湖南省长沙市湖南某中学2024届高三年级上册第一次调研数学试题含答案详解

长沙市湖南师大附中2024届高三第一次调研

数学

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、

座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3.非选择题是必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题

目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答

案；不准使用铅笔和徐改液，不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.

一、单选题(本大题8小题，每小题5分，共40分)

1,已知集合”={xH-3x-4<0},N={x|y=ln(xT)},则)

A.(1,4)B.[1,4)

C.(-1,4)D.[-1,4)

2.如图，在复平面内，复数Z],Z?对应的点分别为Z1,Z2,则复数Z/Z2的虚部为

()

%

2T

r；-1：

A.-iB.-1C.-3iD.-3

3.“函数〉=1血(不一。)的图象关于对称”是“8=-2+®,ReZ”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.己知向量@=（2,0）/=（—1,6），则万与伍一5）夹角的余弦值为（）

1

A.B.C7D.回

22

前〃项和，7；是数列,显）的前"项和，若

5.已知5,是等差数列{q}

n

S’=7,S[5=75,则骞=(）

A.^-±1+9〃n2-3n

B.C.D.

444

n2+3n

4

)

7.已知正方体ABC。-AUG。的棱长为1,

的动点，若平面班尸截该正方体所得的截面为五边形，则线段CV的取值范围是（）

2

B.C.D.

2,3

jr

8.已知耳，工是椭圆和双曲线的公共焦点，?是它们的一个公共点，且若

椭圆的离心率为4,双曲线的离心率为02,则富;十学7的最小值是（）

e；+l4+3

A2+若R1+6r2>/3n4石

A・--------------------------V.---------U.---------

3333

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分.

9.下列说法中，正确的是()

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体〃z

被抽到的概率是0.1

B.一组数据10』1,11,12,13』4,16,18,20,22的第60百分位数为14

C.若样本数据2百+1,2%+1,……1的方差为8,则数据七,％,…,斗0的方差为2

D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为耳，豆

和若用=当，则总体方差/

10.如图，点是函数/(x)=sin(〃zr+0)(0>O)图象与直线y二亭相邻的三

个交点，且忸。卜|明岩,/*=0,则(

)

JI

C.函数〃力在色上单调递减

D.若将函数/(X)的图象沿4轴平移。个单位，得到一个偶函数的图像，则|回的最小值为

n

24

11.已知直线/：的-y+m+2=0与圆C：x2-4x+/+3=0,若存在点Mw/,过点

2兀

M向圆C引切线，切点为A,8,使得NACB=下，则阳可能的取值为()

3

A.2B.OC.-石D.一石

12.已知函数f(x)=叩竺，g(x)=4,则()

xsinx

A.〃x)与g(x)的定义域不同，"X)与g(x)的值域只有1个公共元素

B.在f(x)与g(x)的公共定义域内，“X)的单调性与g(x)的单调性完全相反

C.7(戈)的极小值点恰好是g(x)的极大值点，/(力的极大值点恰好是g(x)的极小值点

D,函数/(x)既无最小值也无最大值，函数g(x)既有最小值也有最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一组数据为3,5,1,6,8,2,记这组数据的上四分位数为〃，则二项式

’2工-十)展开式的常数项为.

14.已知数列｛4｝满足6+3%++3"Ta“=〃-3"I〃€N*),设数列｛4｝的前〃项和

为S”，则S.二

15.在正三棱台ABC-ABC中，AB=2,4，侧棱A4,与底面ABC所成角的

正切值为④.若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为.

16.已知函数/(x)=(x+«)(|x-2a|+|x+4a|)(6r<0),若

/(sin0)+/si吟)+小in]=0,则关于x的不等式一/(x+2a)</(x)<3的解集

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程

及验算步骤.

ccosr

17.在48C中，角AB,C的对边分别为4,"。，且----=-----.

