考研数学一（高等数学）模拟试卷7（共275题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷7（共9套）（共275题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、平面π与π1：x一2y＋z一2＝0和π2：x一2y＋z一6＝0的距离之比为1：3，则平面π的方程为()．A、x一2y＋z＝0B、x一2y＋z一3＝0C、x一2y＋z＝0或x一2y＋z一3＝0D、x一2y＋z—4＝0标准答案：C知识点解析：设所求平面为π：x一2y＋z＋D＝0，在平面π：x一2y＋z＋D＝0上取一点，因为d1：d2＝1：3，所以D＝0或D＝一3，选（C）。2、设则有()．A、L1∥L3B、L1∥L2C、L2⊥L3D、L1⊥L2标准答案：D知识点解析：三条直线的方向向量为s1＝{一2，一5，3)，s2＝{3，3，7}，s3＝{1，3，一1}×{2，1，一1}＝{一2，一1，一5}，因为s1.s2＝0，所以L1⊥L2，选(D)．3、设则f(x，y)在(0，0)处()．A、连续但不可偏导B、可偏导但不连续C、可微D、一阶连续可偏导标准答案：C知识点解析：4、对二元函数z＝f(x，y)，下列结论正确的是()．A、z＝f(x，y)可微的充分必要条件是z＝f(x，y)有一阶连续的偏导数B、若z＝f(x，y)可微，则z＝f(x，y)的偏导数连续C、若z＝f(x，y)偏导数连续，则z＝f(x，y)一定可微D、若z＝f(x，y)的偏导数不连续，则z＝f(x，y)一定不可微标准答案：C知识点解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)．5、设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件，则()．A、f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内B、f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上C、f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上D、f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：若f(x，y)的最大点在D内，不妨设其为M0，则有，因为M0为最大值点，所以AC—B2非负，而在D内有，即AC—B2＜0，所以最大值点不可能在D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为(B)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)6、设直线在平面x＋y＋z＝0上的投影为直线L，则点(1，2，1)到直线L的距离等于___________。标准答案：知识点解析：7、曲线在xOy平面上的投影曲线为__________．标准答案：知识点解析：8、设函数z＝f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且f(x，y＋1)＝1＋2x＋3y＋o(ρ)，其中，则曲面∑：z＝f(x，y)在点(0，1)的切平面方程为_________．标准答案：2x＋3y—z一2＝0知识点解析：由f(x，y＋1)＝1＋2x＋3y＋o(ρ)得f(x，y)在点(0，1)处可微，且而曲面∑：z＝f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为n＝＝(2，3，一1)，所以切平面方程为π：2(x—0)＋3(y一1)一(z一1)＝0，即π：2x＋3y—z一2＝0．9、设z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则＝___________。标准答案：f’＋xf"＋xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’＋yx2y－1lnxg11"＋2y2xy－1g12"＋2xy＋1lnxg21"＋4xyg22"知识点解析：由z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，得10、设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)＝t3f(x，y)，且fx’(1，2)＝1，fy’(1，2)＝4，则f(1，2)＝___________．标准答案：3知识点解析：f(tx，ty)＝t3f(x，y)两边对t求导数得xfx’(tx，ty)＋yfy’(tx，ty)＝3t2f(x，y)，取t＝1，x＝1，y＝2得fx’(1，2)＋2fy’(1，2)＝3f(1，2)，故f(1，2)＝3．11、设z＝f(x，y)二阶可偏导，＝2，且f(x，0)＝1，fy’(x，0)＝x，则f(x，y)＝__________．标准答案：y2＋xy＋1知识点解析：由得，因为fy’(x，0)＝x,所以φ(x)＝x，即＝2y＋x，z＝y2＋xy＋C，因为f(x，0)＝1，所以C＝1，于是z＝y2＋xy＋1．12、设(ay一Zxy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy为某个二元函数的全微分，则a＝_________，b＝___________。标准答案：a＝4，b＝一2知识点解析：令P(x，y)＝ay一2xy2，Q(x，y)＝bx2y＋4x＋3，因为(ay一2xy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy为某个二元函数的全微分，所以，于是a＝4，b＝一2．13、函数u＝x2一2yz在点(1，一2，2)处的方向导数最大值为___________．标准答案：知识点解析：函数u＝x2一2yz在点(1，一2，2)处的方向导数的最大值即为函数u＝x2一2yz在点(1，一2，2)处的梯度的模，而gradu｜(1，－2，2)＝{2x，一2z，一Zy}｜(2，－2，2)＝{2，一4，4}，方向导数的最大值为．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)设曲面及平面π：2x＋2y＋z＋5＝0．14、求曲面∑上与π平行的切平面方程；标准答案：设切点为M0(x0，y0，z0)，令F(x，y，z)＝则切平面的法向量为，因为切平面与平面π平行，所以得x0＝2t，y0＝t，z0＝2t，将其代入曲面方程，得，所以切点为及，平行于平面π的切平面为知识点解析：暂无解析15、求曲面∑与平面π的最短和最长距离．标准答案：知识点解析：暂无解析设直线16、求直线L在平面π上的投影直线L0；标准答案：令，即x＝1＋t，y＝t，z＝1一t，将x＝1＋t，y＝t，z＝1一t代入平面x一y＋2z一1＝0，解得t＝1，从而直线L与平面π的交点为M1(2，1，0)．过直线L且垂直于平面π的平面法向量为s1＝{1，1，一1}×{1，一1，2}＝{1，一3，一2}，平面方程为π1：1×(x一2)一3×(y一1)一2×z＝0，即π1：x一3y一2z＋1＝0从而直线L在平面π上的投影直线一般式方程为知识点解析：暂无解析17、求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程．标准答案：设M(x，Y，z)为所求旋转曲面∑上任意一点，过该点作垂直于y轴的平面，该平面与∑相交于一个圆，且该平面与直线L及y轴的交点分别为M0(x0，y，z0)及T(0，y，0)，由｜M0T｜＝｜MT｜，得x02＋z02＝x2＋z2，注意到M0(x0，y，z0)∈L，即＝，于是，将其代入上式得∑：x2＋z2＝(y＋1)2＋(1一y)2，即∑：x2一2y2＋z2＝2．知识点解析：暂无解析设直线18、证明：直线L1，L2为异面直线；标准答案：M1(1，0，一1)∈L1，M2(一2，1，2)∈L2，＝{一3，1，3}，s1＝{一1，2，1}，s2＝{0，1，一2}，s1×s2＝{一5，一2，一1}．因为(s1×s2)．＝{一5，一2，一1}．{一3，1，3}＝10≠0，所以L1，L2异面．知识点解析：暂无解析19、求平行于L1，L2且与它们等距离的平面．标准答案：与L1，L2同时平行的平面的法向量为n＝s1×s2＝{一5，一2，一1}，设与L1，L2等距离的平面方程为π：5x＋2y＋z＋D＝0，则有，解得D＝1，所求的平面方程为π：5x＋2y＋z＋1＝0．知识点解析：暂无解析20、求过直线且与点(1，2，1)的距离为1的平面方程．标准答案：过直线的平面束方程为π：(3x一2y＋2)＋λ(x—2y—z＋6)＝0，或π：(3＋λ)x一2(1＋λ)y—λz＋2＋6λ＝0，点(1，2，1)到平面π的距离为解得λ＝一2或λ＝一3，于是所求的平面方程为π：x＋2y＋2z一10＝0，或π：4y＋3z一16＝0.