考研数学一（高等数学）模拟试卷10（共283题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷10（共9套）（共283题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2、下列广义积分发散的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：3、设在区间[a，6]上f(x)>0，f’(x)<0，f"(x)>0，令，S2=f(b)(b-a)，，则()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1标准答案：B知识点解析：因为函数f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选B.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、标准答案：知识点解析：5、标准答案：知识点解析：6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：知识点解析：8、标准答案：知识点解析：9、设f(x)是以T为周期的连续函数，且也是以T为周期的连续函数，则b=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、∫arcsinxarccosxdx标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、函数f(x)=xsinx()A、当x→∞时为无穷大。B、在(-∞，+∞)内有界。C、在(-∞，+∞)内无界。D、当x→∞时极限存在。标准答案：C知识点解析：令xn=2nπ+，yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ+，f(yn)=0。因为，所以f(x)在(-∞，+∞)内无界，故选C。2、设，则()A、f(x)在x=x0处必可导且f’(x0)=a。B、f(x)在x=x0处连续，但未必可导。C、f(x)在x=x0处有极限但未必连续。D、以上结论都不对。标准答案：D知识点解析：本题需将f(x)在x=x0处的左、右导数f’-(x2)和f’+(x0)与在x=x0处的左、右极限区分开。，但不能保证f(x)在x0处可导，以及在x=x0处连续和极限存在。例如f(x)=但是不存在，所以f(x)在x=0处不连续，不可导。故选D。3、曲线y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为()A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案：C知识点解析：对于曲线y，有y’=2(x-1)(x-3)2+2(x-1)2(x-3)=4(x-1)(x-2)(x-3)，y’’=4[(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)]=4(3x2-12x+11)．令y’’=0，得x1=又由y’’=24(x-2)，可得y’’’(x1)≠0，y’’’(x2)≠0，因此曲线有两个拐点，故选C。4、设g(x)=则g(x)在区间(0，2)内()A、无界。B、递减。C、不连续。D、连续。标准答案：D知识点解析：因为f(x)在区间[0，2]上只有一个第一类间断点(x=1为f(x)的跳跃间断点)，所以f(x)在该区间上可积，因而g(x)=在该区间内必连续，故选D。5、已知a，b为非零向量，且a⊥b，则必有()A、｜a+b｜=｜a｜+｜b｜。B、｜a-b｜=｜a｜-｜b｜。C、｜a+b｜=｜a-b｜。D、a+b=a-b。标准答案：C知识点解析：由于a⊥b，则｜a+b｜与｜a-b｜在几何上分别表示以向量a，b为邻边的矩形的两条对角线的长度，则必有｜a+b｜=｜a-b｜，故选C。6、已知f(x，y)=，则()A、fx(0，0)，fy(0，0)都存在。B、fx(0，0)存在，但fy(0，0)不存在。C、fx(0，0)不存在，fx(0，0)存在。D、fx(0，0)，fy(0，0)都不存在。标准答案：C知识点解析：由于f(x，0)==sin｜x｜在x=0处不可导，故fx(0，0)不存在。事实上而f(0，y)==siny2在y=0处可导，则fy(0，0)存在，故选C。7、设曲线L：f(x，y)=1(具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：在Γ上f(x，y)=1，M在第二象限，N在第四象限，则M点的纵坐标yM大于N点的纵坐标yN，因此故选B。8、设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=bnsinnπx，-∞＜x＜+∞，其中bn=sinnπxdx，n=1，2，3，…，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为s(x)是正弦级数，所以此傅里叶级数是对f(x)在(-1，0)内作奇延拓后展开的，于是和函数s(x)在一个周期内的表达式为二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)9、=_________。标准答案：1知识点解析：原式=10、=_________。标准答案：知识点解析：11、设，则f(x)的极值为_______，f(x)的拐点坐标为________。标准答案：知识点解析：对f(x)求导，令f’(x)=.2x=0，得x=0。而且，当x＜0时，f’(x)＜0；当x＞0时，f’(x)＞0，所以极小值点为x=0，极小值为f(0)=0。又因f’’(x)=当x∈时，f’’(x)＞0，故拐点坐标为12、=______。标准答案：-4π知识点解析：令=t，则13、直线L1：的夹角为_______。标准答案：知识点解析：两条直线方向向量的夹角即为两条直线的夹角。L1的方向向量s1={1，-2，1}。