2024研究高考试题++提升解题能力

2024研究高考试题++提升解题能力研究高

考试题提升解题能力

高三年级的数学教学，特别是高三年级的第二、三轮的复习教学，它的教学

目标已经不同于新授课的数学教学，也不同于第一轮的复习教学，它应该着眼于

“支撑学科知识体系的重点内容”，因为高考的数学命题者要“精心设计考查数

学主体内容，体现数学素质的试题”。因此，二、三轮的复习工作应抓住核心内

容和方法，从数学思想和方法入手，完成构建知识网络，提升解题能力为目标。

其实，无论是构建知识网络，还是提升能力，最终的目标还是以提高学生的

应试能力，取得令人满意的考试结果为目的。因此，如何提高学生分析问题和解

决问题的能力，是当前摆在高三数学教师面前最突出的问题，每一位高三的老师

在自己的教学实践中都有着自己一套行之有效的方法，同时因为学情各异，面对

不同的学生也有不同的应对方法。在这里，我本人就多年从事高三毕业教学过程

中的一点思考和做法提出来和各位老师交流，我期望通过和各位老师的交流，找

到更合适有效的方法，使我们的工作更有成效，使更多的学生受益。

我们在平常的解题教学中，志在求知，为培养学生能力，应尽量避免“解题

套路”，而着重于学生能力的培养，故应多发散，但在高考的考场上，学生在两

个小时内要完成一张试卷，时间紧、任务重，为完成得分任务，在遇到熟悉问题

时，应考虑“套”、“搬”、“借”，而一张高考试卷不可能题题都创新，可以“套”、

“搬”、“借”的题目应该不在少数。因此，在二、三轮的复习中，帮助学生建立

一些常规的解题模板，使学生在解题时对常规题做到有理可据、有型可依也是我

们的教学目标之一。

怎样去构筑解题模板呢？我想高考考什么、怎么考，最直接的信息应来源于

历年的高考试题。因此，研究高考试题，从历年高考试题中去提炼解题模板应该

是最直接、最有效的途径了。下面我就以函数及其导数为例，剖析近几年的高考

试题，揭示考查的核心关键，建立起解题模板，希望通过这样一个实例，给大家

提供一个基本模型。

先看下面的例子：

(2013全国新课标(I)卷第21题)

设函数/(工)=幺+ox+b,g(x)=e*(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都

过点P(0,2),且在P处存在相同切线y=4x+2

(1)求的值；(2)若xN-2时，/(x)〈伙(x),求人的取值范围。

分析：(1)f(0)=2,g(0)=2,/(0)=4,g'(0)=4易求得a=4,b=c=d=2

(2)令F(x)=kg(x)-/(x)=2A:e*(x+l)-x2-4x-2,依题意得

Vx>-2,F(x)N0;.•.尸(0)=2左一2N0n左N1

F(x)=2履'(x+2)-2x-4=2(x+2)(履,一1)

F(%)=0=>x,--\nk,x2--2

11

2

1</:<=>-2<-In<0R=/时k>e,则

当％e(—2,—In左)时F\x)=2e\x+2)(ex-e-2)0-2)=-22+2

=—21(攵—/)<。

当x>-2时，

F'(x)<0,

从而当x>-2时

F'(x)>0,F(x)在

当％c(-lnA,+oo)时/(x)WZg(x)不可能恒

(—2,+oo)上单增，

成立

F'(x)>0,

F(x)>F(-2)=0

」(x)在(一2,—Ink)上单

.•./(X)4依(x)恒成立

减，在(Tn%,+8)上单增

曦,0)=0

=lnZ(2-lnZ)20

即当xN—2时，F(x)>0

即/(x)4七(幻恒成立

综上，k&[l,e2]

再看一例(2010年山东第22题)

\-a1

已知函数〃x)=lnx-"+------1,(1)当一时，讨论了(幻的单调性；

x2

(2)设g(x)=f-2泣+4,当a=,时，若对7玉e(0,2)存在々eU,2J使/(%,)>g(x,),

4

求实数b的取值范围。

11—Z7ClX^—X+(1—Q)

分析：(1)f(x)=一一a一一厂二,x>0

xxX2

这样的流程是不是具有普遍性，在解题过程是不是好使，我们再来看看

09~13年安徽的导数考题

2009年(19)(本小题满分12分)

已知函数/'(x)=x-2+1—alnx,a>0,讨论/(幻的单调性.