知识点解析：暂无解析设直线L：21、求直线绕z轴旋转所得的旋转曲面；标准答案：记直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面为∑，设M(x，y，z)为曲面∑上的一点，过点M作与z轴垂直的平面，交直线L及z轴于点M0(x0，y0，z)及T(0，0，z)，由｜M0T｜＝｜MT｜得x2＋y2＝x02＋y02，注意到M0∈L，则，即，将代入上式得∑：x2＋y2＝(1＋2z)2＋(2＋z)2，即∑：x2＋y2＝5z2＋8z＋5．知识点解析：暂无解析22、求该旋转曲面介于z＝0与z＝1之间的几何体的体积．标准答案：对任意的z∈[0，1]，截口面积为A(z)＝π(x2＋y2)＝π(5z2＋8z＋5)，则知识点解析：暂无解析23、已知点P(1，0，一1)与点Q(3，1，2)，在平面x一2y＋z＝12上求一点M，使得｜PM｜＋｜MQ｜最小。标准答案：把点P及点Q的坐标代入x一2y十z一12得1—1一12＝一12及3—2＋2—12＝一9，则点P及Q位于平面π的同侧。过点P且垂直于平面π的直线方程为知识点解析：暂无解析24、设A(一1，0，4)，π：3x一4y＋z＋10＝0，L：，求一条过点A与平面π平行，且与直线L相交的直线方程．标准答案：过A(一1，0，4)且与平面π：3x一4y＋z＋10＝0平行的平面方程为π1：3(x＋1)一4y＋(z一4)＝0，即π1：3x一4y＋z一1＝0．令，则，代入π1：3x一4y＋z一1＝0，得t＝16，则直线L与π1的交点为M0(15，19，32)，所求直线的方向向量为s＝{16，19，28}，所求直线为．知识点解析：暂无解析25、设u＝f(x，y，xyz)，函数z＝z(x，y)由exyz＝确定，其中f连续可偏导，h连续，求标准答案：知识点解析：暂无解析26、设证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但在点(0，0)处不连续．标准答案：知识点解析：暂无解析设27、f(x，y)在点(0，0)处是否连续?标准答案：因为0≤｜f(x，y)｜≤，所以＝0＝f(0，0)，故f(x，y)在点(0，0)处连续．知识点解析：暂无解析28、f(x，y)在点(0，0)处是否可微?标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析设u＝u(x，y，z)连续可偏导，令30、若，证明；u仅为θ与φ的函数．标准答案：因为所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数．知识点解析：暂无解析31、若，证明：u仅为r的函数．标准答案：知识点解析：暂无解析32、设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)＝tkf(x，y，z)．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、设u＝u(x，y)由方程组u＝f(x，y，z，t)，g(y，z，t)＝0，h(z，t)＝0确定，其中f，g，h连续可偏导且，求。标准答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由u＝f(x，y，z，t)，g(y，z，t)＝0，h(z，t)＝0，得知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x，y)=sin，则f(x，y)在(0，0)处()．A、对x可偏导，对y不可偏导B、对x不可偏导，对y可偏导C、对x可偏导，对y也可偏导D、对x不可偏导，对y也不可偏导标准答案：B知识点解析：因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对x不可偏导；因为，所以f’(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处对y可偏导，应选(B)：2、设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足=一3，则f(x，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案：A知识点解析：3、设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=()．A、f’2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22B、xf"12+xzf"22C、f’2+xf"12+xzf"22D、xzf"22标准答案：C知识点解析：=xf"12+f’2+xzf"22，选(C)．4、设f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，则()．A、f(x，y)在(x0，y0)处连续B、(x，y)存在C、f(x，y)在(x0，y0)处可微D、(x，y0)存在标准答案：D知识点解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数f(x，y)=不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由f’x(x0，y0)=f(x，y0)=f(x0，y0)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则=___________．标准答案：知识点解析：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求x求偏导得6、由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz(e，0)=___________．标准答案：知识点解析：x=e，y=0时，z=1．7、=___________．标准答案：知识点解析：8、设z==___________．标准答案：知识点解析：9、设z=f(x，y)=x2arctan=___________．标准答案：知识点解析：10、设f(x，y)满足=2，f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，则f(x，y)=___________．标准答案：y2+xy+1知识点解析：因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．11、z=f(xy)+yg(x2+y2)，其中f，g二阶连续可导，则=___________．标准答案：知识点解析：12、设u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则=___________．标准答案：1知识点解析：13、设z==___________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)14、设u=，求du．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求函数u=x2+yz的梯度方向的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析16、举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．标准答案：设f(x，y)=不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处对x不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对y也不可偏导．所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且f’x(0，0)=f’y(0，0)=0．因为不存在，而f(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处不连续．知识点解析：暂无解析17、设f(x，y)=讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．标准答案：知识点解析：暂无解析18、讨论f(x，y)=在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x，y)=，试讨论f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性．标准答案：即f(x，y)在(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析20、设z=yf(x2—y2)，基中f可导，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设z=．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设z=．标准答案：知识点解析：暂无解析23、已知u(x，y)=，其中f，g具有二阶连续导数，求xu"xx+yu"xy．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设u=f(x+y，x2+y2)，其中f二阶连续可偏导，求．