.∴.∵恒成立∴只需即可∴,解之得:.∴实数的取值范围是.例15.已知（）,求的最大值.分析:当两个正数的和为定值S时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到为定值,故考虑用基本不等式求函数的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解:∵,∴∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值为.另解:∵,∴∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值为.例16.求代数式（）的最大值.分析:形如的式子可化为的形式.解:∵,∴.∴≤当且仅当,即时,等号成立.∴代数式（）的最大值为0.注意使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等.例17.已知,求的最大值.解:∵,∴.∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴.例18.设,若≥恒成立,则的最大值为_________.分析:只需≥即可,这样问题就转化为求的最小值的问题.解:.∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立.（注意,当时,）∴的最小值为8.∵≥恒成立∴≤8,的最大值为8.另解:∵,∴∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为8.∵≥恒成立∴≤8,的最大值为8.例19.若对任意,≤恒成立,则实数的取值范围是_________.解:∵∴≤当且仅当,即时,等号成立.∴.∵对任意,≤恒成立∴≥.∴≥,即实数的取值范围是.例20.已知,,若≥恒成立,则实数的最大值是__________.分析:可求出的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解:∵∴.∵∴≤∴≤1,∴≥8.当且仅当,即时,等号成立..∵≥恒成立∴≤,即≤8,解之得:≤10.∴实数的最大值是10.例21.若不等式≥（常数）对一切正实数恒成立,求实数的取值范围.解:∵,∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴.∵≥对一切正实数恒成立∴只需≥即可∴≥,解之得:≥.∴实数的取值范围是.方法总结解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.例22.已知是正实数,且,则的最小值是_________,的最小值是_________.解:∵∴,∴.∵是正实数∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为.∵是正实数,∴≤∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是.例23.已知,且,则的最大值是_________,的最小值是_________.解:∵,∴≤∴≤,当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值是.∵,∴.∴≥.当且仅当,即时取等号.∴的最小值是.例24.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是【】（A）80元（B）120元（C）160元（D）240元解:由题意可知:该容器的底面积为4m2,设底面长为m,则底面宽为m,容器的总造价为元.则有≥（元）当且仅当,即时,等号成立.∴该容器的最低总造价是160元.∴选择答案【C】.例25.设,,则的最小值为_________.解:∵∴.≥.当且仅当,且,即或时,等号成立.∴的最小值为.注意注意与下面的例25做比较.例26.设,且,则的最小值为_________.分析:利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等.∵,∴≥.当且仅当时,等号成立,此时无实数解.∴上面的等号是取不到的,即的最小值不是2.解:∵,且∴≤,∴≤.设,则.∵在上单调递减∴.∴的最小值为.例27.设,求代数式的最大值.解:∵∴∴≤当且仅当,即时,等号成立.∴代数式的最大值.例28.已知,求证:≥8.证明:∵∴≥,≥,≥.当且仅当时,上面三个等号同时成立.∴≥.当且仅当时,等号成立.例29.已知,且.求证:≥9.证明:∵,∴≥当且仅当时,等号成立.例30.已知正数满足,求的最小值.解:∵∴.∵均为正数∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为.例31.若实数,且满足,则的最小值为______.解:∵∴.∵,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为4.例32.已知,且,则的最小值为【】（A）5（B）6（C）7（D）8（参见例9）解:.∵,且∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为5.∴选择答案【A】.另解:∵,∴.整理得:.∵∴≥.当且仅当,即（此时）时,等号成立.∴的最小值为5.∴选择答案【A】.点评在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值.例33.已知,求的最小值.分析:注意到,所以≤,这样就消去了字母,因此≥≥4.当且仅当时,等号成立.解:∵∴≤（当且仅当时,等号成立）∴,.∴≥≥.当且仅当,,即时,等号成立.∴的最小值是8.另解:∵,∴.∵≥（这里,≤）（当且仅当时,等号成立）∴≥≥.（当且仅当,即时,等号成立）当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是8.例34.若,且,求证:≥4.证明:∵,∴.∵∴≥.当且仅当,即或时,等号成立.∴≥4.例35.已知为正数,求证:≥.证明:∵为正数,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴≥.（这里,）★例36.若,.求证:≥.分析:注意到这一隐含条件.