2b-acosA

(1)求角。的大小；

(2)若c=l,的面积S=石，求”8C的周长.

18.记为数列｛g｝的前〃项和，已知4=1,且V〃cN'，2+「%5〃=笠^.

S

(1)证明：［肃］等差数列；

(2)求｛〃〃｝的通项公式；

(3)若b“=4-2”,求数列｛"｝的前〃项和7；.

19.如图，在三棱锥A—BCD中，J3C和/XBCD都是正三角形，E是3c的中点，点

F满足DF=NEA(4wO).

(1)求证：平面A3C1平面ADb；

(2)若［4。|=忸。|=26，且M〃平面ACQ,求长.

20.某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样

逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后

将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果

混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一

次.假设某学校携带病毒的人数有10人.(0.995。0.95,0.991°=0.90)

(1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；

(2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000

人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？

21.已知椭圆。：与+，=1(々＞6＞0)的离心率为¥，A，A2,8分别为椭圆C的左、右

和上顶点，直线43交直线/：＞=%于点尸，且点尸的横坐标为2.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点尸的直线与椭圆C交于第二象限内。，七两点，且石在尸,。之间，4E与直线/

交于点M,试判断直线A。与AM是否平行，并说明理由.

22.已知函数/(%)=orex-耳％2一%

(1)当〃=1时，讨论函数/(x)的单调性；

(2)若不等式/(©wrinx-d+Lf—%在J_,+81上恒成立，求实数〃的取值范围.

2.eJ

长沙市湖南师大附中2024届高三第一次调研

数学

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、

座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3.非选择题是必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题

目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答

案；不准使用铅笔和徐改液，不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.

一、单选题(本大题8小题，每小题5分，共40分)

1,已知集合”={xH-3x-4<0},N={x|y=ln(xT)},则)

A.(1,4)B.[1,4)

C.(-1,4)D.[-1,4)

【答案】A

【解析】

【分析】首先化简集合，然后求出交集即可.

【详解】A/={X|X2-3X-4<0}={X|-1<X<4},

N={x|y=ln(x-l)}={x|JI>1),

Mn7V={x|l<x<4}.

故选：A

2.如图，在复平面内，复数Z],z?对应的点分别为Z1,Z2,则复数Z/Z2的虚部为

—4

2I

e

I

I

1

O

A-iB.-1C.-3iD.-3

【答案】D

【解析】

【分析】由复数对应的点求出复数ZLZ2,计算Z/Z2,得爱数Z1<2的虚部.

【详解】在复平面内，复数Z1,无对应的点分别为Z2Z2,

则Z|=1+2/rz2——2+i,得4•4=（1+2i）（-2+i）=-4—3i,

所以复数4『2的虚部为一3.

故选：D

3.“函数〉=3（不一。）的图象关于（弓,。）对称”是“0=-；+%1,keZ”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可.

【详解】当函数y=tan（x一°）的图象关于（曰,o］对称时，

I47

七71E，丁华兀E71(-^+1)7T

有---(p=——，keZ,得0=----------=——+------------,keZ,

424242

易知例I兀kit

e=_?+E>,keZ

所以“函数y=tan(x-e)的图象关于5,0对称”是“e=一二Tl+而，kwZ”的必要不

14J4

充分条件.

故选：B.

4.已知向量。=(2,0),〃=(一1,6)，则d与m一切夹角的余弦值为()

A.--B.--C.1

222

【答案】D

【解析】

【分析】由向量夹角的坐标表示计算.

【详解】因为.b=卜，百)，则|“-〃|=2百，

(d-b\a6/i

所以cos.a----n—=-尸一.

\d-bM2V3x22

故选：D.