X

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调

性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。

解：/(X)的定义域是(0,+8)"'(幻=1+/，=『一？'+2

厂XX

设g(x)=f一公+2,二次方程g(x)=0的判另IJ式A=a2—8.

①当△=/一8<0,即0<a<2应时,对一切x>0都有1f(x)>0,止匕时/(X)

在(0,+a))上是增函数。

②当△=/一8=0,即。=2行时，仅对龙=血有(")=0,对其余的x>0都

有f\x)>0,此时/(%)在(0,+8)上也是增函数。

③当八=/一8>0,即a>2应时，

方程g(x)=0有两个不同的实根％=伫半巨,々=丝孚豆,0<菁<々.

(x),x2)

X(0,石)九2。2，+8)

f,M+0—0+

单调递

/(x)单调递增极大值极小值单调递增

减

此时/⑶在(0,伫当苴)上单调递增，在(巴警E,当已占是上单

调递减，在(山芸豆,+8)上单调递增.

2010年17、(本小题满分12分)

设a为实数，函数/(x)=e，-2x+2a,xeR。

(1)求〃力的单调区间与极值；

x2

(U)求证：当。>ln2-l且x>0时，e>x-2ax+\o

(17)(本小题满分12分)本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函

数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

(I)解：由/(x)=e'-2x+2a,xER知广(x)=e*-2,xER.

令/'(，)=0,得』=ln2.于是当X变化时，/'(x)J(z)的变化情况如下表:

X(-oo,In2)In2(In2,+oo)

f'M-0,+

单调递减单调递增

/(x)2(1-ln2+a)

/

故/(工)的单调递减区间是(-8,M2),单调递增区间是(In2,+«),

人工)在工=In2处取得极小值，极小值为/(In2)=e1°2-21n2+2a=2(1-In2+a).

(口)证：.设g(x)=e'-/+2ar-l,xeR.于是r(工)=e'-2x+2a,xWR

由3)知当a>ln2-l时,g'⑺最小值为g，(In2)=2(l-ln2+a)>0.

于是对任意工£R.都有g'(工)>0,所以g(z)在R内单调递增.

于是当a>In2-！时，对任意xW(0,+8),都有式工)>g(0).

而g(0)=0,从而对任意工W(0,+8),g(工)>0.

即e*~x2+lax-1>0,故e'>/-2ax+1.

2011年(16)(本小题满分12分)

设/(%)=上-,其中。为正实数

1+ax

(I)当。=g时，求/(X)的极值点；

(II)若〃幻为R上的单调函数，求。的取值范围。

(16)(本小题满分12分)本密与化导致的玷算.做值点的判断.，故於号。南数小渊性之间的关系.求

制一元：次不等式等战本知识.号〃运算求解能力.琮合分析和第次同为的徒力.

解:对/U)求导得

—啮亭①

(I♦<1*)

(I)当：时.若/'(x)=O,则4/-823=0・解档

3I

*|=彳，•产彳・

结合①.可1

X卜•.)1.1cbi~)|、|(~F~^T

/⑺.0.0.

I/］极大伊〔\［极小值I/

所以.&=等是极小值点.盯=1是微大值点.

(I!»若〃*)为R卜的小脚雨散.蜥广⑺AR上不变号.结合IV条件“>0.知

a.7-2aaI#0

frK1初成》.・因此」=4/-4«・44”1>40.由此并结合州>0.知OviG.