令y=t，直线L2的参数方程是则L2的方向向量s2={1，1，-2}。由于所以L1与L2的夹角为14、二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极小值为_______。标准答案：知识点解析：由因为AC-B2=是f(x，y)的极小值，且15、已知曲线L：y=x2(0≤x≤=________。标准答案：知识点解析：由线L可写成参数形式：x=x，y=x2(0≤x≤)，则16、设D是由x2+y2≤a2，y≥0所确定的上半圆域，则D的形心的y坐标=______。标准答案：知识点解析：17、方程(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0的通解为________。标准答案：y2+1=C(x2-1)知识点解析：由题干可得(y2+1)xdx+(1-x2)ydy=0，则分离变量得积分得所以通解为y2+1=C(x2-1)。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、设e＜a＜b＜e2，证明ln2b-ln2a＞标准答案：对函数y=ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得当t＞e时，φ’(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而有φ(ξ)＞φ(e2)，即知识点解析：暂无解析20、如图1-3-2所示，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)。设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分标准答案：由图形知，f(0)=0，f’(0)=2，f(3)=2，f’(3)=-2，f’’(3)=0。则知识点解析：暂无解析21、求函数f(x，y)=的极值。标准答案：先求驻点，令解得驻点为为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数因为AC-B2＜0，所以不是极值点。因为A＞0，AC-B2=是极小值点，极小值为知识点解析：暂无解析22、已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界。试证：标准答案：(Ⅰ)左边=右边=所以(Ⅱ)由于esinx+e-sinx≥2，故由(Ⅰ)得知识点解析：暂无解析23、设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω。(Ⅰ)求曲面∑的方程；(Ⅱ)求Ω的形心坐标。标准答案：(Ⅰ)由已知得={-1，1，1}，则设任意点M(x，y，z)∈∑，对应于L上的M0(x0，y0，z)，则有x2+y2=且由得∑：x2+y2=(1-)2+z2，即∑：x2+y2=2z2-2z+1。(Ⅱ)显然其中，Dxy：x2+y2≤2z2-2z+1。所以知识点解析：暂无解析24、设an=(Ⅰ)求(an+an+2)的值；(Ⅱ)证明对任意的常数λ＞0，级数收敛。标准答案：(Ⅰ)因为又由部分和数列(Ⅱ)先估计an的值。因为由λ+1＞1可知，也收敛。知识点解析：暂无解析25、将函数f(x)=1-x2(0≤x≤π)用余弦级数展开，并求的和。标准答案：将f(x)作偶延拓，则有bn=0，n=1，2，…。令x=0，有又f(0)=1，所以知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设当x→0时，(x—sinx)ln(1+x)是比(1—cos2t)dt高阶的无穷小，则n为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：2、设α=，当x→0时，α是β的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：D知识点解析：故α是β的同阶但非等价的无穷小，应选(D)．3、设f(x)=∫01—cosxsint2dt，g(x)=，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：所以f(x)是g(x)的高阶无穷小，选(B)．4、极限()．A、等于1B、为∞C、不存在但不是∞D、等于0标准答案：C知识点解析：因为当xn=极限不存在但不是∞，选(C)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、当x→0时，3x一4sinx+sinxcosx与xn为同阶无穷小，则n=__________．标准答案：5知识点解析：6、设=__________．标准答案：知识点解析：7、=__________．标准答案：—2知识点解析：8、=__________．标准答案：知识点解析：9、=__________．标准答案：知识点解析：当x→0时，10、=__________．标准答案：知识点解析：11、=__________．标准答案：2知识点解析：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求．标准答案：因为当x→0时，一1～x2，xln(1+2x)～2x2，所以．知识点解析：暂无解析23、求．标准答案：因为当x→0时，知识点解析：暂无解析24、求．标准答案：知识点解析：暂无解析25、若．