S

5.已知S,是等差数列｛4｝的前〃项和，7；是数列的前〃项和，若

=7,5|5=75,则(=()

rr-9/jn2-3n

444

n2+3n

-4~

【答案】A

【解析】

SI

【分析】设出公差"，结合等差数列求和公式得到上为公差为3的等差数列，从而得到

〃2

方程，求出d和《=-2,利用等差数列求和公式得到答案

【详解】设｛4｝的首项为6,公差为"，

…n(n-\]dS(n-l}d

则S“=na.+-^——」,贝nlij.=a,——」

n12n12

则*2+1「喑子

sf

故1二4为公差为j的等差数列,

n2

又邑=1,&=5,所以8x4=1—邑=5—1=4,

7152157

解得d=l,

又7q+214=7,解得q=—2,

故故样

，为首项为-2,公差为;的等差数列,

所以7；=-2〃+

故选：A

6.函数f(x)=41n|M+g的图象不可能是(

【答案】D

【解析】

【分析】分4=0,4〉0和。＜0三种情况讨论,结合函数的单调性及函数的零点即可得出

答案.

【详解】①当々=0时，/(x)=-,此时A选项符合;

X

^lnx+—,x>0

x

②当〃>0时，f(x)=a\n\x\+-=

X

«ln(-x)+—,x<0

X

当xvO时，/(x)=«ln(-x)+—,

X

因为函数y=aln(-x),y=，在(-8,0)上都是减函数，

所以函数〃力在在(9,0)上是减函数，

如图，作出函数y=〃ln(-x),y=-:在(一8,0)上的图象,

由图可知，函数)，=.吊(一工),》二一2的图象在(一8,0)上有一个交点,

X

即函数“X)在在(y,0)上有一个零点，

=aX1

当x>0时，/(x)=6zlnx+—,则/'(x)=@--\2>

XXXX

由/得X'',由/'(X)<0,得0<x<，,

aa

所以函数在(oj

上单调递减，在一，+8上单调递增,

(1

当4=1时，f—a\n-+a=\故B选项符合;

af

41।nx+—1,%>0八

x

③当白<0时，f(x)=a\n\x\+-=^

6fln(-x)+—,x<0

当x＞0时，f（x）=a\nx+—,

因为函数y=〃lnx,y=4在（0,+e）上都是减函数，

X

所以函数一（X）在（0,+8）上是减函数，

如图，作出函数y=alnx,y=-1在（0,+«＞）上的图象,

由图可知，函数y=alnx,y=一-的图象在（0,+8）上有一个交点,

X

即函数“X）在在（0,+8）上有一个零点，

当xvO时，/（^）=aln（-x）+-,则/（司=色一-,

XXXX

由/'（x）＞。，得X＜,，由/"（工）＜0,得，＜x＜。，

aa

所以函数外同在g,0）上单调递减，在（一双j上单调递增，

当。=—1时，一"~+。=一1，故C选项符合，D选项不可能.

故选：D.

7.已知正方体ABCO-AgGR的棱长为1，E为GA的中点，/为棱CG上异于端点

的动点，若平面正尸截该正方体所得的截面为五边形，则线段CV的取值范围是（）

A.（小）B.C.局D.（0,；.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，得出当F为棱CG上异于端点的动点，

截面为四边形，点G只能在线段上，求得线段。尸的取值范围，得到

答案.

【详解】在正方体ABCQ-AqCQi中，平面BMI平面CDRJ=EF,

因为Be平面AB&A，Be平面8所，平面CORG〃平面438人，

则平面8所与平面人的交线过点B，且与直线石尸平行，与直线4片相交,

设交点为G,如图所示,

又因为J_平面ABC。，平面ABCQ,

即/C\EF,/BGB1分别为EF,GB与平面A3CD所成的角,

因为EF//GB,则NCEF=NBGB「且有兔=匕11/。也尸二匕11/皮；用=煞

C1£iOjO

当尸与C重合时，平面8即截该正方体所得的截面为四边形，此时GA=G81=g,即

G为棱中点M；

当点尸由点。向点C移动过程中，/6£/逐渐减小，点G由点片向点从方向移动；

当点G为线段MA上任意一点时，平面班万只与该正方体的4个表而有交线，即可用成

四边形；

当点G在线段MA延长线上时，直线BG必与棱AA交于除点A外的点，

又点尸与G不重合，此时，平面B所与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形，

如图所示.