证明:∵,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴≥.例37.已知均为正数.求证:≥3.证明:∵均为正数∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴≥3.例38.已知,,则的最小值为【】（A）（B）（C）（D）4分析:注意到,根据题目所给条件的特点可先求出,然后开方即可得到,而.解:∵,∴.∵,∴.∴≥.当且仅当,即（）时,等号成立.∴的最小值为18.∴的最小值为.∴选择答案【C】.例39.已知,且,则的最大值是_________.解:∵,∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值是.例40.已知,则的最小值为_________.解:∵,∴.∵∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为6.点评:上面的方法为消去元后,利用基本不等式求得最值.例41.已知为正实数,且,求的最大值.解:∵为正实数∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值为.另解:∵,∴.∵为正实数∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴的最大值为.例42.求函数的最大值.解:设,则≥0,∴.∴.当,即时,;当,即时,≤.当且仅当,即时,取等号.∴当时,函数的最大值为.综上所述,函数的最大值为.例43.设正实数满足,则当取得最大值时,代数式的最大值为【】（A）0（B）1（C）（D）3解:∵,∴.∵为正实数∴≤.当且仅当,即时,等号成立,此时.∴≤1∴当时,的最大值为1.∴选择答案【B】.例44.若正数满足,则的最大值是【】（A）（B）（C）2（D）解:∵≥∴≤30,∴≤2.∴的最大值是2.∴选择答案【C】.例45.设,且≥0恒成立,则实数的最小值等于【】（A）0（B）4（C）（D）解:∵≥0恒成立∴≥恒成立.（这里,注意）只需≥即可,此时取得最小值.∵∴≥,当且仅当时,等号成立.∴≤,∴∴≥,即的最小值为.∴选择答案【C】.例46.设,且≥恒成立,求的取值范围.解:∵,∴.∵≥恒成立∴≥恒成立,只需≤即可.∵≥∴当且仅当时,等号成立,.∴≤4.∴的取值范围是.例47.对于任意R,不等式恒成立,求实数的取值范围.解:∵恒成立∴恒成立,只需即可..设,则,.∵,且在上单调递增∴,即.∴,即实数的取值范围是.注意本题不能用基本不等式求最值.当时,方程无解.例48.设,,则的最大值为_________.解:∵≤.当且仅当,即时,取等号.∴的最大值为18.∵∴的最大值为.例49.已知,,则的最小值是【】（A）7（B）9（C）5（D）11解:∵,∴.∵∴≥∴≥2,∴≥9.∴的最小值是9.∴选择答案【B】.另解:∵,∴.∵∴≥.∴的最小值是9.∴选择答案【B】.例50.若关于的不等式≥5在上恒成立,则实数的最小值为_________.解:∵,∴.∵≥5恒成立∴只需≥5即可.∵≥当且仅当,即时,等号成立.∴∴≥5,解之得:≥1.∴实数的最小值为1.例51.已知,且,则的最小值为_________.解:∵∴∴.∵∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴,即的最小值为.例52.已知,且,求的最小值.解:∵∴.∵∴≥,即≥∴≥0∴≥0解之得:≥.∴≥,当且仅当时,等号成立.∴的最小值为.例53.已知为正数,则的最大值为【】（A）1（B）2（C）（D）解:∵为正数∴≤.当且仅当时,等号成立.∴的最大值为.∴选择答案【C】.例54.设,则的最小值是【】（A）1（B）2（C）3（D）4解:∵,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值是4.∴选择答案【D】.例55.设都是正数,且.（1）求的最小值;（2）求的最小值.分析:关于（1）的解决,参见例52.解:（1）∵∴.∵都是正数∴≥,即≥.∴≥0.解之得:≥.∴≥.当且仅当时,等号成立.∴的最小值为;（2）由（1）知:.∵都是正数∴≤.（当且仅当时取等号）∴≥,≥0.∴≥0.解之得:≥.当且仅当时,等号成立.∴的最小值为.说明第二种解法见《利用基本不等式求最值强化训练》第4题.二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念.（2）三个二次的关系.（3）一元二次不等式的解法.知识点拓展:（4）分式不等式的解法.（5）高次不等式的解法.二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式.（2）解含参数的一元二次不等式.（3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法.（5）不等式恒成立问题.（6）一元二次不等式的应用.三、知识点讲解.知识点一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如（≥0）或（≤0）（其中）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.知识点三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程与二次函数的关系是:（1）当≥0时,一元二次方程有实数根,二次函数的图象与轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;=1\*GB3①当时,一元二次方程有两个不相等的实数根,二次函数的图象与轴有两个不同的交点;=2\*GB3②当时,一元二次方程有两个相等的实数根,二次函数的图象与轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当时,一元二次方程无实数根,二次函数的图象与轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数的关系是:（1）一元二次不等式（≥0）的解集就是二次函数的图象位于轴上方（包括轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式（≤0）的解集就是二次函数的图象位于轴下方（包括轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.