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设z=f[xg(y)，x一y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求．标准答案：=g(y)f’1+f’2，=g’(y)f’1+g(y)[xg’(y)f"11一f"12]+xg’(y)d"21一f"22=g’(y)f’1+xg’(y)g(y)f"11+[xg’(y)一g(y)]f"12—f"22．知识点解析：暂无解析26、设z=z(x，y)由xyz=x+y+z确定，求．标准答案：令F=xyz—x—y—z，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为()．A、一1B、0C、1D、2标准答案：D知识点解析：P(x，y)=得a=2，选(D)．2、设L为由y2=x+3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于()．A、一2πB、2πC、πD、0标准答案：B知识点解析：取Cr：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L内，取逆时针)，设由L及Cr—所围成的区域为Dr，由Cr围成的区域为D0，由格林公式得二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)3、设I=dx+xdy，其中L是椭圆4x2+y2=1，L为逆时针方向，则I=___________．标准答案：知识点解析：4、设曲线L：y=(一1≤x≤1)，则∫L(x2+2xy)ds=___________．标准答案：知识点解析：5、∮(x2+2xy+y3)ds=___________，其中L：x2+y2=4．标准答案：8π知识点解析：根据对称性和奇偶性得6、设L：=1，且L的长度为l，则∮L(9x2+72xy+4y2)dx=___________．标准答案：36l知识点解析：由对称性∮L(9x2+72xy+4y2)ds=∮L(9x2+4y2)dx，于是原式=36∮L()ds=36∮Ldx=36l．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)7、计算∫L(x2+y2)ds，其中L：x2+y2=a2．标准答案：根据对称性，∫L(x3+y2)ds=∫Ly2ds=∫Lx2ds，则∫L(x3+y2)dx=×2πa=πa3知识点解析：暂无解析8、∫Leds，其中L为由x轴，x2+y2=4及y=x所围成的第一封限内的区域的边界．标准答案：知识点解析：暂无解析9、计算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中(1)L从原点经过直线y=x到点(2，2)；(2)L从原点经过抛物线y=到点(2，2)．标准答案：(1)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02xdx一(2x+1)dx=一∫02(x+1)dx=一4(2)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×dxd一(x2+1)dx=一2知识点解析：暂无解析10、计算∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy，其中(1)L从原点沿直线y=x到点(1，1)；(2)L从原点沿抛物线y=x到点(1，1)．标准答案：(1)∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=∫01(x+x)dx+(x+x)dx=∫01(2x+2x)dx=(2)∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=J(x4+x2)dx+(x4+x)×2xdx=∫01(3x5+3x2)dx=知识点解析：暂无解析11、计算∫L(3x+2y+1)dx+，其中L为x2+y2=4第一象限逆时针方向部分．标准答案：知识点解析：暂无解析12、利用格林公式计算∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy，其中L是圆周y=(a＞0)上从点A(2a，0)到点O(0，0)的弧段．标准答案：I=∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy知识点解析：暂无解析13、求I=，其中L为x2+y2=a2上从点A(a，0)沿逆时针方向到点B(一a，0)的有向曲线段，其中a＞0．标准答案：取L0：y=0(起点x=一a，终点x=a)，知识点解析：暂无解析14、计算I=∫L(ex+1)cosydx—[(ex+x)siny一x]dy，其中L为由点A(2，0)沿心形线r=1+cosθ上侧到原点的有向曲线段．标准答案：令L1：y=0(起点x=0，终点x=2)，则知识点解析：暂无解析15、在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．标准答案：I=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)．acosx]dx=π一4a+．由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I"(a)=8a，由I"(1)=8＞0得a=1为I(a)的极小值点，因为a=1是I(a)的唯一驻点，所以a=1为I(a)的最小值点，所求的曲线为y=sinx．知识点解析：暂无解析16、设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．标准答案：因为曲线积分与路径无关，所以=2x，于是Q(x，y)=x2+φ(y)．由∫(0，0)(t，1)+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，得t2+∫01φ(y)dy=t+∫0tφ(y)dy，两边对t求导数得1+φ(t)=2t，φ(t)=2t一1，所以Q(x，y)=x2+2y一1．知识点解析：暂无解析17、设曲线积分∫Lxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ连续可导，且φ(0)=0，计算，∫(0，0)(1，1)xy2dx+yφ(x)dy．标准答案：令P(x，y)=xy2，Q(x，y)=yφ(x)，因为曲线积分与路径无关，所以有，即φ’(x)=2x，故φ(x)=x2+C，因为φ(0)=0，所以φ(x)=x2．∫(0，0)(t，1)xy2dx+yφ(x)dy=∫(0，0)(t，1)xy2dx+x2ydy=知识点解析：暂无解析18、计算曲线积分，其中L为不经过原点的逆时针光滑闭曲线．标准答案：(2)当0(0，0)在L所围成的区域内部时，作Cr：x2+4y2=r2(其中r＞0，C在L内部，方向为逆时针方向)，再令由L和Cr—所围成的区域为Dr，由格林公式知识点解析：暂无解析19、计算，其中L为x2+y2=1从点A(1，0)经过B(0，1)到C(—1，0)的曲线段．标准答案：P(x，y)=，作上半椭圆C0：x2+4y2=1，方向取逆时针，L与C0—围成的区域为D1，C0与x轴围成的区域为D2，由格林公式得知识点解析：暂无解析20、计算I=在第一卦限的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算位于z=2下方的部分．标准答案：曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dxy：x2+y2≤4，知识点解析：暂无解析22、求I=所截的顶部．标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算I=介于z=0与z=1之间的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算(x+y2)ds，其中S：x2+y2+z2=2z．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设∑：=1(z≥0)，点P(x，y，z)∈∑，π为曲面∑在点P处的切平面，d(x，y，z)为点0(0，0，0)到平面π的距离，计算．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设y＝y(x)满足，且有y(1)＝1，则＝________。标准答案：知识点解析：2、微分方程y’一xe－y＋＝0的通解为__________．标准答案：知识点解析：3、微分方程yy"一2(y’)2＝0的通解为__________．标准答案：y＝C或者＝C1x＋C2知识点解析：4、微分方程的通解为__________．标准答案：lnx＋C知识点解析：5、以y＝C1ex＋ex(C2cosx＋C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为___________．