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：C知识点解析：2、A、发散B、收敛于C、收敛于0D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：3、A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、收敛性与a有关标准答案：C知识点解析：4、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：5、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：6、A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、敛散性与k有关标准答案：C知识点解析：7、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：8、A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与k有关标准答案：A知识点解析：9、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：10、下列说法正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、标准答案：8知识点解析：12、标准答案：[-2，2]知识点解析：13、标准答案：知识点解析：14、标准答案：知识点解析：15、标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)16、判别级数的敛散性，若收敛求其和．标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、判断级数的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析37、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、累次积分dθ∫0cosθrf(rcos0，rsinθ)dr等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，0≤y≤，选(D)．2、设D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，则sinxsiny．max{x，y}dσ等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x}，选(B)．3、设，其中D：x2+y2≤a2，则a为()．A、1B、2C、D、标准答案：B知识点解析：解得a=2，选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设f(u)连续，则∫0xdu∫u1vf(u2—v2)dv=_________．标准答案：—xf(x2—1)知识点解析：5、设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则=_________．标准答案：8π知识点解析：6、设f(x)连续，则=_________．标准答案：知识点解析：7、设a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整个平面，则I=f(x)g(y—x)dxdy=_________．标准答案：a2知识点解析：8、设f(x)=f(y)f(x+y)dxdy=_________．标准答案：知识点解析：在D1={(x，y)｜—∞＜x＜+∞，0≤y≤1)上，f(y)=y；在D2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，则在D0=D1∩D2={(x，y)｜—y≤x≤1一y，0≤y≤1}上，f(y)f(x+y)—y(x+y)，所以．9、设连续函数f(x)，f(0)=0，F(t)=[z2+f(x2+y2)]dxdydz，Ωt：x2+y2≤t2，0≤z≤1，则=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)10、设f(x，y)=(1)f(x，y)在点(0，0)处是否连续?(2)f(x，y)在点(0，0)处是否可微?标准答案：知识点解析：暂无解析11、设z=．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设u=u(x，y，z)连续可偏导，令标准答案：从而=t(r2cos2θcosφsinφ)+t(r2sin2θcosφsinφ)+t(一r2sinφcosφ)=0，故u仅是r的函数，即u不含θ与φ．知识点解析：暂无解析13、设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)．证明：标准答案：令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，两边对t求导得知识点解析：暂无解析14、设z=标准答案：知识点解析：暂无解析15、设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且．标准答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得知识点解析：暂无解析16、设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设z=z(x，y)满足标准答案：知识点解析：暂无解析18、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4—x一y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．标准答案：(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L3：y=6一x(0≤x≤6)上，z=一2x2(6一x)=2x3一12x2，由=6x2—24x=0得x=4，因为f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=一64，所以f(x，y)在L3上最小值为一64，最大值为0．(2)因为AC—B2＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值为m=f(4，2)一64，最大值为M=f(z，1)=4．