第一章 质点力学

第一章质点力学教学基本要求

一、掌握位矢、位移、速度和加速度等概念.二、能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度.三、掌握质点作圆周运动时的切向加速度、法向加速度、角速度、角加速度等概念和角量与线量的关系，并能做相关计算.1-1质点运动的描述预习要点领会位置矢量、位移、速度、加速度的定义及相互关系；认识它们在描述质点运动中所起的作用.运动方程的含义和表达式是什么？根据运动方程如何求速度和加速度？运动学(kinematics)动力学(dynamics)静力学(statics)只描述物体的运动，不涉及引起运动和改变运动的原因。研究运动与相互作用之间的关系。研究物体在相互作用下的平衡问题。牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动

是整个物理学的基础

广泛应用于工程技术矢量（vector）及其运算：1、加法：平行四边形法则交换律结合律2、数乘：矢量乘标量结果仍为矢量结合律分配律矢量：有大小、方向，并有下述运算规则交换律分配律3、标量积：4、矢量积：AB

一运动描述的相对性1.物体运动是绝对的,但运动的描述是相对的.

参考系:为确定物理位置和描述物体运动而选为依据的一个或一组彼此相对静止的物体.太阳系zx

y地心系地面系2.运动的相对性选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性.3.坐标系在选定的参考物上建立固定的坐标系，可精确描述物体的运动.常用坐标系：直角坐标系（x,y,z

）,球坐标系（r,θ,

）,柱坐标系（

,

,z）,

自然坐标系

(s).二、描述质点运动的物理量1.位置矢量*

确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量,简称位矢，用表示.式中

、、

分别为x、y、z

方向的单位矢量.P位矢的方向余弦为位矢的值为随时间变化的位置矢量—轨道方程

从运动方程中消去参数t得到质点位置坐标之间的关系式称为轨道方程.

2.位移BA

经过时间间隔后,质点位置矢量发生变化,由始点A指向终点B的有向线段AB称为点A到B的位移.描写质点位置变化的物理量.在直角坐标系中,其位移的表达式为1.位移的物理意义

确切反映物体在空间位置的变化,与路径无关，只决定于质点的始末位置，是描述状态变化的物理量.讨论2.位移与路程

P1P2两点间的路程是不唯一的,可以是或,而位移是唯一的.

一般情况位移大小不等于路程，即；只有当质点做单方向的直线运动时，路程和位移的大小才相等.取极限当时3.速度平均速度

在时间内,质点从点A运动到点

B,其位移为

物体的位移与发生这段位移所用的时间之比.

平均速度与

同方向.描写物体运动快慢和位置变化方向的物理量.时间内,质点的平均速度A*B*瞬时速度

当质点作曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是沿该点轨道曲线的切线方向.

当时平均速度的极限叫做瞬时速度，简称速度，即在某时刻或某位置处质点位矢对时间的变化率.当时,BA瞬时速率瞬时速率速度的大小称为速率.在直角坐标系中平均加速度B与同方向.反映速度变化快慢和速度方向变化的物理量.

某段时间内,单位时间的速度增量即平均加速度.4.加速度A瞬时加速度时平均加速度的极限.，加速度大小在直角坐标系中加速度方向求导求导积分积分质点运动学两类基本问题由质点的运动方程求得质点在任一时刻的速度和加速度（通过求导计算）；已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,求质点速度及其运动方程（通过积分计算）.(1)已知加速度，初始速度为通过积分可以计算质点在任意时刻t的速度。(2)已知速度，初始位矢为通过积分可以计算质点在任意时刻t的位矢。例1：已知质点的运动方程是，式中R、

是常数.（1）

运动学方程的分量式是

由中消去时间参量t，求:（1）质点轨道方程；（2）质点的速度和加速度.得到轨迹方程解：（2）将对时间求导例2：设质点沿x轴作匀变速直线运动，加速度不随时间变化，初位置为x0，初速度为.试用积分法求出质点的速度公式和运动方程.解：因为质点做直线运动,所以对上式两边做积分运算,得将初始条件带入上式,确定积分常数所以速度公式为由速度定义,有所以对上式两边积分运算:得将初始条件带入上式,确定积分常数运动方程为解：例3.质点运动方程为试求质点的和例4、已知a=8-6t,v0=0,x0=0,求运动方程.书上例1.1，1.2三、运动的相对性同一物体的运动，在不同参考系中，对其描述不同.:相对速度,:牵连速度.