标准答案：y’’’一3y"一4y’一2y＝0．知识点解析：特征值为λ1＝1，λ2，3＝1±i，特征方程为(λ－1)(λ－1－i)(λ－l－i)＝0，即λ3一3λ2＋4λ－2＝0，所求方程为y’’’一3y"一4y’一2y＝0．6、设y(x)为微分方程y"一4y’＋4y＝0满足初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2的特解，则＝_________.标准答案：知识点解析：y"一4y’＋4y＝0的通解为y＝(C1＋C2x)e2x，由初始条件y(0)＝1，y’(0)＝2得C1＝1，C2＝0，则y＝e2x，于是二、解答题(本题共31题，每题1.0分，共31分。)7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．标准答案：令Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＋1’＝(a1一a0)＋2(a2－a1)＋…＋(n＋1)(an＋1一an)，知识点解析：暂无解析9、标准答案：知识点解析：暂无解析10、证明：(1)设an＞0，且{nan}有界，则级数收敛；(2)标准答案：(1)(2)知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、设{un}，{cn}为正项数列，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析13、对常数p，讨论幂级数的收敛区间．标准答案：，得幂级数的收敛半径为R＝1．(1)当p＜0时，记q＝－p，则有，因而当x＝±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(一1，1)；(2)(3)知识点解析：暂无解析14、设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数绝对收敛．标准答案：由｜un＋1一un｜＝｜f(un)一f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜｜un一un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜知识点解析：暂无解析15、设f(x)在(一∞，＋∞)内一阶连续可导，且．证明：收敛，而发散．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)在x＝0的某邻域内二阶连续可导，且．证明：级数绝对收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．标准答案：由y’＝x＋y得y"＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y"(0)＝2，根据马克劳林公式，有知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求函数f(x)＝In(1一x一2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．标准答案：f(x)＝ln(1一x一2x2)＝ln(x＋1)(1—2x)＝ln(1＋x)＋In(1—2x)，知识点解析：暂无解析20、求幂级数的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求幂级数的和函数．标准答案：显然该幂级数的收敛区间为[一1，1]，知识点解析：暂无解析22、求幂级数的和函数．标准答案：由，得收敛半径R＝＋∞，该幂级数的收敛区间为(一∞，＋∞)，知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy'＋y＝ex的满足的解．24、求F(x)关于x的幂级数；标准答案：知识点解析：暂无解析25、求的和．标准答案：知识点解析：暂无解析26、将函数展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析设，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．27、求f(x)满足的微分方程；标准答案：知识点解析：暂无解析28、求标准答案：知识点解析：暂无解析29、证明满足微分方程y(4)－y＝0并求和函数S(x)．标准答案：显然级数的收敛域为(一∞，＋∞)，显然S(x)满足微分方程y(4)一y＝0．y(4)一y＝0的通解为y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S"(0)＝S’’’(0)＝0得知识点解析：暂无解析30、将函数f(x)＝2＋｜x｜(－1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数的和．标准答案：显然函数f(x)是在[一1，1]上满足收敛定理的偶函数，则知识点解析：暂无解析31、将函数f(x)＝x一1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数．标准答案：将f(x)进行偶延拓和周期延拓，知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：令Sn＝(a1一a0)＋(a2一a1)＋…＋(an一an－1)，则Sn＝an一a0．知识点解析：暂无解析34、设，对任意的参数λ，讨论级数的敛散性，并证明你的结论．标准答案：知识点解析：暂无解析设函数f0(x)在(一∞，＋∞)内连续，35、证明：标准答案：知识点解析：暂无解析36、证明：绝对收敛．标准答案：对任意的x∈(一∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与x有关)，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是知识点解析：暂无解析37、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、平面π与π1：x一2y+z一2=0和π2：x一2y+z一6=0的距离之比为1：3，则平面π的方程为()．A、x一2y+z=0B、x一2y+z一3=0C、x一2y+z=0或x一2y+z—3=0D、x一2y+z一4=0标准答案：C知识点解析：设所求平面为π：x—2y+2+D=0，在平面π：x一2y+z+D=0上取一点M0(x0，y0，z0)，d1=，因为d1：d2=1：3，所以D=0或D=一3，选(C)．2、设L1：则有()．A、L1∥L3B、L1∥L2C、L2⊥L3D、L1⊥L2标准答案：D知识点解析：三条直线的方向向量为s1={一2，一5，3}，s2={3，3，7)，s3={1，3，一1}×{2，1，一1)={一2，一1，一5}，因为s1．s2=0，所以L1⊥L2，选(D)．3、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、连续但不可偏导B、可偏导但不连续C、可微D、一阶连续可偏导标准答案：C知识点解析：所以f’x(0，0)=0，根据对称(0，0)处不连续，同理f’y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选(C)．4、对二元函数z=f(x，y)，下列结论正确的是()．A、z=f(x，y)可微的充分必要条件是z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B、若z=f(x，y)可微，则z=f(x，y)的偏导数连续C、若z=f(x，y)偏导数连续，则z=f(x，y)一定可微D、若z=f(x，y)的偏导数不连续，则z=f(x，y)一定不可微标准答案：C知识点解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)．5、设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件=0，则()．A、f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内B、f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上C、f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上D、f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：若f(x，y)的最大点在D内，不妨设其为M0，则有=0，因为M0为最大值点，所以AC—B2非负，而在D内有=0，即AC—B2＜0，所以最大值点不可能在D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为(B)．