知识点一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;（2）计算的值,并判断的符号;（3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根;（4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,=1\*GB3①当时,一元二次不等式的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;=2\*GB3②当时,一元二次不等式的解集为;一元二次不等式的解集为;=3\*GB3③当时,一元二次不等式的解集为R;一元二次不等式的解集为.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:判别式二次函数的图象（）图象说明图象与轴有两个不同的交点图象与轴只有一个交点（顶点在轴上）图象与轴没有交点一元二次方程的解有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解集R的解集一元二次不等式在R上恒成立的问题（1）在R上恒成立,则有:或;（2）在R上恒成立,则有:或;（3）一元二次不等式≥0在R上恒成立,则有:;（4）一元二次不等式≤0在R上恒成立,则有:.补充概念二次函数的零点我们把使一元二次方程的实数叫做二次函数的零点.对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式:=1\*GB3①;=2\*GB3②≥0;=3\*GB3③;=4\*GB3④≤0.分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.各标准形式的分式不等式的解法为:（1）与不等式组或同解,与不等式同解;（2）≥0与不等式组同解;（3）与不等式组或同解,与不等式同解;（4）≤0与不等式组.由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根;（3）标根:把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线:从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集:若不等号为“>”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“<”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1.解不等式.分析先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解:原不等式可化为:.对于方程,∵∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:.∴不等式的解集为.点评在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2.已知关于的不等式的解集为,求不等式的解集.分析先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出的值.注意一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根.解:由题意可知:.∵关于的不等式的解集为∴是方程的两个实数根由根与系数的关系定理可得:,解之得:.∴即∴,解之得:.∴不等式的解集为.例3.一元二次不等式的解集为【】（A）（B）（C）（D）分析本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解:原不等式可化为:.∵方程的根为.∴不等式的解集为,即原不等式的解集.∴选择答案【C】.例4.已知不等式的解集为空集,则实数的取值范围是【】（A）（B）（C）（D）分析本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式的解集为空集,即相应的二次函数的图象位于轴上及其上方,或者不等式≥0在R上恒成立.解:∵不等式的解集为空集∴≤0,解之得:≤≤4.∴实数的取值范围是.∴选择答案【A】.例5.若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是【】（A）（B）（C）（D）分析本题由题意可知:.解:∵∴.∵其解集为∴.∴实数的取值范围是.∴选择答案【D】.例6.已知函数的定义域为,则实数的值为_________,实数的值为_________.解:∵函数的定义域为∴一元二次不等式≥0的解集为.由根与系数的关系定理可得:,解之得:.∴实数的值为,实数的值为3.例7.已知函数.（1）当时,求不等式的解集;（2）若的解集为,,求的最小值.解:（1）时,.∵,∴解之得:或.∴不等式的解集为;（2）∵的解集为∴,且,解之得:.∵,∴,.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.此时,符合题意.∴的最小值为9.例8.解关于的不等式（）.分析本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解:∵,∴∴.∵,∴分为两种情况:=1\*GB3①当时,原不等式的解集为;=2\*GB3②当时,原不等式的解集为.综上所述,当当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为.另解:解方程（）得:.分为两种情况:=1\*GB3①当时,原不等式的解集为;=2\*GB3②当时,原不等式的解集为.综上所述,当当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为.点评不等式（）可化为.当时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式;当时,原不等式同解于不等式.例9.若对于,≤恒成立,则实数的取值范围是【】（A）（B）（C）（D）.