9.5离散型随机变量及其分布列均值与方差

9.5离散型随机变量及其分布列、均值与方差课标要求精细考点素养达成1.理解离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性离散型随机变量及其分布列通过求离散型随机变量的分布列,提升学生的数据分析素养2.能确定随机变量,求出随机变量发生的概率,正确列出分布列离散型随机变量的均值(期望)与方差通过求离散型随机变量的期望和方差,提升学生的数学运算素养3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,并能根据分布列正确求出期望与方差,解决实际问题0—1(两点)分布通过求两点分布,提升学生的数据分析素养1.(概念辨析)(多选)下面结论正确的是().A.抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面的次数是随机变量B.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的C.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和D.均值是算术平均数概念的推广,与概率无关2.(对接教材)设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ表示一次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于().A.0 B.13C.12 3.(对接教材)已知随机变量X的分布列如下:X101P111设Y=2X+3,则E(Y)=.

4.(易错自纠)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)5.(模拟演练)(2024·江苏镇江期初考试)已知随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=13X201Pa1bA.4981 B.89 C.2327离散型随机变量分布列的性质典例1(1)袋中装有编号为1~6的同样大小的6个球,先从袋中随机取3个球,设X表示取到的3个球中的最大号码,求X的分布列.(2)设随机变量X的分布列为PX=①求常数a的值;②求PX≥③求P1101.求离散型随机变量的分布列关键有三点:(1)确定随机变量的取值;(2)求每个取值所对应的概率;(3)利用所有概率之和为1来检验.2.离散型随机变量分布列的性质的应用:(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负值;(2)若X为随机变量,则Y=aX+b(a,b为常数)仍然为随机变量,求其分布列时可先求出相应的随机变量的值,再根据对应的概率写出分布列.训练1有一个公用亭,观察使用过的人的流量,设在某一时刻,有n个人正在使用或等待使用的概率为P(n),且P(n)与时刻t无关,统计得到P(n)=12A.0 B.1C.3263 D.离散型随机变量的均值(期望)与方差典例2(1)已知随机变量ξ的分布列如下,则D(ξ)的取值范围是().ξ202P11214A.0,34 B.[0,3]C.34(2)(多选)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=13A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.D(X)=41.求离散型随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可能取值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.2.比较期望、方差的大小,首先要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法,列出分布列,一般作差比较大小.训练2(多选)有两盒乒乓球,每盒3个球分别标记为2,3,4,其中一盒均未使用过,另一盒3个球都已使用过.现从两个盒子中各任取1个球,设球的号码分别为a,b,若事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=pn,X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则().A.p6=3p4 B.P(5≤X≤7)=79C.E(X)=5 D.D(X)=01(两点)分布典例3袋内有形状、大小都相同的10个白球,5个红球,从中摸出2个球,记X=0,两球全红,1,两球非全红,训练3已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布,且P(X=0)=34P(X=1)=a,则a=().A.23 B.12 C.13均值、方差在决策中的应用在决策中为了规避风险,减少风险,甚至利用风险,就必须在多个可供选择的决策中,选择一个最优的决策.一般情况下,人们利用期望与方差进行风险决策.典例某机器生产商对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案:方案一:交纳延保金6000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费1500元.方案二:交纳延保金7740元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费a元.某工厂准备一次性购买两台这种机器,现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后两年内维修的次数,统计得下表:维修次数0123机器台数20104030用以上100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率,记X表示这两台机器超过质保期后两年内共需维修的次数.(1)求X的分布列;(2)以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据,该工厂选择哪种延保方案更合算?利用期望与方差进行决策的方法:(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的期望,当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好,需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度,偏离程度小的更好.(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.(3)若对平均水平或者稳定性没有明确要求时,一般先计算期望,若相等,则由方差来确定哪一个更好.若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近,且期望较大者的方差较小,显然该变量更好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时,应根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平,还是选择较稳定.训练某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和2项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.一、单选题1.某船队若出海后天气好,可获得5000元;若出海后天气坏,将损失2000元;若不出海也要损失1000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是().A.2000元 B.2200元C.2400元 D.2600元2.已知离散型随机变量X的分布列为下表,则常数C的值为().X01P9C2C38CA.23 B.13C.23或3.设ξ的分布列如下表所示,又设η=2ξ+5,则E(η)等于().ξ1234P1111A.76 B.176 C.173 4.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布,且P(X=0)=23P(X=1)=a,则a=().A.23 B.12 C.13二、多选题5.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数):X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的有().A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.36.若14X012Ppp21pp2A.P(X=2)的值最大B.P(X=0)<P(X=1)C.E(X)随着p的增大而减小D.E(X)随着p的增大而增大三、填空题7.已知随机变量ξ满足P(ξ=x)=ax+b(x=1,0,1),其中a,b∈R.若E(ξ)=13,则D(ξ)=8.现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=.

四、解答题9.(2023·山东聊城统考三模)已知甲箱、乙箱均有6件产品,其中甲箱中有4件正品,2件次品;乙箱中有3件正品,3件次品.(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱,再从乙箱中随机抽取一件产品,求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率;(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到能将次品全部找出时检测结束,已知每检测一件产品需要费用15元,设X表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列与数学期望.10.(2024·江苏扬州模拟考试)政府举办“全民健身乒乓球比赛”,比赛规则为:每队4人,2男(男1号,男2号),2女(女1号,女2号),比赛时第一局两队男1号进行单打比赛,第二局两队女1号进行单打比赛,第三局两队各派一名男女运动员参加混双比赛,第四局两队男2号进行单打比赛,第五局两队女2号进行单打比赛,五局三胜,先胜3局的队获胜,比赛结束.某队中的男甲和男乙两名男队员,在比赛时,甲单打获胜的概率为23,乙单打获胜的概率为35,若甲排1号,男女混双获胜的概率为23(1)记X表示男甲排1号时,该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数,求X的分布列.(2)若要该队第一局和男女混双这两局比赛获胜局数的数学期望大,甲、乙两人谁排1号?加以说明.11.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为P(X=k)=λkk!A.2e4 B.4e4C.12.(2023·江苏镇江中学校考模拟预测)某购物中心准备进行扩大规模,在制定末来发展策略时,对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查,分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度.调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两