2012年(19)(本小题满分13分)

设/(x)=aex+-^―+b(a>0)

aex

(I)求/(外在[0,+8)上的最小值；

(II)设曲线y=/(x)在点(2"(2))的切线方程为>=1犬；求的值。

【解析】(I)设f=e"QNl)；则y+,+力=>y'=Q—=

atatat

①当时，y'〉0ny=af+L+b在也1上是增函数

at

得：当f=l(x=0)时，/(幻的最小值为。+工+人

a

②当Ovavl时，y=at+-+b>2-\-h

at

当且仅当〃=l(r=e'=Lx=-Ina)时，/(x)的最小值为8+2

a

(II)/(x)=aex+-+b=>f\x)=aex----

aexaex

"⑵二'217勺2

二3ae+—-+b=3a

ae=­e

由题意得：■3oo

r（2）=213

-2ae----=—b=-

2

、ae2[2

2013年(17)(本小题满分12分)

设函数/(幻=依一(1+/»2,其中。>0,区间/={x"(x)>0}.

(1)求/的长度(注：区间(。,〃)的长度定义为夕一。)；

(2)给定常数4€(0,1),当1一女<aWl+Z时，求/的长度的最小值。

解：(1)因为方程以一(1+/»2=03>())有两个实根玉=0,彳2=一\,故/(x)>0

1+Q

的解集为{xlX<x<%}，因此区间/=(0,—^丁)，/的长度为‘■行。

1+CT1+。

12

(2)设〃(。)=—^方，则/(a)==^v(a>0)。令d'(a)=0,得“=1。由于々e(0,l),

1+/(1+/)2

故当攵一1〈。<1时，d(a)>0,d(a)单增；当lWaWl+左时，d(a)<0,d(a)单减。

所以当1—攵WaWl+Z时，d(a)的最小值必定在。=左一1或4=1+左处取得。

\-k

火1-幻_1+(1&)1_2---犷

而—17-7T<1

d(l+k)1+k2-k2+k3

1+(1+Z)2

故d(l—k)<。(1+左)。

\-k

因此当a=l—Z时，d(a)在区间[1一％,1+k]上取得最小值----------。

N乙K十K,

从上可以看出，五年的高考题无一例外的均可用上述流程来解决。其实，在中学导数的应用

除与切线相关的问题外，其余的问题如极值问题、最值问题、零点问题、不等式问题等，最

终都要落实到单调性上，而讨论函数的单调性必然会经过上述流程，这样一个模板就可以解

决相当一部分函数导数题。

最后再看一个例子(黄山市2014届第一次模拟考试第21题)

已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=In%

(1)若函数E(x)=/(%)+g(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围。

(2)设//6)=/*)+8(匕竺),若对任意的。6(1,2),总存在无€[±1],使不等式

/z(x)〉Ml-42)成立，求实数％的取值范围。

]2Y2—HY+1

分析：(1)尸’(幻=2%一。+—=-----------(工>0)由尸'(1)=。有两不等正实根得

xx

A=a2-8>0

<—>0=>a>2\/2

4

F(0)=2X02-«X0+1>0

c,"-2、

]2ax(x---------)]

(2)由h(x)-x2-0X4-In———得〃(x)=2x-〃+—--=--------——,XG[—,1]

2ax+lax+\2

人,■_p,—2,—2671211

qh(x)—0工]=0或々=-----，由Q£(1,2)/=-----=-----W-----=一

2a-2。2。222

/.h(x)在[；[]上单增，，/1max(x)="⑴=1一。+In,ae(1,2)。

只要人(1一42)<4皿。)，记°(4)=1一4+1!1^1^-%(1-42),。6(1,2)

则。3)>0对Vae(1,2)恒成立。

12ka2-\-2ka-a。(2妨+22-1)