因此.当尸为棱CC|上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段M4,（除点用

外）上，即可得=则CF=1-G尸4,1],

所以线段CF的取值范围是（；1），

所以若平面应户截该正方体的截面为五边形，线段CF的取值范围是.

故选：B.

【点睛】知识方法：对于空间共面、共线问题，以及几何体的截面问题的策略：

1、正面共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证明其余的线（或点）在这个平面内；

二是证明两个平面重合；

2、证明共线的方法：一是先由两个点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是

直接证明这些点都在同一条特定直线上；

3、空间几何体中截面问题：一是热记特殊几何体（正方体，正四面体等）中的特殊截面的

形状与计算：二是结合平面的基本性质，以及空间中的平行关系，以及平面的基本性质，找

全空间几何体的截面问题，并作出计算；

4、空间几何体中的动点轨迹等问题：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定

理，结合曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的竺标运算求出动点的轨

迹方程；

7T

8.已知耳，工是椭圆和双曲线的公共焦点，?是它们的一个公共点，且若

椭圆的离心率为4,双曲线的离心率为与，则氏y+尧§的最小值是（）

A2+6R1+V3「2百n4>/3

3333

r案】A

【解析】

【分析】设出椭圆的长半轴长外,双曲线的实半轴长为。2,然后根据焦点三角形顶角的余

弦定理求解出epe2的关系式，最后通过力”的妙用求解出最小值.

【详解】如图，设椭圆的长半轴长为囚，双曲线的实半轴长为电，

则根据椭圆及双曲线的定义得：|P制+|尸周=24归用一归周=2%,

伊也|=2。/4〃心=1，

则在△尸环鸟中，由余弦定理得，

4c2=(q+a2y+(4一。2y一2(44-^)(^-d2)COSy,

,),13

化简得+3姆=4c~,^\]—+—=4

e\纥

/、

e；3e；13

则2产2o1+[4-+12+13>6

，+16+31+13+1

<纥1%纥)

4+134+1]4+1厂

<4+2[—x-^_=lx(4+2>/3)=^^

=-%4+^—

64+1W+16

<纥

当且仅当〈时等号成立,

3__24+94

>1

8-3>/3-37

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的离心率的相关计算，涉及到焦点三角形、

基本不等式求最值等问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两

个：（1）运用两个曲线的定义，找到离心率之间的关系；（2）在已知条件等式的情况下，

活用“1”的妙用求最值.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分.

9.下列说法中，正确的是（）

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体相

被抽到的概率是0.1

B.一组数据10/1,11,12,13,14』6/8,20,22的第60百分位数为14

C.若样本数据2玉+1,2/+1,……,2%+1的方差为8,则数据玉,々，…,Mo的方差为2

D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为耳，吊

和若工=耳，则总体方差$2=;

【答案】AC

【解析】

【分析】由古典概型的概率可判断A,根据百分位数定义可判断B,由数据的平均数和方差

的定义可判断C,D.

【详解】选项A：个体加被抽到的概率为卷=0.1,故A正确；

选项B：由于10x60%=6,第六个数为14,第七个数为16,则第60百分位数为

*5,

故B错误;

选项C:设数据%,％2,…，Fo的平均数为无，方差为

/=4［（不一元J+（占一元J++（^0—fl］，

则数据2%+1,2七+1,……，:2/+1的平均数为

_.(2%+1)+(2x,+1)+…+(2/+1)_2(1+，2+-+/)+1。_0.