知识点解析：暂无解析19、求函数u=x+y+z在沿球面x2+y2+z2=1上的点(x0，y0，z0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?标准答案：球面x2+y2+z2=1在点(x0，y0，z0)处的外法向量为n={2x0，2y0，2z0}，知识点解析：暂无解析20、某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为p1，p2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1=24—0．2p1，q2=10—0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?标准答案：p1=120—5q1，p2=200—20q2，收入函数为R=p1q1+p2q2，总利润函数为L=R—C=(120—5q1)q1+(200—20q2)q2一[35+40(q1+q2)]，由得q1=8，q2=4，从而p1=80，p2=120，L(8，4)=605，由实际问题的意义知，当p1=80，p2=120时，厂家获得的利润最大，最大利润为605．知识点解析：暂无解析21、设二元函数f(x，y)=｜x—y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．标准答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’x(0，0)，f’y(0，0)存在．知识点解析：暂无解析22、设：x=x(t)，y=y(t)(α＜t＜β)是区域D内的光滑曲线，即x(t)，y(t)在(α，β)内有连续的导数且x’2(t)+y’2(t)≠0，f(x，y)在D内有连续的偏导数．若P0∈上的极值点，证明：f(x，y)在点P0沿的切线方向的方向导数为零．标准答案：知识点解析：暂无解析23、已知二元函数f(x，y)满足=u2+v2，求a，b．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)连续，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．标准答案：由F(t)=∫02πdθrf(r2)dr=2π∫0trf(r2)dr=f(u)du，得F’(t)=2πtf(t2)，F’(0)=0，F"(0)==2πf(0)=2π．知识点解析：暂无解析25、计算二重积分I=标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析27、已知f(x，y)=，设D为由x=0，y=0及x+y=t所围成的区域，求F(t)=f(x，y)dxdy．标准答案：当t＜0时，F(t)=0，知识点解析：暂无解析28、计判，其中D=((x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．标准答案：令D1={x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，D2=((x，y)｜0≤x≤y，0≤y≤1}，则知识点解析：暂无解析29、计算I=，其中D={(x，y)｜—1≤x≤1，0≤y≤2}．标准答案：令D1={(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)｜一1≤x≤1，x2≤y≤2}，知识点解析：暂无解析30、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的图形面积可表示为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴的三个交点为x=0，x=1，x=2，当0＜x＜1时，y＜O；当1＜x＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)．2、双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可表示为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：3、设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=g(x)，y=f(x)及直线x=a，x=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、标准答案：知识点解析：5、标准答案：知识点解析：6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：知识点解析：8、标准答案：e-1—1知识点解析：9、设f(x)二阶连续可导，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则=________.标准答案：2知识点解析：三、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、标准答案：φ’(x)=一2In(1+cos22x)sin2x—In(1+sin2x)cosx知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，且．证明：(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、求函数的最大值与最小值。标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列各式中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由重要极限结论，可立即排除B、D。对于A、C选项，只要验算其中之一即可。对于C选项，因，故C不正确，选A。