二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)6、设直线L1：，则过直线L1且平行于L2的平面方程为___________．标准答案：π：x一3y+z+2=0知识点解析：所求平面的法向量为n={1，0，一1}×{2，1，1}={1，一3，1}，又平面过点(1，2，3)，则所求平面方程为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0，即π：x一3y+z+2=0．7、点M(3，一1，2)到直线的距离为___________．标准答案：知识点解析：直线的方向向量为s={1，1，一1}×{2，一1，1}={0，—3，—3}，显然直线经过点M0(1，一1，1)，8、两异面直线L1：之间的距离为___________．标准答案：7知识点解析：s1={4，一3，1}，s2={一2，9，2)，n={4，一3，1}×{一2，9，2}={一15，一10，30}，过直线L2且与L1平行的平面方程为π：一15x—10(y+7)+30(z一2)=0，即π：3x+2y一6z+26=0，d==7．9、设点M1(1，一1，一2)，M2(1，0，3)，M3(2，1，2)，则点M3到向量的距离为___________．标准答案：知识点解析：10、直线L：绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为___________．标准答案：∑：x2+y2一z2=1知识点解析：设M(x，y，z)为旋转曲面∑上的任意一点，该点所在的圆对应与直线L上的点为M0(x0，y0，z)，圆心为T(0，0，z)，由，得x2+y2=x0+y0．因为M0(x0，y0，z)∈L，所以，即x0=1，y0=z，于是曲面方程为∑：x2+y2一z2=1．11、设盲线l过点M(1，一2，0)且与两条直线l1：，垂直，则l的参数方程为___________．标准答案：知识点解析：直线l1的方向向量为s1={2，0，1}×{1，一1，3}={1，一5，一2}，直线l2的方向向量为s2={1，一4，0)，则直线l的方向向量为s=s1×s2={一8，一2，1}，直线l的方程为12、设直线在平面x+y+z=0上的投影为直线L，则点(1，2，1)到直线L的距离等于___________．标准答案：知识点解析：过直线的平面束为(x+2y—z一2)+k(2x一y+z一3)=0，即(1+2k)x+(2一k)y+(k一1)z一2—3k=0，由{1+2k，2一k，k一1}．{1，1，1}=0，得13、曲线在xOy平面上的投影曲线为___________．标准答案：知识点解析：14、设函数z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，则曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1)的切平面方程为___________．标准答案：π：2x+3y一z一2=0知识点解析：由f(x，y+1)=1+2x+3y+0(ρ)得f(x，y)在点(0，1)处可微，且而曲面∑：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为n==(2，3，一1)，所以切平面方程为π：2(x—0)+3(y一1)一(z—1)=0，即π：2x+3y一z一2=0．15、设z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则___________。标准答案：f’+xf"+xy—1g’1+yxy—1lnxg’1+yx2y—1lnxg"11+2y2xy—1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"22知识点解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy—1g’1(xy，x2+y2)+2xg’2(xy，x2+y2)=f’+xf"+xy—1g’1+yxy—1lnxg’1+yx2y—1lnxg"11+2y2xy—1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"2216、设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’1(1，2)=1，f’2(1，2)=4，则f(1，2)=___________。标准答案：3知识点解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’1(1，2)+2f’2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．17、设z=f(x，y)二阶可偏导，=2，且f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，则f(x，y)=___________．标准答案：y2+xy+1知识点解析：由=2y+x，z=y2+xy+C，因为f(x，0)=1，所以C=1，于是z=y2+xy+1．18、设(ay一2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，则a=___________，b=___________。标准答案：4，—2知识点解析：令P(x，y)=ay一2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，因为(ay一2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，所以=a一4xy，于是a=4，b=一2．19、函数u=x2一2yz在点(1，一2，2)处的方向导数最大值为___________．标准答案：6知识点解析：函数u=x2一2yz在点(1，一2，2)处的方向导数的最大值即为函数u=x2一2yz在点(1，一2，2)处的梯度的模，而gradu｜(1，—2，2)={2x，一2z，一2y)｜(1，—2，2)={2，一4，4}，方向导数的最大值为=6．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)20、设曲面∑：=1及平面π：2x+2y+z+5=0．(1)求曲面∑上与丌平行的切平面方程；(2)求曲面∑与平面π的最短和最长距离．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设直线L：及π：x—y+2z一1=0．(1)求直线L在平面π上的投影直线L0；(2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程．标准答案：(1)令=t，即x=1+t，y=t，z=1一t，将x=1+t，y=t，z=1一t代入平面x—y+2z一1=0，解得t=1，从而直线L与平面π的交点为M1(2，1，0)．过直线L且垂直于平面π的平面法向量为s1={1，1，一1}×{1，一1，2}={1，一3，一2}，平面方程为π1：1×(x一2)一3×(y一1)一2×z=0，即π1：x一3y一2z+1=0从而直线L在平面π上的投影直线一般式方程为(2)设M(x，y，z)为所求旋转曲面∑上任意一点，过该点作垂直于y轴的平面，该平面与∑相交于一个圆，且该平面与直线L及y轴的交点分别为M0(x0，y0，z0)及T(0，y，0)，由｜M0T｜=｜MT｜，得x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y0，z0)∈L，即，将其代入上式得∑：x2+z2=(y+1)2+(1一y)2，即∑：x2一2y2+z2=2．知识点解析：暂无解析22、设直线L1：．(1)证明：直线L1，L2为异面直线；(2)求平行于L1，L2且与它们等距离的平面．标准答案：(1)M1(1，0，一1)∈L1，M2(一2，1，2)∈L2，={一3，1，3}，s1={一1，2，1}，s2={0，1，一2}，s1×s2={一5，一2，一1}．因为(s1×s2)．={一5，一2，一1}．{一3，1，3}=10≠0，所以L1，L2异面．(2)与L1，L2同时平行的平面的法向量为n=s1×s2={一5，一2，一1}，设与L1，L2等距离的平面方程为π：5x+2y+z+D=0，则有，解得D=1，所求的平面方程为π：5x+2y+z+1=0．知识点解析：暂无解析23、求过直线且与点(1，2，1)的距离为1的平面方程．标准答案：过直线的平面束方程为π：(3x一2y+2)+λ(x一2y—z+6)=0，或π：(3+λ)x一2(1+λ)y一λz+2+6λ=0，点(1，2，1)到平面π的距离为解得λ=一2或λ=一3，于是所求的平面方程为π：x+2y+2z一10=0，或π：4y+3z—16=0．知识点解析：暂无解析24、设直线L：．(1)求直线绕z轴旋转所得的旋转曲面，(2)求该旋转曲面介于z=0与z=1之间的几何体的体积．