X-——ZX+1，

1010

方差为s：=而[(2*1+1一元)+(2x,+1—x)+…+(2%0+1-x)]

222222

=^[(2X.-2X)4-(2X2-2A9+--+(2X10-2X)]=^(XI-X)4-(X2-X)+--+(X10-X)]

=4-=8，

所以『=2,故C正确：

选项D：设第一层数据为X,第二层数据为乂，%，…，小，

.—X+X？,+...4-Xn--_y+%+•••+)%

则%二々~-------,X>一,

nm

所以％+/+...+工"=〃•不，,+必+…+”=力9

S；=；[■-可+(与_可+”•+(怎可

¥=\[(x-回2+(%—兀)2+”+(y,”-E)J

’・+打

总体平均数x=芯++x”+y+9

n+m

总体方差/=」一「(％-寸++(^-^)2+(^-^)2++d)1

因为％=%，则%+…+当+y+•••+儿=(〃+机)•王，

(n+m)x,——

所以元=%+…+Z+Y+…++--X1-x

n+mn+m2

心+&-再)~+()'|_々)2++(%一无2)1

,-「〃S；+〃6],故D错误.

〃+〃2L」

故选：AC.

10.如图，点A8,C是函数/(M=sin(&x+夕)(口>0)的图象与直线>=今相邻的三

后=0,则()

9兀、1

B.

2

C.函数/(x)在(方,上单调递减

D.若将函数,f(x)的图象沿工轴平移。个单位，得到一个偶函数的图像，则网的最小值为

n

24

【答案】ACD

【解析】

【分析】令/("=且求得5,与，％根据忸。一恒耳=m求得①=4,根据/(一工

0

23\

求得了(x)解析式，再逐项险证BCD选项.

【详解】令f(x)=sin(GX+9)=B得，cox+e=]+2kn或cox+e=1+2也,

keZ,

TI71叫+0=1+2E,

由图可知：coxA+^>=—+2k7t,a)xc+(p=—+2kii+2it,

7137T

所以|BC|=X-X=一-----F2K,

CB33

7TI27c)

所以5=忸。|—恒8|=一---+2nI,所以3=4,故A选项正确,

3co

所以/(x)=sin(4x+°),由/=0得sin々+°]=0,

1^7I3)

TI

所以——+(p=n+2/at,keZ,

4n

所以°=—+2kn,,AeZ,

所以/(x)=sin(4x+竺+2&花=sin4x+—=-sin(4x+*

g,故B错误.

，兀兀、，，兀，5兀-兀、

当xe时，4x+-e—,2n+-,

(32j3\33)

因为y=-sin［在z£；,2兀+1为减函数,

上单调递减，故C正

I3

确;

将函数〃x)的图象沿x轴平移。个单位得g(x)=-sin(4x+4g+1J,(6<0时向右平

移，。:>0时向左平移)，

g("为偶函数得46+^=?+依，kwZ,

所以。=/+与，keZ，则IM的最小值为成，故D正确.

故选：ACD.

11.已知直线/：〃氏一y+m+2=0与圆C：x2-4x+y2+3=0,若存在点Mw/,过点

27r

M向圆C引切线，切点为A，B,使得NAC3=—,则机可能的取值为()

3

A.2B.OC.-73D.-75

【答案】BCD

【解析】

【分析】先确定出直线/所过的定点以及圆心和半径，根据条件分析出

由此确定出sinNAMC所满足的不等关系，则加的取值范围可求，依沼的可取值可确定.

【详解】因为/："比一丫+m+2=0即/:相(1+1)=下一2,

x+l=O

令4解得,所以/过定点(一1,2),

v-2=0y=2

圆C:(x-2)2+y2=i,圆心为C(2,0),半径为1,

由切线性质可知:

2兀2兀7171

当ZAC8=—时，ZAMB=n——=-,NBMC=/AMC=—,

3336

JTJT

因为存在M使得乙4MC='，所以（NAMC）>-,

6'7max6

|3/n+2|

记C到/的距离为।

Jm2+1

Adii

又因为sinZAMC=7——\=：---：<—当/AMC最大时,此时|MC|=d,

\MC\\MC\d

兀1|3/n+2|I?