2、设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且则()A、x=0必是g(x)的第一类间断点。B、x=0必是g(x)的第二类间断点。C、x=0必是g(x)的连续点。D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。标准答案：D知识点解析：因为且g(0)=0，所以当a=0时，有=g(0)，此时g(x)在点x=0处连续；当a≠0时，，此时x=0是g(x)的第一类间断点。所以g(x)在x=0处的连续性与a的取值有关，故选D。3、设F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳跃间断点，g’(a)存在，则g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的()A、充分必要条件。B、充分非必要条件。C、必要非充分条件。D、非充分非必要条件。标准答案：A知识点解析：因φ(x)在x=a不可导，所以不能对F(x)用乘积的求导法则，需用定义求F’(a)。题设φ(x)以x=a为跳跃间断点，则存在A±，A+≠A-。当g(a)=0时，这表明，g(a)=0时，F’(a)存在F’+(a)=F’-(a)g’(a)(A+-A-)=0g’(a)=0。下面证明若F’(a)存在，则g(a)=0。反证法，若g(a)≠0，φ(x)=，由商的求导法则，φ(x)在x=a可导，这与题设矛盾，则g(a)=0，g’(a)=0是r(x)在x=a处可导的充要条件。故选A。4、设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，则下述命题中正确的是()A、若f(x)在(-∞，+∞)上可导且单调增加，则对一切x∈(-∞，+∞)，都有f’(x)＞0。B、若f(x)在点x2处取得极值，则f’(x0)=0。C、若f’’(x0)=0，则(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点。D、若f’(x0)=0，f’’(x0)=0，f’’’(x0)≠0，则x0一定不是f(x)的极值点。标准答案：D知识点解析：若在(-∞，+∞)上f’(x)＞0，则一定有f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，但可导函数f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，可能有f’(x)≥0。例如f(x)=x3在(-∞，+∞)上单调增加，f’(0)=0。故不选A。f(x)若在x0处取得极值，且f’(x0)存在，则有f’(x0)=0，但当f(x)在x0处取得极值，在x0处不可导，就得不到f’(x0)=0，例如f(x)=｜x｜在x0=0处取得极小值，它在x0=0处不可导，故不选B。如果f(x)在x0处二阶导数存在，且(x0，f(x0))是曲线的拐点坐标，则f’’(x0)=0，反之不一定，例如f(x)=x4在x0=0处f’’(0)=0，但f(x)在(-∞，+∞)没有拐点，故不选C。由此选D。5、设F(x)=，则F(x)()A、为正常数。B、为负常数。C、恒为零。D、不为常数。标准答案：A知识点解析：由F’(x)=esin(x+2π).sin(x+2π)-esinx.sinx=0可知F(x)恒为常数，则故选A。6、设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处()A、两个偏导数都不存在。B、两个偏导数存在但不可微。C、偏导数连续。D、可微但偏导数不连续。标准答案：B知识点解析：由偏导数定义，有由对称性知fy(0，0)=0，而上式极限不存在。事实上，故f(x，y)在(0，0)点不可微。应选B。7、设有平面闭区域，D={(x，y)｜-a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)｜0≤x≤a，x≤y≤a}，则(xy+cosxsiny)dxdy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：将闭区域D-{(x，y)｜-a≤x≤a，x≤y≤a}按照直线y=-x分成两部分D3和D2，如图1-6-2所示，其中D3关于y轴对称，D2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，则在D3和D2上，均有∫∫xydxdy=0。而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D3上积分不为零，在D2上积分为零。因此故选项A正确。8、已知等于()A、3。B、7。C、8。D、9。标准答案：C知识点解析：=2×5-2=8，故选C。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)9、已知，则y’=__________。标准答案：知识点解析：等式两边取对数，则有等式两边分别对x求导，有整理得10、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为_________。标准答案：y=x-1知识点解析：由题干可知，所求切线的斜率为1。由y’=(lnx)’==1，得x=1，则切点为(1，0)，故所求的切线方程为y-0=1.(x-1)，即y=x-1。11、=______。标准答案：知识点解析：令t=x-1，则12、已知三个向量a，b，c，其中c⊥a，c⊥b，a与b的夹角为，｜a｜=6，｜b｜=｜c｜=3，则(a×b).c=_______。标准答案：±27知识点解析：由题设可知｜a×b｜=｜a｜｜b｜sin＜a，b＞=6×3×=9。由于c⊥a，c⊥b，则c∥(a×b)，即c与a×b之间夹角α=0或π。因此，(a×b).c=｜a×b｜｜c｜cosα=9×3×(±1)=±27。13、函数u=在点A(1，0，1)处沿点A指向点B(3，-2，2)方向的方向导数为_______。