标准答案：(1)记直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面为∑，设M(x，y，z)为曲面∑上的一点，过点M作与z轴垂直的平面，交直线L及z轴于点M0(x0，y0，z0)及T(0，0，z)，由｜M0T｜=｜MT｜，得x2+y2=x02+y02，注意到M0∈L，则代入上式得∑：x2+y2=(1+2z)2+(2+z)2．即∑：x2+y2=5z2+8z+5．(2)对任意的z∈[0，1]，截口面积为A(z)=π(x2+y2)=π(5z2+8z+5)，则V=∫01A(z)dz=π∫01(5z2+8z+5)dz=．设M(1+2t，2+t，t)为曲面∑上任意一点，则截口面积为S(t)=πr2=π[(1+2t)2+(2+t)2]=π(5t2+8t+5)，则体积为V=∫01S(t)dt=．知识点解析：暂无解析25、已知点P(1，0，一1)与点Q(3，1，2)，在平面x一2y+z=12上求一点M，使得｜PM｜+｜MQ｜最小．标准答案：把点P及点Q的坐标代入x一2y+z一12得1—1—12=一12及3—2+2—12=一9，则点P及Q位于平面π的同侧．过点P且垂直于平面π的直线方程为把x=1+t，y=一2t，z=t一1代入平面π得t=2，所以直线L1与平面π的交点坐标为T(3，一4，1)．令点P关于平面π的对称点为P’(x0，y0，z0)，知识点解析：暂无解析26、设A(—1，0，4)，π：3x—4y+z+10=0，L：，求一条过点A与平面π平行，且与直线L相交的直线方程．标准答案：过A(一1，0，4)且与平面π：3x一4y+z+10=0平行的平面方程为π1：3(x+1)一4y+(z一4)=0，即π1：3x一4y+z一1=0．令，代入π1：3x—4y+z一1=0，得t=16，则直线L与π1的交点为M0(15，19，32)，所求直线的方向向量为s={16，19，28}，所求直线为．知识点解析：暂无解析27、设u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由exyz=h(xy+z一t)出确定，其中f连续可偏导，h连续，求．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设f(x，y)=证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但在点(0，0)处不连续．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设数列{xn}与{yn}满足，则下列判断正确的是()A、若{xn}发散，则{yn}必发散。B、若{xn}无界，则{yn}必无界。C、若{xn}有界，则{yn}必为无穷小。D、若为无穷小，则{yn}必为无穷小。标准答案：D知识点解析：取xn=n，yn=0，显然满足，由此可排除A、B。若取xn=0，yn=n，也满足=0，又排除C，故选D。2、设函数f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为如果此极限存在，则由导数定义可知，函数f(x)在x=a处可导，即该极限存在是f(x)在x=a处可导的一个充分条件。故选D。3、设f(x)=｜x(1-x)｜，则()A、x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。B、x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。C、x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。D、x=0不是f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：C知识点解析：因为可见f’(x)与f’’(x)均在x=0两侧附近变号，即x=0是f(x)的极值点，(0，0)也是曲线y=f(x)的拐点，故选C。4、设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：取f(x)=x，则相应的均为奇函数，故不选A、C、D。应选B。5、已知a×b+b×c+c×a=0，则必有()A、a，b，c两两相互平行。B、a，b，c两两相互垂直。C、a，b，c中至少有一个为零向量。D、a，b，c共面。标准答案：D知识点解析：由a×b+b×c+c×a=0知(a×b).c+(b×c).c+(c×a).c=0，而(b×c).c+(c×a).c=0，所以(a×b).c=0。故a，b，c共面，应选D。6、设z=则该函数在点(0，0)处()A、不连续。B、连续但偏导数不存在。C、连续且偏导数存在但不可微。D、可微。标准答案：C知识点解析：由于，则z(x，y)在点(0，0)处连续，A错误。所以z(x，y)在点(0，0)处偏导数存在，B错误。不存在，即z(x，y)在点(0，0)处不可微，故选C。7、设，对于该曲线积分容易验证(x2+y2≠0)，则()A、对于任何不过坐标原点的闭曲线L，恒有I=0。B、积分在x2+y2＞0上与路径无关。C、对于任何不过坐标原点的闭曲线L，I≠0。D、当L围成区域D不包含坐标原点时，I=0，其中L为分段光滑的简单闭曲线。标准答案：D知识点解析：当L围成的区域D不包含坐标原点时，由格林公式得故选D。8、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y(2)=1的特解为()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、x-xy=4。标准答案：C知识点解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=-2ln｜x｜+lnC，即x2y=C，将y(2)=1代入得C=4，故所求的特解为x2y=4。应选C。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)9、=_________。标准答案：知识点解析：10、=_________。标准答案：sinx2知识点解析：令x-t=u，则11、设y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定的，则y=y(x)的极值点是_______。标准答案：x=1知识点解析：方程两边对x求导，可得y’(3y2-2y+x)=x-y，(*)令y’=0，有x=y，代入2y3-2y2+2xy-x2=1中，可得(x-1)(2x2+x+1)=0，则x=1是唯一的驻点。对(*)式求导得y’’(3y2-2y+x)+y’(3y2-2y+x)’=1-y’，把x=y=1，y’(1)=0代入上式，得y’’(1)=＞0。故x=1是y(x)的极小值点。12、设a＞0，则=______。标准答案：知识点解析：原式可化为根据定积分的几何意义可得(半径为a的半圆的面积)，所以13、直线与平面x-y-z+1=0的夹角为_________。标准答案：0知识点解析：设直线与平面的夹角为φ，直线与平面法向量的夹角为θ，直线的方向向量是平面的法向量是n=(1，-1，-1)，则因此φ=0。14、已知曲线L为圆x2+y2=a2在第一象限的部分，则=________。标准答案：知识点解析：将x2+y2=a2化为参数方程形式：15、设球体x2+y2+z2≤z上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的z坐标=______。标准答案：知识点解析：由质心公式可得16、设a1=1，=2021，则级数(an+1-an)的和为______。标准答案：2020知识点解析：级数的部分和数列为Sn=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an)=an+1-a1=an+1-1，则=2021-1=2020。17、已知y1=e3x-xe2x，y2=ex-xe2x，y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为________。标准答案：y=C1e3x+C2ex-xe2x知识点解析：显然y1-y2=e3x和y2-y3=ex是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。且y*=-xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex-xe2x。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析19、证明标准答案：令f(x)=，可得故f’(x)≥0，而f(0)=0，所以有f(x)≥f(0)=0即得故f’(x)≤0，所以有f(x)≥f(0)，即得综上可知，知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明标准答案：连续利用分部积分法有知识点解析：暂无解析21、证明可微的必要条件：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则fx(x0，y0)fy(x0，y0)都存在，且=(x0,y0)=L(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y。