2.3.1有理数的乘方（1） 提分练-2024-2025学年七年级数学人教版（2024）（含解析）

2.3.1有理数的乘方（1）（新教材，九大类型分层提分练）类型一、有理数的乘方的有关定义1．（23-24·福建龙岩·阶段练习）可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可．【详解】解：．故选：B．2．（23-24·全国·假期作业）的底数、指数、结果分别是（

）A． B． C．2，4，16 D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可．【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为，故选：D．3．（2024·上海·专题练习）底数是，指数是2的幂写成．【答案】【分析】本题考查了幂的概念，根据幂的书写规则即可求解．注意分数为底时，需要把底数加括号．【详解】解：底数为，指数为2，写成，故答案为：．4．（23-24·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么．(1)(2)(3)【答案】(1)底数是，指数是3(2)底数是，指数是4(3)底数是m，指数是【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘．（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；（2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；（3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可．【详解】（1）解：，底数是，指数是3．（2）解：，底数是，指数是4．（3）解：，底数是m，指数是．类型二、有理数的乘方的运算5．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：正确的结果为（

）A．8052 B． C．4 D．【答案】D【分析】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．根据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题．【详解】解：．故选：D．6．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案．【详解】解：A、与不相等，不符合题意；B、与相等，符合题意；C、与不相等，不符合题意；D、与不相等，不符合题意．

故选：B．7．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知a，b满足，那么．【答案】10【分析】本题考查有理数的乘方等知识．利用有理数的乘方求出，的值，再代入计算即可求解．【详解】解：，，，．故答案为：10．8．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据有理数乘方计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式【点睛】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键．类型三、含乘方的有理数的混合运算9．（23-24七年级上·湖南常德·期末）计算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可，掌握运算顺序是解本题的关键．【详解】解：，故选C10．（23-24·全国·假期作业）计算的结果是．【答案】36【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，最后算加减．【详解】解：，故答案为：36．11．（23-24·黑龙江哈尔滨·期末）计算题：(1)；(2)．【答案】(1)17(2)【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键：（1）先去括号，计算乘方，再算乘法，最后进行加减运算；（2）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．12．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)15(2)0(3)【分析】（1）利用有理数的混合运算法则即可求解．（2）利用有理数的混合运算法则即可求解．（3）利用有理数的混合运算法则即可求解．【详解】（1）解：原式．（2）原式．（3）原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．类型四、有理数的非负性13．（23-24·上海宝山·期中）若，那么．【答案】【分析】本题考查了平方与绝对值的非负性，有理数的乘方．解题的关键在于正确的求解．由解出的值，代入求解即可．【详解】解：由题意知解得∴故答案为：．14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，且，求的值．【答案】或【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握其运算规则，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据，求出的值，再根据分情况讨论计算即可．【详解】解：，，，，当时，；当时，；故的值为：或．15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题：(1)由，可得_____，_____．(2)若，求的值．【答案】(1)，(2)2【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法．（1）根据绝对值的定义和有理数的乘方的定义即可得出答案；（2）由得出，或，，代入计算即可得出答案．【详解】（1）解：∵，∴，；（2）解：由（1）得，，又∵，异号，∴，或，；或，综上所述，．类型五、有理数的乘方的符号问题16．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（