(P(tz)=—1d-----F2kd

a+167+1Q+1

令0(a)=0=>a=0或2Az7+2左一1二0

综上可得：Zed,+o。）即为所求。

4

本题有一定的综合性，头绪多，学生得分情况不理想，但用上面的模去套，则条理清

晰，完成本题则不困难。

从上面的例子可以看出，只要我们认真去研究高考试题，仔细揣摸命题意图，高考的

命题规律还是有迹可循的，在二、三轮复习中，将高考试题的解题规律呈现给学生对提高学

生的解题能力，提升学生的自信心是很有帮助的。

研究高考试题提升解题能力

高三年级的数学教学，特别是高三年级的第二、三轮的复习教学，它的教学

目标已经不同于新授课的数学教学，也不同于第一轮的复习教学，它应该着眼于

“支撑学科知识体系的重点内容”，因为高考的数学命题者要“精心设计考查数

学主体内容，体现数学素质的试题”。因此，二、三轮的复习工作应抓住核心内

容和方法，从数学思想和方法入手，完成构建知识网络，提升解题能力为目标。

其实，无论是构建知识网络，还是提升能力，最终的目标还是以提高学生的

应试能力，取得令人满意的考试结果为目的。因此，如何提高学生分析问题和解

决问题的能力，是当前摆在高三数学教师面前最突出的问题，每一位高三的老师

在自己的教学实践中都有着自己一套行之有效的方法，同时因为学情各异，面对

不同的学生也有不同的应对方法。在这里，我本人就多年从事高三毕业教学过程

中的一点思考和做法提出来和各位老师交流，我期望通过和各位老师的交流，找

到更合适有效的方法，使我们的工作更有成效，使更多的学生受益。

我们在平常的解题教学中，志在求知，为培养学生能力，应尽量避免“解题

套路”，而着重于学生能力的培养，故应多发散，但在高考的考场上，学生在两

个小时内要完成一张试卷，时间紧、任务重，为完成得分任务，在遇到熟悉问题

时，应考虑“套”、“搬”、“借”，而一张高考试卷不可能题题都创新，可以“套”、

“搬”、“借”的题目应该不在少数。因此，在二、三轮的复习中，帮助学生建立

一些常规的解题模板，使学生在解题时对常规题做到有理可据、有型可依也是我

们的教学目标之一。

怎样去构筑解题模板呢？我想高考考什么、怎么考，最直接的信息应来源于

历年的高考试题。因此，研究高考试题，从历年高考试题中去提炼解题模板应该

是最直接、最有效的途径了。下面我就以函数及其导数为例，剖析近几年的高考

试题，揭示考查的核心关键，建立起解题模板，希望通过这样一个实例，给大家

提供一个基本模型。

先看下面的例子：

(2013全国新课标(I)卷第21题)

设函数/(x)=f+G；+〃,g(x)=，(cx+d).若曲线y=/(x)和曲线y=g(x)都

过点P(0,2),且在P处存在相同切线y=4x+2

(3)求a,Z?,c,d的值；(2)若时，/(x)〈版(x),求％的取值范围。

分析：(1)/(0)=2,g(0)=2,/(0)=4,g'(0)=4易求得a=4,0=c=d=2

(4)令尸(x)=kg(x)-/(x)=2h,(x+l)-Y-4X—2,依题意得

Vx>-2,F(x)>0;.-.F(0)^2k-2>0=>k>\

F\x)=2kev(x+2)-2x-4=2(x+2)(^v-l)

F(x)=0n%=-In左,々=-2

4=G?时k>e1,则

当％e(-2,一In左)时F\x)=2e\x+2)(ex-e-2)/(-2)=-22+2

=-2e-\k-e2)<0

当x>-2时，

F(x)<0,

从而当x>-2时

F'(x)>0,F(x)在

当％e(-Ink,+oo)时/(x)〈伙(x)不可能恒

(-2,+oo)上单增，

成立

F'(x)>0,

F(x)>F(-2)=0

F(x)在(-2,-Ink)上单

/.f(x)<Zg(x)恒成立

减，在(-In%,+8)上单增

M)=P(-Ink)

=lnZ(2-lnA)20

即当xN-2时，F(x)>0

即/(x)W版(幻恒成立

综上，左eU,/]

再看一例(2010年山东第22题)