一个动点M,两个参考系,绝对参考系K,相对参考系K’,K’系相对K系以速度作平动.:绝对速度,*加速度关系有

说明在相对作匀速直线运动的参考系中观察同一质点的运动时，所测得的加速度是相同的.如果两个参考系作相对匀速直线运动，即为常量，则,重要结论四、运动的叠加性

一个运动可以看成由几个独立进行的运动叠加而成，并且描述其中任何分运动的矢量叠加都满足平行四边形法则.反之，一个运动可以按平行四边形法则分解成若干个分运动.

例如：一只横渡流速均匀分布的河流的船.船对水的速度水对岸的速度书上例1.3，1.41-2质点运动的描述之二预习要点领会切向加速度和法向加速度的概念及物理意义；理解切向加速度、法向加速度和总加速度的关系.领会圆周运动中角位移、角速度和角加速度的概念以及它们之间的关系.了解线量和角量的关系.*3.认识同一质点在不同坐标系中的位置矢量关系式、速度关系式和加速度关系式.一、圆周运动的角量描述3.角速度：描述质点转动快慢和方向的物理量.1.角位置:AB4.角加速度：2.角位移：质点转过的角度，单位rad（弧度）.二、角量和线量的关系速度与角速度的关系式AB

AORB三、切向和法向加速度法向加速度normalacceleration

BAOR切向加速度tangentialacceleration

BAOR

对于圆周运动，加速度可按自然坐标分解为：描述速度大小的变化描述速度方向的变化切向加速度法向加速度角量与线量的关系d一般曲线运动角量的计算对于匀变速圆周运动例5求运动方程为、半径为R的圆周运动的向心加速度以及切向加速度的表达式。解：课堂练习1一质点从静止开始作匀加速圆周运动。切向加速度at=3.00m/s2，圆的半径R=300m，问经过多少时间，物体的法向加速度与切向加速度大小相同？1、依题意可得：【思考】质点能否按图示的加速度沿圆周运动？如果能，分别表示什么情形？a4a2a3a10书上例1.51-3牛顿运动定律预习要点领会牛顿三定律.注意物体受力分析和应用牛顿定律解题的方法.一、牛顿运动定律分析

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止.1.牛顿第一定律2.牛顿第二定律

物体受外力作用时，所获得的加速度与物体所受的合外力成正比，与物体质量成反比，加速度方向与合外力的方向一致.

两个物体之间作用力和反作用力

,沿同一直线,大小相等,方向相反,分别作用在两个物体上.3.牛顿第三定律2.牛顿第二定律指出力是产生速度的原因，且受多个力作用时，代表合力.m越大，a越小，物体运动状态越难改变，质量是物体惯性的量度，都是矢量，瞬时对应，乘积是力的效果的显示，但不是力.明确几点：1.牛顿第一定律指出物体具有惯性，即保持其运动状态不变的特性.3.

牛顿第三定律指出力是物体间的相互作用，有作用力必须有反作用力，分别作用在相互作用的两个物体上，同时产生，同时消失，并且是性质相同的力.4

牛顿运动定律只适用于质点和作平动的物体在惯性系中的低速运动.二、力学中常见的几种力1.万有引力引力常量物体间的相互吸引力.2.重力由于地球吸引而使物体受到的力叫重力.重力的方向和重力加速度的方向相同，即竖直向下.万有引的大小：3.弹性力

当两宏观物体有接触且发生微小形变时，形变的物体对与它接触的物体会产生力的作用，这种力叫弹性力.

包括压力、张力和弹簧的弹性力等.

压力产生条件是物体发生接触和接触面发生形变，绳子在受到拉伸时，其内部各部分间出现弹性张力.4.摩擦力

当两相互接触的物体有相对运动或相对运动趋势时，在接触面上产生相互阻碍相对运动的力称为摩擦力.滑动摩擦力摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力.最大静摩擦力不严格区分时，摩擦力为滑动摩擦因数.三、牛顿定律的应用（1）确定研究对象.几个物体连在一起可取整体为对象,有时还需隔离相关联的物体为对象，化内力为外力.（2）画受力图.分析时一般按照①重力,②弹力,③摩擦力的顺序画；每个力都应能找到施力物体.（3）运动分析.分析对象的轨迹、速度和加速度，涉及相对运动时，要分析有几个可能的速度和加速度，将速度、加速度的方向也画在研究对象的受力图上.解题步骤：（4）建立坐标系，列方程求解（一般用分量式）.*注意力和加速度在各坐标轴上的投影的符号.