标准答案：知识点解析：因为又因为=(2，-2，1)，所以沿方向的单位向量为因此u沿方向在点A(1，0，1)处的方向导数为14、设Ω由x2+y2+z2≤R2，z≥0所确定，则(x2+2y2+3z2)dv=_______。标准答案：知识点解析：根据题意，令Ω1：x2+y2+z2≤R2，则有15、设有一物体，占有空间闭区域Ω={(x，y，z)｜0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，在点(x，y，z)处的密度为p(x，y，z)=x+y+z，则该物体的质量为________。标准答案：知识点解析：根据三重积分的几何意义可知，该物体的质量m就是密度函数ρ在闭区间Ω上的三重积分，即16、设x2=ancosnx(-π≤x≤π)，则a2=_______。标准答案：1知识点解析：f(x)=x2(-π≤x≤π)是以2π为周期的偶函数，利用傅里叶系数计算公式，有17、微分方程Y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的通解为_________。标准答案：y=e-xsinx知识点解析：原方程的通解为y=e-∫1dx(∫e-xcosx.e∫1dx+C)=e-x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0，故所求通解为y=e-xsinx。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、设a为常数，讨论方程ex=ax2的实根个数。标准答案：当a≤0时，显然无实根。显然，由题意知x=0不是原方程的根，以下讨论当a＞0时的情形，设当x＜0时，f’(x)＞0；当0＜x＜2时，f’(x)＜0；当x＞2时，f’(x)＞0。且所以当a＞0时，f(x)在区间(-∞，0)上有唯一实零点。在区间(0，+∞)上，当＞a时，f(x)在区间(0，+∞)上无实数根；当=a时，f(x)在区间(0，+∞)上有唯一实数根；当＜a，时f(2)＜0，而且，所以此时f(x)在(0，+∞)上有两个实数根。综上所述，当a≤0时，f(x)=0无实根；当＞a＞0时，仅当x＜0时，f(x)=0有唯一实根；当=a时，f(x)=0仅有两个实根，一正一负；当＜a时，f(x)=0恰有三个实根，一负两正。知识点解析：暂无解析20、计算下列反常积分(广义积分)的值。标准答案：(Ⅰ)由于x2-2x=(x-1)2-1，可令x-1=sect，则有(Ⅱ)注意，将被积函数分解并用分部积分法有知识点解析：暂无解析21、某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)。汽锤第一次击打将桩打进地下a米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)。问(Ⅰ)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?(Ⅱ)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?标准答案：(Ⅰ)设第n次击打后，桩被打进地下xn米，第n次击打时，汽锤所做的功为Wn(n=1，2，3，…)。由题设，当桩被打进地下的深度为x米时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以由W2=rW1可得由W3=rW2=r2W1可得即汽锤击打3次后，可将桩打进地下米。(Ⅱ)由归纳法，设，则由于Wn+1=rWn=r2Wn-1=…=rnW1，故即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下米。知识点解析：暂无解析22、设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数，且=16(x2+y2)z，求f(u)。标准答案：令u=，则有由题设条件得u2f’’(u)+uf’(u)-4f(u)=0，这是欧拉方程，令u=et，方程化为解此二阶线性常系数齐次方程得z=C1e2t+C2e-2t，即f(u)=C1u2+，其中C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析23、已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分3x2ydx+(x3+x-2y)dy。标准答案：设圆x2+y2=2x为圆C1，圆x2+y2=4为圆C2，补线利用格林公式即可。设所补线段L1为x=0(y：2→0)，应用格林公式得：知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ωt={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，Dt={(x，y)｜x2+y2≤t2}。(Ⅰ)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性；(Ⅱ)证明当t＞0时，F(t)＞标准答案：(Ⅰ)因为在(0，+∞)上F’(t)＞0，故F(t)在(0，+∞)内单调增加。(Ⅱ)由于要证明t＞0时F(t)＞，只需证明t＞0时，F(t)-＞0，即故g(t)在(0，+∞)内单调增加。因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)=0。因此，当t＞0时，F(t)＞知识点解析：暂无解析25、将F(x)=展开成x的幂级数。标准答案：当x≠0时，由幂级数的连续性，有知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、下列各选项正确的是A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析2、设(n=1，2，…)，则下列级数中肯定收敛的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析3、若级数都发散，则A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析4、若an与bn符合条件()，则可由发散推出发散．