）A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数【答案】D【分析】分为两种情况当n是偶数时，当n是奇数时，求出即可．【详解】解：当n是偶数时，原式，当n是奇数时，原式，是正偶数．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方的应用，注意要进行分类讨论是解决本题的关键．17．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算：【答案】0【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可．【详解】解：原式，故答案为：0．类型六、有理数的乘方有关规律问题18．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题：(1)猜想：_____．(2)计算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案；（2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可．【详解】（1）解：∵，，，…归纳可得：；（2）；【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键．19．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】例如：观察下面式子，根据规律填空：（1），，，，…，，．（2），，，，…，．【答案】444444888889【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可；（2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9．【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25，如：，即；：，即；：，即；（2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9．∴．故答案为：；；．【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键．20．（2022七年级·江苏·专题练习）阅读计算：阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝；4100×0.25100＝．(2)通过上述验证，归纳得出：（）n＝；（）n＝．(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．（2）根据有理数乘方的定义求出即可；（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为：1，1．（2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，故答案为：ab，anbn，abc，anbncn．（3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键．类型七、有理数的乘方的有关材料阅读题21．（2024·河北·三模）在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：①，然后在①式的两边都乘以6，得②，②-①得，即，所以得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查有理数的运算，根据题干给定的方法，设，进而得到，两式相减后，进行求解即可．【详解】解：设，，得：，，得：，∴故选B．22．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目：(1)；(2)归纳、概括：；(3)如果，，运用以上的结论，计算：．【答案】(1)(2)(3)100【分析】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键．（1）直接利用已知计算得出答案；（2）利用（1）中所求进而得出答案；（3）利用（2）中所求，将原式变形进而得出答案．【详解】（1）解：；（2）归纳、概括：；（3）如果，，运用以上的结论，计算：23．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）阅读材料：求的值．解：设将等式两边同时乘以2，得将下式减去上式，得即请你仿照此法计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．（1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案．【详解】（1）解：根据材料，设①，将等式两边同时乘以3，则②，由，得：，，；（2）根据材料，设③，将等式两边同时乘以④，由，得：，,．类型八、有理数的乘方的有关应用24．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．(1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？(2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．【答案】(1)层数(2)6.4毫米【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键．（1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系；（2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解．【详解】（1）解：∵对折1次，层数，对折2次，层数，对折3次，层数，∴对折n次，层数；（2）解：（毫米），答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米．25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．(1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？(2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）【答案】(1)128(2)【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键．（1）根据题意列式计算即可得出答案；（2）根据题意列式计算即可得出答案．【详解】（1）解：由题意得：（根）∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根．（2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是．∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，∴8次后，平均每一根面条横截面积．类型九、有理数的乘方的有关新定义问题26．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则．【答案】8【分析】根据定义，得，解得即可．本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．【详解】根据定义，得，故答案为：8．27．（2024·河南南阳·一模）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为．【答案】【分析】本题考查了有理数的运算，有理数大小比较，理解题中给出的定义做出正确的计算是解题关键．原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】根据题意得，当时，∵∴．故答案为：．28．（2024七年级下·全国·专题练习）如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系．(1)根据“劳格数”的定义，填空：，______；(2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数）(3)若，分别计算；．【答案】(1)1，(2)3(3)0.6020，0.699．【分析】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键．（1），，则有；，，则有；（2）根据，进行求解即可；（3）由题意得：，．【详解】（1）由题意得：，，；由题意得：，，；故答案为：1，；（2）∵，，∴故答案为3；（3），，．29．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．问题：(1)计算以下各对数的值：；；．(2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是．(3)请你求出的值：【答案】(1)2，4，6(2)(3)5【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：，；（3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：∵，，，；∴；（3）解：；，．∴．一、单选题1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某同学设计了一个算式：，若要使得该算式值最大，你应在“□”里填入（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键．分别将代入计算，然后比较即可解答．【详解】解：当填入“”时，；当填入“”时，；当填入“”时，；当填入“”时，；显然A选项结果最大．故选：A．2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，把各自的值代入运算程序中计算，使其结果为1即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】解：A、把，输入，，则，故A不符合题意；B、把，输入，，则，故B不符合题意；C、把，输入，，则，故C不符合题意；D、把，输入，，则，故D符合题意；故选：．3．（22-23七年级上·浙江台州·期末）数学活动课上，丁老师组织同学们玩抢答游戏，每答对一题可以拿走糖果箱中的糖果，再加一颗糖果．已知糖果箱中约有130颗糖果，若答对题后恰好剩下2颗糖果，且每位同学得到的糖果数都为整数，则为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查有理数的运算，根据题意计算出每位同学拿走的和剩下的，理解“每位同学得到的糖果数都为整数”，列式计算是解决问题的关键．【详解】解：第一位同学可以拿走颗，还剩颗，第二位同学可以拿走颗，还剩颗，第三位同学可以拿走颗，每位同学得到的糖果数都为整数，所以该同学拿走17颗，还剩颗，第四位同学可以拿走颗，还剩颗，第五位同学可以拿走颗，还剩颗，∴，故选：C．4．（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（

）A．132天 B．72天 C．60天 D．42天【答案】B【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据“满七进一”可知最左边的每个结表示，中间的每个结表示7，最右边每个结表示1，由此可解．【详解】解：孩子已经出生天数为：（天），故选B．5．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）现有一列数：（n为正整数），规定，若，则n的值为（）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】本题考查有理数的运算，根据题意，得到，利用裂项法，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，，，……，，∴，∴，故选：D．二、填空题6．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）定义一种新运算：，则．【答案】5【分析】本题考查的是自定义运算，理解自定义运算的运算法则是解本题的关键，根据自定义运算列式为，再计算即可.【详解】解：∵，∴；故答案为：7．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，，则．【答案】1【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据、互为倒数，、互为相反数，可以求得和的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：、互为倒数，、互为相反数，，，，故答案为：18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“”，当时，；当时，．例如：，，求．【答案】【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据当时，，可以计算出所求式子的值．【详解】解：由题意可得，，故答案为：．9．（23-24八年级下·四川成都·期中）对于任意非零实数a，b，定义运算“”如下：，则．【答案】【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用定义的新运算进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：，故答案为：．10．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）由奇数1，3，5，…，2023组成的和式：，化简后的结果为．【答案】【分析】本题考查了数字类规律探索，根据分母的特点裂项求解是关键．根据分母的特点分析，将乘法转化为减法。再抵消计算即可．【详解】解：，，，……，故答案为：．三、解答题11．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(