\—Cl1

已知函数/(x)=Inx-axH-------1,(1)当。〈一时，讨论/(x)的单调性；

x2

(2)设g(x)=V-2陵+4,当a=：时，若对7玉e(0,2)存在x2G[1,2]使/(x,)>^(x2),

求实数b的取值范围。

2

八上匕/八/*/\][_QOX—X+(1—6Z)

分析：(1)/(x)=一一a——z-=--------7^——-,x>0

XXX

无零点或零点不在定义域内时，函数单调

这样的流程是不是具有普遍性，在解题过程是不是好使，我们再来看看

09-13年安徽的导数考题

2009年(19)(本小题满分12分)

已知函数/(x)=x-2+l-alnx,a>0,讨论f(x)的单调性.

X

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调

性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。

解：/(%)的定义域是(0,+oo),/(%)=1+4--=、一"+2

XXX

设g(x)=f-办+2,二次方程g(x)=0的判别式△=〃-8.

④当△=/_8<0,即0<a<2夜时，对一切x>0都有八x)>0,此时/(无)

在(0,物)上是增函数。

⑤当△=/—8=0,即a=2亚时，仅对x=痣有_f(x)=0,对其余的x〉0都

有f,(x)>0,此时/(%)在(0,+oo)上也是增函数。

⑥当AuaZ—g>。，即a>2a时，

方程g(x)=0有两个不同的实根为=心号,％=生咚三,0"<.

(%,％2)

X(0,西)X2*2,+8)

f'M++

0—0

单调递

f(x)单调递增极大值极小值单调递增

减

此时/(幻在(0,匕号)上单调递增，在(伫孚m,"是上单

调递减，在(当*,+8)上单调递增.

2010年17、(本小题满分12分)

设a为实数，函数/(x)=e*-2x+2a,xeR。

(I)求的单调区间与极值；

2

(II)求证：当a>ln2—l且x>0时，>x-2ar+l0

(17)(本小题满分12分)本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函

数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

(I)解：由一工)=e*-2x+20,工WR知f'(*)=e*-2,工eR

令/'(z)=0,得z=ln2.于是当x变化时,/'(工)J(z)的变化情况如下表:

X(-»,ln2)In2(In2,+oo)

f'(x)-0,+

单调递减单调递增

/(x)2(l-ln2+a)

7

故f(x)的单调递减区间是(-8,M2),单调递增区间是(In2,+00),

人工)在工=In2处取得极小值，极小值为/(ln2)=eb2-21n2+2a=2(l-ln2+a).

(D)证：设g(x)=e*+2ax-l,xER.于是/(*)=e*-2a:+2a,工WR

由(【)知当a>ln2-l时，g'(x)最小值为g，(ln2)=2(1-In2+a)>0.

于是对任意xeR,都有g'(x)>0,所以gQ)在R内单调递增.

于是当a>In2-1时，对任意xW(0,+8),都有g(x)>g(0).

而g(0)=0,从而对任意工人(0,+8),g(x)>0.

即e*-x2+2ax-1>0,故e'>M-lax+1.

2011年(16)(本小题满分12分)

设/(x)=—《一，其中。为正实数

\+ax

4

(I)当时，求/(x)的极值点；

(II)若/(%)为R上的单调函数，求。的取值范围。

(161(本小H满分12分)本密弓化导数的运算.做值点的网融.与数符号'j函数仇调性之间的关系.求

胡一元:次不等式号再和知识.看会运算未解能力.琮介分析和诉决问题I的傕加

解:时/(*)求恃得

I*<u*-2<u

/J)"'(I1产

(I)当a=；-时,若，'(X)=0.W|4.t-8x4-3=0.Mi!)