A、an≤bnB、an≤｜bn｜C、｜an｜≤｜bn｜D、｜an｜≤bn标准答案：D知识点解析：暂无解析5、若级数在x=一1收敛，则此级数在x=2处A、条件收敛．B、绝对收敛．C、发散．D、收敛性不能确定．标准答案：B知识点解析：暂无解析6、设α为常数，则级数A、绝对收敛．B、条件收敛．C、发散．D、收敛性与α有关．标准答案：B知识点解析：暂无解析7、设λ＞0，则是A、发散．B、绝对收敛．C、条件收敛．D、敛散性与λ有关．标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、=__________标准答案：4知识点解析：暂无解析9、幂级数的收敛域是__________．标准答案：[一1，1)知识点解析：暂无解析10、级数的收敛域为__________．标准答案：(0，4)知识点解析：暂无解析11、设，若，则该幂级数的收敛半径等于__________．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设幂级数在x=3条件收敛，则该幂级数收敛半径为__________．标准答案：4知识点解析：暂无解析13、设幂级数在x=2条件收敛，则幂级数的收敛域为__________．标准答案：知识点解析：暂无解析14、若幂级数的收敛域为(一∞，+∞)，则a应满足__________．标准答案：0＜a＜1知识点解析：暂无解析15、设则S(一5)=__________．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)16、判定级数的敛散性．标准答案：收敛知识点解析：暂无解析17、讨论级数的敛散性．标准答案：收敛知识点解析：暂无解析18、判定的敛散性．标准答案：当a=1时发散，其余都收敛．知识点解析：暂无解析19、判定级数的敛散性．标准答案：当0＜q＜e时收敛，当e≤q时发散．知识点解析：暂无解析20、研究级数(α＞一1)的敛散性．标准答案：当一1＜a≤0时发散，当a＞0时收敛。知识点解析：暂无解析21、讨论的敛散性．标准答案：收敛．知识点解析：暂无解析22、试研究级数(α＞0)是绝对收敛、条件收敛还是发散?标准答案：当a＞1时绝对收敛；当0＜a≤1时条件收敛．知识点解析：暂无解析23、若都收敛，且an≤bn≤cn(n=1，2，…)，试证收敛．标准答案：利用：0≤cn一bn≤(cn一an)知识点解析：暂无解析24、设级数收敛，绝对收敛，试证绝对收敛．标准答案：=an一a0，由收敛知，｜an｜≤M，从而有｜anbn｜≤M｜bn｜知识点解析：暂无解析25、若级数绝对收敛，试证绝对收敛，收敛．标准答案：由绝对收敛知，n充分大时有an2≤｜an｜知识点解析：暂无解析试求下列幂级数的收敛域：26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：｜x｜＜max(a，b)知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、求幂级数的收敛域及和函数．标准答案：收敛-1＜x＜1；和函数知识点解析：暂无解析30、求幂级数的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析31、求级数的和．标准答案：10知识点解析：暂无解析将下列函数展开为x的幂级数．32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、f(x)=ln(1+x+x2+x3)标准答案：知识点解析：暂无解析35、将f(x)=ln(3x—x2)在x=1处展开为幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析36、试求极限(a＞1)标准答案：知识点解析：暂无解析37、将展开为傅里叶级数．标准答案：知识点解析：暂无解析38、将f(x)=x2在[一π，π]上展开成傅里叶级数，并求级数的和．标准答案：知识点解析：暂无解析39、设求极限标准答案：知识点解析：暂无解析40、设．an=1，试研究级数的敛数性．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=则()A、f(x)在点x=1处连续，在点x=-1处间断。B、f(x)在点x=1处间断，在点x=-1处连续。C、f(x)在点x=1，x=-1处都连续。D、f(x)在点x=1，x=-1处都间断。标准答案：B知识点解析：因为所以f(x)在x=1处间断。所以f(x)在x=-1处连续。故选B。2、设f(x)在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f(0)=0。则φ(x)在x=0处()A、不连续。B、连续但不可导。C、可导但φ’(x)在x=0处不连续。D、可导且φ’(x)在x=0处连续。标准答案：D知识点解析：因为所以φ(x)在x=0处连续。故φ’(x)在x=0连续。故选D。3、设在闭区间[0，4]上y=f(x)的导函数的图形如图1-2-1所示，则f(x)()A、在[0，2]单调上升且为凸的，在[2，4]单调下降且为凹的。B、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的。C、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的。D、在[0，2]单调上升且为凹的，在[2，4]单调下降且为凸的。标准答案：B知识点解析：当x∈(0，1)或(3，4)时，f’(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]单调下降。当x∈(1，3)时f’(x)＞0，那么f(x)在[1，3]单调上升。又f’(x)在[0，2]单调上升，那么f(x)在[0，2]是凹的。