标准答案：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则等式△z=A△x+B△y+成立。令△y=0，于是令△x→0，有=B，于是证明了fx(x0，y0)与fy(x0，y0)存在，并且=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y。知识点解析：暂无解析22、设z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值。标准答案：在方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0的两端分别对x，y求偏导数，于是有将上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得再对(1)(2)求偏导数，则有于是所以点(9，3)是z(x，y)的极小值点，极小值为z(9，3)=3。类似的，由所以点(-9，-3)是z(x，y)的极大值点，极大值为z(-9，-3)=-3。知识点解析：暂无解析23、设函数Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有，求Q(x，y)。标准答案：根据曲线积分和路径无关的条件，可知因此有Q(x，y)=x2+C(y)成立，其中C(y)为待定函数。又因为由已知可知两边对t求导可得2t=1+C(t)，即C(y)=2y-1，因此有Q(x，y)=x2+2y-1。知识点解析：暂无解析24、设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置。标准答案：如图1-6-14所示，以Ω表示球体，以Ω的球心表示原点O，射线DP0为正x轴建立直角坐标系，则点P0的坐标为(R，0，0)，球面方程为x2+y2+z2=R2。设Ω的重心为，由对称性，得而-2xR是关于x的奇函数，所以知识点解析：暂无解析25、设正项数列{an}单调减少，且发散，试问级数是否收敛?并说明理由。标准答案：由于正项数列{an}单调递减，所以极限存在，将极限记为a，则有an≥a，且a≥0。又因为是发散的，根据莱布尼茨交错级数判别法可知a＞0(否则级数是收敛的)。已知正项级数{an}单调递减，所以而收敛，因此根据比较判别法可知，级数也是收敛的。知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设为某函数的全微分，则a为()．A、一1B、0C、1D、2标准答案：D知识点解析：2、设L为由y2=x+3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于()．A、一2πB、2πC、πD、0标准答案：B知识点解析：取Cr：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L内，取逆时针)，3、设∑：x2+y2+z2=1(z≥0)，∑1为∑在第一卦限的部分，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、设曲面∑是z=x2+y2介于z=0与z=4之间的部分，则等于()A、2πe4B、π(e4一1)C、2π(e4一1)D、πe4标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)5、标准答案：知识点解析：6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：8π知识点解析：8、标准答案：36l知识点解析：9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：0知识点解析：11、标准答案：知识点解析：12、设S为平面x一2y+z=1位于第四卦限的部分，则标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共37题，每题1.0分，共37分。)13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy，其中(1)L从原点沿直线y=x到点(1，1)；(2)L从原点沿抛物线y=x2到点(1，1)．标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、求，其中L为x2+y2=a2上从点A(a，0)沿逆时针方向到点B(一12，0)的有向曲线段，其中a＞0．标准答案：取L0：y=0(起点x=一a，终点x=a)，知识点解析：暂无解析20、计算其中L为由点A(2，0)沿心形线r=1+cosθ上侧到原点的有向曲线段．标准答案：令L1：y=0(起点x=0，终点x=2)，则知识点解析：暂无解析21、在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫I(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：令P(x，y)=xy2，Q(x，y)=yφ(x)，知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算，其中L为x2+y2=1从点A(1，0)经过B(0，1)到C(一1，0)的曲线段．标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：设Ω是∑所围成的区域，它在xOz平面上的投影区域为x2+z2≤1，由高斯公式得知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、标准答案：知识点解析：暂无解析37、标准答案：知识点解析：暂无解析38、设∑是球面x2+y2+z2=4(z≥0)的外侧，计算标准答案：知识点解析：暂无解析39、标准答案：知识点解析：暂无解析40、标准答案：知识点解析：暂无解析41、设f(x，y，z)是连续函数，∑是平面x—y+z一1=0在第四卦限部分的上侧，计算标准答案：知识点解析：暂无解析42、计算其中∑是z=x2+4y2(0≤z≤4)的上侧．标准答案：知识点解析：暂无解析43、标准答案：知识点解析：暂无解析44、标准答案：知识点解析：暂无解析45、标准答案：知识点解析：暂无解析46、标准答案：知识点解析：暂无解析47、标准答案：知识点解析：暂无解析48、对右半空间x＞0内的任意光滑有侧封闭曲面∑，有其中f(x)在(0，+∞)内具有一阶连续的偏导数，且f(0+0)=1，求f(x)．标准答案：由高斯公式得知识点解析：暂无解析49、设向量场A={xz2+y2，x2y+z2，y2z+x2)，求rotA及divA．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、当x→0时，ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则()A、a=，b=1。B、a=1，b=1。C、a=，b=-1。D、a=-1，b=1。标准答案：A知识点解析：因ex=1+x++o(x2)，故ex-(ax2+bx+1)=(1-b)x++o(x2)。显然要使上式是比x2高阶的无穷小(x→0时)，只要故选A。2、ln(1+t)dt=()A、ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。B、ln(1+lnx)-ln(1+2x)。C、ln(1+lnx)-ln(1+2x)。D、ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。标准答案：A知识点解析：故选A。3、设，则在x=a处()A、f(x)的导数存在，且f’(a)≠0。B、f(x)取得极大值。C、f(x)取得极小值。D、f(x)的导数不存在。标准答案：B知识点解析：利用赋值法求解。取f(x)-f(a)=-(x-a)2，显然满足题设条件，而此时f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点x=a处取得极大值，故选B。4、曲线r=aebθ的(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选A。5、直线L1：之间的关系是()A、L1∥L2。B、L1与L2相交但不垂直。C、L1上L2且相交。D、L1，L2是异面直线。标准答案：A知识点解析：直线L1与L2的方向向量分别为由于，即l1∥l2，所以L1∥L2。6、设∑为球面x2+y2+z2=R2，cosθ，cosθ，cosγ为该球面外法线向量的方向余弦，则(x3cosα+y3cosβ+z3cosγ)ds等于()A、4πR3。B、21πR3。C、3πR4。D、标准答案：D知识点解析：7、设0≤an＜(n=1，2，…)，则下列级数中一定收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由0≤an＜可知，0≤收敛及正项级数的比较判别法知，级数收敛，从而绝对收敛。故选D。8、若y=xex+x是微分方程y’’-2y’+ay=bx+c的解，则()A、a=1，b=1，c=1。