(11)蒋7U)为RI的中谓函数.则/'(，"¥R上不变号.结合I5条件”>0・加

at--2<u♦INO

AR上忖成》•MhHA・4a由此井统合0>O・知O“G・

2012年(19)(本小题满分13分)

…1

设/(x)=aexH----卜b(a>0)

aex

(I)求了(%)在。+8)上的最小值;

3

(II)设曲线y=/(x)在点(2J(2))的切线方程为y=?无；求a,。的值。

【解析】(I)设1=021)；贝ljy+」>+/?=>y'=a--1__

atatat

①当aNl时，y'>0=>丁=〃+，+匕在，21上是增函数

at

得：当，=l(x=O)时，/(x)的最小值为a+工+人

a

②当0<。<1时，y=at+~+b>2+b

at

当且仅当a=l(f=/=Lx=—lna)时，/(x)的最小值为匕+2

a

(II)f(x)=aex+-^―+b=>fr(x)=aex———

aexaex

21一2

/(2)=3aeH----+Z?=3

ae"一

由题意得：<r(2)=|30<<=><

213

ae~---7=—b=-

ae~22

2013年(17)(本小题满分12分)

设函数/(尤)=初一(1+。2)/,其中。>0,区间/={x"(x)>0}.

(3)求/的长度(注：区间(。,尸)的长度定义为〃一a)；

(4)给定常数ke(0,l),当1—攵+左时，求/的长度的最小值。

解：(1)因为方程ar—(l+a2)x2=0(a>0)有两个实根％=0,/=—\，故/。)>0

\+a~

的解集为{xlM<x<x,},因此区间/=(0,」5)，/的长度为」方。

1+tz1+a

(2)设d(a)=—巴方，则d'(a)=」~:一式。>0)。令d'(a)=0,得a=l。由于女e(0,l),

1+a(l+a)

故当左一lWa<l时，d\a)>0,d(a)单增；当lWaWl+左时，d'(a)<Q,d(a)单减。

所以当1一左WaWl+Z时，d(a)的最小值必定在。=女一1或a=l+Z处取得。

l—k

^.d(\-k)1+(1)22-k2-k3,

d(l+k)1+12-k2+k3

1+(1+左)2

故d(l—左)<d(l+左)。

1一”

因此当a=l—左时，d(a)在区间［1一&,1+k］上取得最小值--------r。

2—2k+k

从上可以看出，五年的高考题无一例外的均可用上述流程来解决。其实，在中学导数的应用

除与切线相关的问题外，其余的问题如极值问题、最值问题、零点问题、不等式问题等，最

终都要落实到单调性上，而讨论函数的单调性必然会经过上述流程，这样一个模板就可以解

决相当一部分函数导数题。

最后再看一个例子(黄山市2014届第一次模拟考试第21题)

已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=\nx

(3)若函数F(x)=f(x)+g(x)既有极大值又有极小值，求实数。的取值范围。

(4)设//(x)=/(x)+g(号3,若对任意的ae(l,2),总存在使不等式

〃(幻>左(1一。2)成立，求实数女的取值范围。

i2r2—ax4.1

分析：(1)F'(x)=2x-a+-=----------(x>0)由U(x)=O有两不等正实根得

XX

A=a2-8>0

<—>0=a>2^2

4

F(0)=2x02-ax0+l>0

21ar+1_,.、小a"2a,1„

(2)由h(x)-x2-ax4-In----得力(1)=2x-a+----=------——,XG[r—,1]

2ax+lax+12

..■—2,—2tz1211

qh(x)=0x=0或=-----9由ae(1,2)X)=------=-----W-----=一

2a2a2a222

力(x)在[L1]上单增，，/1max(1)=%⑴=1一a+In交4,ae(1,2)。

22

cCl1.2

只要人(1一a~)<〃1rax(x),iE^(a)=l-a+ln———^(1-a),as(1,2)

则e(a)>0对Vae(1,2)恒成立。

«12koi+2ka-aa(2ka+2k-V)