[例3]有一柔软的链条，长度为l,其部分平放在光滑的桌面上

,另一部分悬垂在桌边,其长度为b。开始链条静止。试求：当链条全部脱离桌子时的速度。

lbb()ρTgxxlx()T(l-x)x设链条单位长度质量为ρρaT=lx()vd=axdxdtdvd=xdv=gxlg=ρxTρxa=agxlvdxdv=gxl=122vgl22l2b()=vgl2l2b()vdxdv=gxl积分得：由上面得到：xòvdxdv=glò0lbv书上例1.6,1.71-4动量定理和动量守恒定律预习要点领会牛顿定律和质点动量定理的关系.区别质点组的内力和外力.注意动量守恒的内容、守恒条件、数学表达式及分量式.一、质点的动量定理

动量为

的物体，在合外力的作用下，牛顿第二定律可以表示为说明2)SI单位：N·S1冲量:1）冲量是矢量，若力为恒力，它的方向与外力方向相同，若力为变力，其方向由力对时间的积分决定

二.冲量与动量定理2质点的动量定理力在一段时间内的冲量等于物体在该时间内动量的增量.这就是质点的动量定理。说明1）动量定理是矢量式，运算时通常用标量式.在直角坐标系中的分量式为2）变力常用平均力表示。定义对时间的平均值为平均力同理写成矢量式3）外力在时间上的累积效果是使物体动量发生变化。3冲力在打击和碰撞过程中，物体相互作用的时间很短，力很大且随时间变化，这种力称冲力。冲力的瞬时值很难确定，通常用平均力来表示。注意：

1.首先应当计算出每个方向的冲量

2.然后计算冲力

3.利用平行四边形法则合成力。切忌：不能把不同方向的冲量随便进行加减。例1.10四、质点组的动量定理质点系取两个质点组成的系统.系统受外力为，内力为.因为内力，分别对两个质点应用动量定理故质点组动量定理作用于系统的外力矢量和的冲量等于系统动量的增量.推广到由多个质点组成的系统

系统的内力可以改变系统内单个质点的动量,但对整个系统来说,所有内力的冲量和为零,系统的内力不改变系统的总动量.五、动量守恒定律质点组动量定理动量守恒定律:在某时间内，若质点系所受的外力矢量和始终为零,则在该时间内系统的总动量守恒.动量守恒的分量表述：即则注意：式中各质点的动量或速度都应该相对同一惯性系.例1.11例1.12质心质量中心——质心质点系质心的位矢rczxymiCrirc质心速度质心运动定理*六、火箭飞行原理在时刻t,火箭体质量为m,速度为

火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气,所以火箭体的质量不断地变化.取微小过程，即微小的时间间隔dt,

火箭体质量为,对地速度为在时刻,喷出的气体的质量在时刻,相对于地面的喷气速度为mdmm+dm相对火箭体的喷气速度为，与反向，根据动量守恒定律有假设在自由空间发射，相对地面参考系，提高火箭速度的途径主要有两种：第一种是选优质燃料提高火箭喷气速度u；第二种是采取多级火箭加大火箭质量比m0/m.得上式整理为例:水平光滑轨道上有长为、质量为m2的平板车.质量为m1的人站在车的一端,起初人和车都静止.当人从车的一端走向另一端时,人和车相对地面各自的位移是多少?解:以人和车组成的系统为研究对象.系统在水平方向不受外力,因此在水平方向上的动量守恒.对于地面的速度分别为和,有以人行走的方向为x轴的正方向,人和车的在某时刻相xOxO再设人相对于车的速度为人在时间内从车的一端走向另一端,人相对于车的位移为l,设在此时间内,人和车相对于地面的位移分别为和.表示车对地位移沿x轴负方向，与人行走方向相反.思考：为什么计算位移x1和x2要使用积分？1-5功动能定理预习要点注意变力功算式的导出过程,如何计算直线运动中变力的功?领会质点和质点组动能定理的内容和物理意义.在什么情况下内力不作功?一、功1.恒力的功等于恒力在位移上的投影与位移的乘积.2.变力功的计算(1)