B、a=1，b=1，c=-2。C、a=-3，b=-3，c=0。D、a=-3，b=1，c=1。标准答案：B知识点解析：由于y=xex+x是方程y’’-2y’+ay=bx+c的解，所以xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，则a=1；x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y’’-2y’+y=bx+c，得b=1，c=-2，故选B。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、=_________。标准答案：知识点解析：应用等价无穷小因子代换。因为10、已知=________。标准答案：知识点解析：11、=________。标准答案：ln2知识点解析：原式整理得12、点A(4，-3，1)在平面∏：x+2y-z-3=0上的投影是__________。标准答案：(5，-1，0)知识点解析：根据题意，由点A向平面∏作垂线L，其参数方程为：x=t+4，y=2t-3，z=-t+1，代入到平面∏的方程得(t+4)+2(2t-3)-(-t+1)-3=0，解得t=1。故L与平面∏的交点是(5，-1，0)，即投影点是(5，-1，0)。13、设f(x，y)=在点(0，0)处连续，则a=_____。标准答案：0知识点解析：因为利用夹逼原理知。又知f(0，0)=a，所以当a=0时，f(x，y)在点(0，0)处连续。14、设L为曲线y=上从O(0，0)到的曲线段，则cosy2dx-2xysiny2dy=_______。标准答案：-1知识点解析：因为(-2xysiny2)=-2ysiny2，则该曲线积分与路径无关。又cosy2dx-2xysiny2dy=d(xcosy2)，则15、无穷级数的收敛区间为_________。标准答案：知识点解析：幂级数的系数为an=，根据收敛半径的判断方法，有16、微分方程y’’-2y’+2y=ex的通解为_______。标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知识点解析：对应的特征方程为r2-2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i。由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)17、设f(x)=，求常数a与b的值，使f(x)在(-∞，+∞)上处处连续。标准答案：当｜x｜＞1时,f(x)=当x=1时，f(x)=当x=-1时,f(x)=当｜x｜＜1时，f(x)=所以解得a=0，b=1。知识点解析：暂无解析18、设g(x)=其中f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=f’(0)=1。(Ⅰ)a、b为何值时，g(x)在x=0处连续；(Ⅱ)a、b为何值时，g(x)在x=0处可导。标准答案：(Ⅰ)若要g(x)在x=0处连续，必须=g(0)，即b=-1。故b=-1，a为任意实数时，g(x)在x=0处连续。(Ⅱ)若g(x)在x=0处可导，则g(x)在x=0处连续(b=-1)，且g’-(0)=g’+(0)，所以当a=[f’’(0)-1]，b=-1时，g(x)在x=0处可导。知识点解析：暂无解析19、假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(Ⅰ)在开区间(a，b)内g(x)≠0；(Ⅱ)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使标准答案：(Ⅰ)利用反证法。假设存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，则对g(x)在[a，c]和[c，b]上分别应用罗尔定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立。再对g’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，可知存在ξ1∈(ξ1，ξ2)，使得g’’(ξ3)=0成立，这与题设条件g’’(x)≠0矛盾，因此在开区间(a，b)内，g(x)≠0。(Ⅱ)构造函数F(x)=f(x)g’(x)-g(x)f’(x)，由题设条件得函数F(x)在区间[a，b]上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知，存在点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0。即f(ξ)g’’(ξ)-f’’(ξ)g(ξ)=0，因此可得知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得标准答案：由已知因为f’(x)连续，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则m(a-x)≤(a-x)f’(x)≤M(a-x)，故，再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得知识点解析：暂无解析21、设函数z=f(x，y)在点(1，1)可微，且f(1，I)=1，fx(1，1)=2，fy(1，1)=3，φ(x)=f(x，f(x，x))，求标准答案：由已知得φ(1)=f(1，f(1，1))=f(1，1)=1，而=3φ2(1)φ’(1)=3φ’(1)。由复合函数求导法则可得φ’(x)=f’1(x，f(x，x))+f’2(x，f(x，x))φ’(1)=f’1(1，1)+f’2(1，1)[f’1(1，1)+f’2(1，1)]。又因所以φ’(1)=2+3×(2+3)=17，=3×17=51。知识点解析：暂无解析22、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。标准答案：先求在D内的驻点，即令因此在D内只有驻点(2，1)相应的函数值为f(2，1)=4。再求f(x，y)在D边界上的最值：(1)在x轴上y=0，所以f(x，0)=0。(2)在y轴上x=0，所以f(0，y)=0。(3)在x+y=6上，将y=6-x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x-6)=g(x)，则由g’(x)=6x2-24x=0，得x=0(舍)，x=4，此时y=2。相应的函数值f(4，2)=-64。综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=-64。知识点解析：暂无解析23、求二重积分，其中D是由曲线r=2(1+cosθ)的上半部分与极轴所围成的区域。标准答案：积分区域D如图1-6-7所示，D的极坐标表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，知识点解析：暂无解析24、计算I=(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中L是平面z+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。标准答案：记∑为平面x+y+z=2上L所围部分。由L的定向，按右手法则知∑取上侧，∑的单位法向量由斯托克斯公式得由z=2-x-y可得按第一类曲面积分化为二重积分得：其中D为∑在xOy平面上的投影区域｜x｜+｜y｜≤1(如图1-6-13所示)。由D关于x，y轴的对称性及被积函数的奇偶性得知识点解析：暂无解析25、求幂级数的收敛域及和函数。标准答案：因为所以当x2＜1，即-1＜x＜1时，原幂级数绝对收敛。当x=±1时，级数为，显然收敛，故原幂级数的收敛域为[-1，1]。因为又f(0)=0，所以故收敛域为[-1，1]，和函数s(x)=xarctanx。知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设函数f(x)=在(-∞，+∞)内连续，且，则常数a，b满足()A、a＜0，b＜0。B、a＞0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。标准答案：D知识点解析：因f(x)连续，故a+ebx≠O，因此只要a≥0即可。再由可知x→-∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b＜0，故选D。2、设f(x)=｜(x-1)(x-2)2(x-3)3｜，则导数f’(x)不存在的点的个数是()A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案：B知识点解析：设φ(x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3，则f(x)=｜φ(x)｜。使φ(x)=0的点x=1，x=2，x=3可能是f(x)的不可导点，还需考虑φ’(x)在这些点的值。φ’(x)=(x-2)2(x-3