(p(Q)=—1d-----F2ZzZ

Q+1a+1a+1

令°(a)=O=>a=O或2ka+2Z—I=0

综上可得：+oo)即为所求。

本题有一定的综合性，头绪多，学生得分情况不理想，但用上面的模去套，则条理清

晰，完成本题则不困难。

从上面的例子可以看出，只要我们认真去研究高考试题，仔细揣摸命题意图，高考的

命题规律还是有迹可循的，在二、三轮复习中，将高考试题的解题规律呈现给学生对提高学

生的解题能力，提升学生的自信心是很有帮助的。

为什么把*NJ益(a,b>o)叫做“基本不等式”

2

1.从“数及其运算”的角度看，5是两个正数。，〃的“平均数”;

2

从定量几何的角度看，乃是长为。、宽为力的矩形面积，J茄就叫做

两个非负数。，h的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几

何中的“基本量”。

2.有多种等价形式：

代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘

方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中

就可以得到各种表现形式；

几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以。+力

为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地,

等圆中，弦长不大于直径；……

函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数

y=_L,y=Q,y等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者,

X

利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点（1,1）作曲

线y=6的切线，切线方程为y=g（x+l）,曲线y=4总位于切线的下

方，故有，V7<l（x+l）o令x普,代入化简即得重要不等式。

2b

也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线%+y=2A,考察曲

线族町=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共

点，且使c取最大值的曲线，是和直线相切于（A,A）的那条曲线,

这时（?=屁，于是。

3.证明方法的多样性

从上所述已经表明，“基本不等式”确是与重要的数学概念和性质

相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从

上述联系性中，事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数

学的基本概念相关，不涉及太多的技巧。

我们还可以从“平均数”的角度来构造性地证明：

设4=生心。引进一个量仁则斫A+d,b=A-do于是

22

。6=相—[2=（等]一/，由龙0容易得到疝w等。

4.可推广。我们大家都知道有〃个正数的几何平均值不大于算

术平均值的定理。这个定理的证明方法很多，由此就能培养学生的解

题能力，而且能体现创造性。

值得注意的是，〃个数（不一定为正）的算术平均是一个重要的

最小性质，有广泛的用途，特别是在统计中，就是对于某个未知量X,

我们通过测量获得了它的〃个观测值H（i=l,2,…，鹿）。由于测量

误差，这些值会略有不同，那么％取什么值才最可信呢？数学王子高

斯的想法是：用％—M-表示观测值船与理想值％之间的偏差（可正可

负），可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计。数学中，

习惯上把（%一制2作为不精确性的适当的度量，这样问题就转化为求

使）2的最小值。非常凑巧，这个值恰好就是这〃个观测值的算

/=1

术平均——这是重要的高斯“最小二乘法”的出发点。

基本不等式的教学过程概录

1.借助问题情境（赵爽弦图），得到〃+加＞2人老师提示：当

a=h时，有/+尸=2ab。

通过课件，动态演示面积变化情况，直观展示等号成立的条件。

师：当小〃为任意实数时，上式还成立吗？你能给出它的证明

吗？

生：利用完全平方，（。-bp20,BPa2—2ab+b2^0,得至！J“巾+按

22ab。

师：还有什么方法？(片刻后)证明不等式的常用方法是“作差二

证明：Va2+b2-2ab=(a-b)2>0,/.a2+b2>lab.

由证明过程可知：不等式恒成立.

师：通过刚才的探究，我们得到了一个对任意实数都成立的不等

式/+/>2"。特别是时,a2+b2=2ab;反过来/+〃=2"时，定

有a=b。所以我们说当且仅当a=b时取等号。

2.探究新知

师：当。>0,方>0时，如果用心,血替换上述结论中的a,b,

能得到什么结论？

生：可得a+622\[ab(«>0,/?>0)o

师：你能证明这个不等式吗？什么时候取等号？

学生模仿已有证明，用综合法。

教师让学生阅读教科书，并填空：

要证"AN.，①

2

只要证a+6N②

要证②,只要证a+b—>0③

要证③，只要证(-)220④

显然,④是成立的。当且仅当时，④中的等号成立。

再阅读课本的“探究”，作出基本不等式的几何解释。

教师对基本不等式做出如下说明：厂二^

(1)注意基本不等式成立的条件；A\B