无限分割轨道；取位移，；在上的功（元功）；(3)利用恒力功计算式计算(2)位移元上的力在ds上可视为恒力；abO(4)总功为所有元功之和.二、功率

描写作功快慢的物理量，即单位时间内外力作的功.平均功率功率外力作功与时间之比:由和有单位：W（瓦特），kW（千瓦），1kW=103W.三动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。ABDriFi二.质点系的动能定理两式相加得1.定理内容：系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。2.推导：对质点系Fff无相对位移,内力做功为零.Fff有相对位移,内力做功可能不为零.内力与位移垂直，功为如何？（

各质点位移不一定相同）。注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零内力的功：

f1=-f2功系统内的质点没有相对位移时，一对内力所作的功等于零；如果系统内质点间有相对位移，则一对内力作的功之和等于第一个物体所受之力在第一个物体相对第二个物体的位移过程中所作的功，或反之.这相当于将其中一个物体视为静止，并以它所在位置为原点，求另一个物体在此坐标系中运动时所受力的功，此功是一对内力功之和.可以证明：例：质量为m1的小平板车停靠在O处小平台旁，有质量为m2的物块以速度进入平板车.设车与地面之间的摩擦力可以忽略.物块与车之间的摩擦因数为,车身长为d,物块进入小车后带动小车开始运动.当车行l距离时,物块刚好滑到小车一端的挡板处.然后物块与小车以同一速度一起运动.试分析,在上述过程中,（1）木块与平板车组成的系统动量守恒吗?（2）系统的动能守恒吗?（1）把木块与车选为一个系统,水平方向无外力作用,所以动量守恒.m2m1解:木块对地的位移:木块所受摩擦力:；方向与运动方向相反考虑中间的某个状态,物块和小车的速度不相同,这时也有动量守恒关系:（2）木块与小车之间有相对位移,一对摩擦内力作功.木块所受摩擦力作功:小车受的摩擦力:；方向与运动方向相同小车对地的位移:小车所受摩擦力作功:一对内力作功的代数和为内力作了负功,根据质点组的动能定理,系统的总动能应减少同样的数值.所以系统的动能不守恒.讨论木块与小车间的一对摩擦内力所作功之和等于木块所受摩擦力与木块相对小车的位移d的乘积.视小车静止，木块在小车坐标系中，所受水平外力为向左的摩擦力，位移为向右的d，功为，与上述结论一致.并且此功实际上是木块和小车组成的系统内一对摩擦内力所作功之和.1-6功能原理

机械能转换和守恒定律预习要点领会保守力的特征和势能的概念.保守力的功与势能增量有怎样的关系?功能原理的物理意义是怎样的?质点组机械能守恒的条件是什么?一、保守力AB结论：重力作功与路径无关.1.重力、弹性力和万有引力作功的特点（1）重力作功（表示沿封闭路径积分）（2）弹性力作功结论：弹性力作功与路径无关.

3.万有引力

m·rMf·dr(B)××(A)rBrA结论：万有引力作功与路径无关.

保守力:力所作的功与路径无关，仅与相互作用物体的相对位置有关，这种力称为保守力

.保守力场:某种保守力在空间的分布,如引力场.二、系统的势能和保守力的功重力、弹性力和万有引力作功的计算式右方都出现了只与物体位置有关的差式，并且差式的两项具有同样的表达式.鉴于功是能量变化的量度，显然，差式的两项应视为是与相互作用的两物体间的相对位置有关的能量，我们称之为势能，用Ep表示.重力势能：弹性势能：引力势能：重力、弹簧的弹性力、万有引力都是物体间相互作用的保守内力，对一切保守内力，都具有与之对应的势能.在质点-地球系统中，重力作正功，重力势能减少；重力作负功，重力势能增加.在质点-弹簧系统中，弹性力作正功，弹簧势能减少；弹性力作负功，弹性势能增加.结论：系统中保守力所作的功等于与这种保守内力有关的系统势能增量的负值.在引力场中，引力作正功，引力势能减少；引力作负功，引力势能增加.由势能求保守力保守力做功：写成分量的形式：Fx,Fy

,

Fz三、功能原理定义机械能:由质点组动能定理

非保守力的功

质点组的功能原理:质点组机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和.四、机械能转