所以sin7W-；,所以dK2,所以J°।«2,解得一一<w<0,

6dy/m2+15

又因为一~—<—y/5<—\/3<0<2,所以〃z可取—JJ,0,

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合运

用，涉及圆的切线相关问题，着重考查学生分析转化问题的能力，难度较大.解答问题的关

键在于分析N4WC的取值范围并将其正弦值与圆心到直线的距离联系在一起，从而求出

参数的可取值.

12.已知函数〃力=2配，g(x)=—,则()

xsinx

A.”力与g(x)的定义域不同，"X)与g(x)的值域只有1个公共元素

B.在f(x)与g(x)的公共定义域内，的单调性与g(x)的单调性完全相反

C.f(x)的极小值点恰好是g(x)的极大值点，/(力的极大值点恰好是g("的极小值点

D.函数/(x)既无最小值也无最大值，函数g(“既有最小值也有最大值

【答案】BC

【解析】

【分析】首先确定了⑶定义域为{xIxxO)、g(x)定义域为再应用导数

研究/(X)与g'(x)符号，进而判断其单调性、极值点情况；判断/(X)、g(x)奇偶性，研究它

们在X€(0,+CO)上的性质；根据/(幻的值域情况及g*)=I研究最值、及函数值是否有

f(x)

公共元素.

【详解】定义域{xlx工0},对于g(x)有sinxrO,即{五|x#E},2£Z,故定义

域不同.

、xcosx-sinxsinx-xcosx、，

由/(x)=----------，g'(x)=--------；------,且f,sirrx>0,

xsinx

故在相同的区间内/'(x)与g'@)符号相反，即对应/")、g(x)单调性相反，B正确；

由上,由力、g(x)的极值点恰好相反,〃“)的极大值点为g(x)极小值点，〃幻的极小值点

为g(x)极大值点，C正确；

由」(一划=⑹"火)二出".二/(元),g(-x)=.:=*=点才)，均为偶函

-xxsm{-x)sinx

数，

只需研究在xw(0,+oo)上/(X)、g(x)的性质；

由。="一$山2且ovxvi,则)，'=1一COSXNO，故y递增,则y>yl=o=o，故

x>sinx>0,

而了(X)在(0,+00)上连续，且函数值在(-1,1)范围内波动，即函数值为正、负的区间交替出

现，

结合g(x)=7K知：/(X)取0时g(x)趋向于无穷大(含正负无穷)，无最值：D错误：

f(x)

,⑶极小值/(^))G(-1,0),则g(%)=:(；)<T为g(x)极大值，

/(x)极大值〃x)«O,l),贝Ijg(xj=>1为g（x）极小值,

fM

所以/（X）、ga）值域不可能存在公共点，A错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：利用导数研究人幻、g。）单调性、极值情况，注意/"）函数的波动

性及值域范围，结合秋幻=工研究最值.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一组数据为3,5,1,6,8,2,记这组数据的上四分位数为〃，则二项式

2工-十）展开式的常数项为.

【答案】60

【解析】

【分析】根据百分位数的计算方法，求得〃二6,求得二项展开式的通项为

T[=（-1）J26-qJW,即可求解.

【详解】将这组数据从小到大排成一列为：1,2,3,5,68,

由6x75%=4.5,所以这组数据的四分位数为〃=6,所以二项式为

则二项展开式的通项为加=晨（2"一'（-亡）'=（-1）r•26yd

令6-5r=0,解得〃=4,所以展开式的常数项为（一1）4-22或=60.

故答案为：60.

14.已知数列｛《,｝满足4+34+'+3"Ta“=〃-3”x（〃wN*）,设数列｛〃“｝的前〃项和

为S〃，则S“二

【答案】3/?+6/7

【解析】

【分析】根据给定的递推关系求出/，再利用等差数列前〃项和公式求出S“即可.