f’(x)在[2，4]单调下降，那么f(x)在[2，4]是凸的。故选B。4、曲线()A、既有垂直又有水平与斜渐近线。B、仅有垂直渐近线。C、只有垂直与水平渐近线。D、只有垂直与斜渐近线。标准答案：A知识点解析：函数y的定义域为(-∞，-3)∪[0，+∞)，且只有间断点x=-3，又=+∞，所以x=-3是曲线的垂直渐近线。x≥0时，因此是曲线的斜渐近线(x→-∞)。故选A。5、函数f(x，y，z)=x2y3+3y2z3在点(0，1，1)处方向导数的最大值为()A、B、C、117。D、107。标准答案：B知识点解析：函数f(x，y，z)=x2y3+3y2z3在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于f(x，y，z)在点(0，1，1)处梯度向量的模。故选B。6、设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g’(0)=a≠0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由积分中值定理知其中(ξ，η)为圆域x2+y2≤r2上的一个点，则=f(0，0)，而7、设pn=，n=1，2，…，则下列命题正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：若绝对收敛，即收敛，则由级数绝对收敛的性质知收敛。而pn=，再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选B。8、方程y’’-3y’+2y=ex+1+exeos2x的特解形式为()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Aeos2x+Bsin2x)。标准答案：D知识点解析：齐次方程y’’-3y’+2y=0的特征方程为r2-3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，则方程y’’-3y’+2y=ex+1+excos2x的待定特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，故选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)9、数列=______。标准答案：知识点解析：当n→∞时，10、已知y=x2sin2x，则y(50)=_______。标准答案：250(-x2sin2x+50xcos2x+sin2x)知识点解析：易知(sin2x)(n)=2nsin(2x+)成立，利用莱布尼茨公式：11、=________。标准答案：知识点解析：12、抛物线y2=2px，从原点到这条曲线上的一点M(x，y)的弧长s=_______。标准答案：知识点解析：不妨设p＞0，y＞0，则13、设函数u(x，y，z)==______。标准答案：知识点解析：，于是所求方向导数为14、设函数f(u)可微，且f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz｜(1,1)=_____。标准答案：4(dx+dy)知识点解析：dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，则dz｜(1,1)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。15、将化为极坐标下的二次积分为______。标准答案：知识点解析：如图1-6-5所示，则有16、设∑为锥面z=介于z=0和z=1之间的部分，则(x2+y2+z2)dS=_____。标准答案：知识点解析：易知，dS=。区域D为0≤θ＜2π，0≤p≤1，则有17、幂级数n(x-1)n的和函数为_______。标准答案：知识点解析：令原级数中的x-1=t，则x=t+1，级数化为，因为所以的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1)，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(0，2)。当x=0和x=2时，原级数均发散，故原级数收敛域为(0，2)。设级数的和函数为s(x)，即对从1到x逐项积分，可得在上式两端对x求导，可得故有18、微分方程yy’’+y’2=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=的通解为________。标准答案：知识点解析：由yy’’+(y’)2=0得(yy’)’=0，即yy’=C。由y(0)=1，y’(0)=，故再由y(0)=1，得C1=三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、设f(x)为[-a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=(Ⅰ)证明F’(x)单调增加；(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值；(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2-1时，求函数f(x)。标准答案：(Ⅰ)所以F’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)单调增加。(Ⅱ)因为F’(0)=且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F’’(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小值点，也为最小值点。(Ⅲ)由=f(a)-a2-1，两边求导得2af(a)=f’(a)-2a，于是f’(x)-2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe-∫2xdxdx+C]e-∫-2xdx=