解:∵≤恒成立∴只需≥即可.∵∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴.∴≥,即实数的取值范围是.∴选择答案【D】.例10.（1）若关于的不等式（R）的解集为（R）,求的值;（2）解关于的不等式（R）.解:（1）由题意可知:.一元二次方程的根为.由根与系数的关系定理可得:,解之得:.∴的值为1,的值为2;（2）∵（R）∴.当时,原不等式为,解之得:.∴原不等式的解集为;当时,原不等式可化为.=1\*GB3①若,则原不等式的解集为;=2\*GB3②若时,原不等式同解于,且∴原不等式的解集为;=3\*GB3③若,原不等式为,其解集为;=4\*GB3④若,则,则原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.例11.已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为,求实数的值;（2）若不等式恒成立,求实数的取值范围.解:（1）由题意可知:.一元二次方程的根是.由根与系数的关系定理:,解之得:.∴实数的值为;（2）当时,恒成立,符合题意;当时,由题意可知:,解之得:.综上所述,实数的取值范围为.例12.若1≤≤4,不等式≥恒成立,求实数的取值范围.分析本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解:∵≥∴≤.∵1≤≤4∴当时,显然≤成立,∴R;当≤4时,∴≤恒成立,只需≤即可.∵≥.当且仅当,即时,等号成立.此时,符合题意.∴≤4.综上所述,实数的取值范围是.例13.已知不等式.（1）当R时不等式恒成立,求实数的取值范围;（2）当时不等式恒成立,求实数的取值范围.解:（1）当时,恒成立,符合题意;当时,则有,解之得:.综上,实数的取值范围是;（2）当时,显然时,恒成立,符合题意;当时,.若,显然恒成立,此时R;若≤3,则∴恒成立,只需即可.∵≥∴.综上所述,实数的取值范围为.例14.解关于的不等式≥0.解:当时,≥0,解之得:≤0.∴原不等式的解集为;当时,原不等式可化为≥0∴≥0.方程的两个实数根分别为.当时,原不等式的解集为;当时,原不等式同解于≤0,且.∴原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.例15.已知关于的不等式.（1）当时,解不等式;（2）当R时,解不等式.解:（1）当时,∴∴.解之得:或.∴原不等式的解集为;（2）原不等式可化为.当时,,解之得:.∴原不等式的解集为;当时,原不等式可化为∴.方程的根为.当时,原不等式同解于,且.∴原不等式的解集为;当时,原不等式同解于.=1\*GB3①若,则,∴原不等式的解集为;=2\*GB3②若,则,∴原不等式的解集为;=3\*GB3③若,则,∴原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.例16.已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为,求实数的取值;（2）若不等式的解集为R,求实数的取值范围.解:（1）由题意可知:.一元二次方程的两个实数根分别为.由根与系数的关系定理可得:,解之得:.∴实数的值为;（2）当时,原不等式的解集为,不符合题意;当时,则有:,解之得:.综上所述,实数的取值范围是.例17.已知≥0恒成立,解关于的不等式.解:∵≥0恒成立∴当时,1≥0恒成立,符合题意;当时,则有:,解之得:≤1.综上,实数的取值范围是.对于不等式当0≤≤1时,原不等式可化为∴,方程的根为.=1\*GB3①若≤1,则,∴原不等式的解集为;=2\*GB3②若,则,∴原不等式的解集为;=3\*GB3③若,则,∴原不等式的解集为.综上所述,对于不等式:当≤1时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当0≤时,不等式的解集为.例18.不等式≤0的解集为,则【】（A）（B）（C）1（D）3解:原不等式可化为≥0,同解于.方程的解为.∵该不等式的解集为∴,或,∴或.∴.∴选择答案【B】.例19.已知函数（为常数）,且方程的两个根为,.（1）求的值;（2）设,解关于的不等式.解:（1）由题意可得:,整理得:,解之得:.∴的值为,的值为2;（2）由（1）可知:.∵,∴.∴.原不等式同解于.∵∴当时,原不等式的解集为;当时,,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.例20.已知集合,.（1）当时,求;（2）若,求实数的取值范围.解:（1）当时∵,∴;（2）∵R,恒有,∴.当,即时,.∵,∴,解之得:2≤≤3.∴实数的取值范围是;当,即时,,显然不符合题意;当,即时,.∵,∴,解之得:≤≤.∴实数的取值范围是.综上所述,实数的取值范围是.例21.已知不等式.（1）若对任意实数不等式恒成立,求实数的取值范围;（2）若对于0≤≤4不等式恒成立,求实数的取值范围.解:（1）∵∴.∵对任意实数不等式恒成立∴,解之得:.∴实数的取值范围是;（2）∵∴.∵对,不等式恒成立∴,解之得:且.∴实数的取值范围是.点评解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22.设,求使,且≤1恒成立的的取值范围.解:∵,≤1,∴,.∴对恒成立.设,则有:,解之得:.∴实数的取值范围是.重要结论一次函数在区间上的恒成立问题:（1）若恒成立,则;（2）若恒成立,则.例23.设函数,若对于,恒成立,求的取值范围.解:∵在上恒成立∴在上恒成立.令,只需即可.函数图象的对称轴为直线.当时,在上单调递增∴,解之得:.∴;当时,在上单调递减∴,解之得:.综上所述,的取值范围是.另解:∵在上恒成立∴在上恒成立.∵∴在上恒成立.只需即可.∵∴的取值范围是.例24.已知集合,对于任意的,使不等式恒成立的的取值范围是_____________.解:.∵当时,不等式恒成立∴恒成立.设,则有:,解之得:或.∴的取值范围是.例25.对一切实数,不等式≥0恒成立,则实数的取值范围是_____________.解:当时,显然对R成立;当时,≥,只需≥即可.∵≤∴,∴≥.∴实数的取值范围是.例26.已知,且≥0恒成立,则实数的取值范围是____