【详解】数列｛叫满足4+3%+…+3”&=〃・3向，当〃N2时，

4+++3"=(〃-1)•3”,

两式相减得3”-4=刀・3"—(〃一1)3”=(2〃+1)・3”,因此q=3(2〃+1),而q=9满

足上式，

于是凡=3(2〃+1),显然4.一%=3(2〃+3)-3(2〃+1)=6,即数列｛〃“｝是等差数列，

所以S“=理酗±%"+6m

2

故答案为：3/+6〃

15.在正三棱台ABC-44G中，AB=2,侧棱AR与底面A8C所成角的

正切值为应.若该三楂台存在内切球，则此正三棱台的体积为.

【答案】逆

12

【解析】

【分析】取5c和旦G的中点分别为P,。，上、下底面的中心分别为。1,。2,设

4片=不，内切球半径为八根据题意求出侧棱长以及0Q，再根据切线的性质及

等腰梯形BB.C.C和梯形AA.QP的几何特点列方程组求出半径即可.

【详解】如图，取BC和与G的中点分别为P,Q,

上、下底面的中心分别为。1,。2，

设内切球半径为广，因为tan/AAO2=J5,棱台的高为2「，

所以A4t=8旦=℃=+(&)=瓜「,

O.P=-AP=-x—AB=：—：同理=

-332316

因为内切球与平面BCG用相切，切点在PQ上，

所以PQ=aP+QQ=^(工+2)①，

等腰梯形中，Pe2=(\/6r)2-[—I

V2>

由"住：喑.

在梯形MQ尸中，P22=（2r）2+|—x|

由②®得2-x="r，代入得x=l,则棱台的高〃=2r,

3

所以棱台的体积为V=:（乎+/＞4+*]*半=♦擀

故答案为：逑.

12

16.已知函数/(x)=(x+a)(|x-2«|+|x+4a|)(t/<0)若

〃sin0)+f(si哈+/sin—=0,则关于“的不等式一4*+2々）＜/（%）＜3的解集

I2

为■

【答案】（0）

【解析】

【分析】计算出/（一々+耳+/（-々一同=0,函数y=/（力关于点（一。,0）中心对称，得

到f（x）=0有唯一的解工=一。＞0,求出函数的单调性，结合题目条件得到。=-g,进而

得到分段函数解析式，计算出/-=3,故一/（工一1）=〃2-力＜/（"＜3=/5,

结合函数单调性得到不等式.

【详解】由题意，得了（一。十））="（卜一3。|十«十3以|）,

/（-6?-x）=-x（|x+3a|+|x-3fl|）,

所以/（一。+工）+/（-4一％）=0，即函数y=/（x）关于点（一。,0）中心对称.

因为|%—2同+卜+44〉0恒成立.所以当1＞一。时，/（x）＞0,

当了＜一。时，/（x）＜0.

所以/（力二0有唯一的解X=-〃＞O.

2

2(x+a)~,x>-4a

f(x)=<-6a(x+a),2a<x<-4a,

-2(x+a)2,x<2a

当xN-4a时，/（X）=2（X+6F）2,函数单调递增,

当幼＜xv＜7时，/（x）=-6d（x+〃），函数单调递增,

当―时，/（x）=-2（x+a）\函数单调递增,

又2(-4a+a)2=-6a(Ta+a)：-2x(2a+aJ=-^a(2a+a)，

故f（x）在R上单调递增,

/(sin0)+/工si吟卜（吟卜/⑼MT）+f⑴=0,

由对称性可知/（（））=一/（一2a）,

下面证明-。=不，过程如下：

2

若时，则且—2a＞l,则/（_加）＞/（1）,-/（-2«）＜-/（!），

/(O)+/(l)=/(l)-/(-2«)<O,

此时/(。)+/(£|+/