考研数学二（线性方程组）模拟试卷1（共282题）

考研数学二（线性方程组）模拟试卷1（共9套）（共282题）考研数学二（线性方程组）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为．则自由变量可取为(1)x4，x5．(2)x3，x5．(3)x1，x5．(4)x2，x3．那么正确的共有()A、1个．B、2个．C、3个．D、4个．标准答案：B知识点解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n—r(A)=5—3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x3，x5不能是自由变量．而x1，x2与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．2、已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1一α2，α1+α2一2α3,，α1一3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有()A、4个．B、3个．C、2个．D、1个．标准答案：A知识点解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1+α2—2α3)=Aα1+Aα2—2Aα3=b+b一2b=0，A(α1一3α2+2α3)=Aα1一3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0，那么，α1—α2，α1+α2—2α3，，α1一3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．3、已知α1=(1，1，一1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，一1，3)T．B、(2，1，一3)T．C、(2，2，一5)T．D、(2，一2，6)T．标准答案：B知识点解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x1α1，+x1α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，一5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．4、设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是()A、r=n．B、r≥N．C、r＜n．D、r＞n．标准答案：C知识点解析：将矩阵A按列分块，A=(α1,α2……αn)，则Ax=0的向量形式为x1α1+x2α2+…+xnαn=0，而Ax=0有非零解α1,α2……αn线性相关．所以应选C．5、已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均为四维列向量，其中α1,α2线性无关，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由α1+2α2一α3=β知即γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n—r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1,α2线性无关，有r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n—r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．6、已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1一β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1一α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1一α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确．7、三元一次方程组329，所代表的三个平面的位置关系为()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量，n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，一1，一2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．8、设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．标准答案：D知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A；b)所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A；b)＜n．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．9、要使都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为()A、[一211]．B、C、D、标准答案：A知识点解析：由题意，ξ1、ξ2与A的行向量是正交的，对于选项A，因(一2，1，1)ξ1=0，(一2，1，1)ξ2=0，而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条件．所以应选A．10、设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有()A、(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(I)的解．B、(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(I)的解．C、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解不是(Ⅱ)的解．D、(Ⅱ)的解不是(I)的解，(I)的解也不是(Ⅱ)的解．标准答案：A知识点解析：如果α是(I)的解，有Aα=0，可得ATAα=AT(Aα)=AT0=0，即α是(Ⅱ)的解．故(I)的解必是(Ⅱ)的解．反之，若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得αT(ATAα)=(αAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)=αT0=0，若设Aα=(b1，b2，…，bn)，那么(Aα)T(Aα)=b12+b22+…+bn2=0→bi=0(i=1，2，…，n)即Aα=0．亦即α是(I)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(I)的解．所以应选A．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=____________.标准答案：1知识点解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n一r=3—2=1．12、设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η，η是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=__________．标准答案：0知识点解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=O的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，有n—r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是5阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜的4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij，恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．13、方程组有非零解，则k=_________．标准答案：一1知识点解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即因此得k=一1．14、设，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是___________．标准答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T知识点解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n—r(A*)=3一1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T．15、已知方程组总有解，则λ应满足的条件是__________．标准答案：知识点解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩为3，即｜A｜≠0，由16、已知方程组有无穷多解，那么α=___________．标准答案：3知识点解析：线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是，而有无穷多解的充分必要条件是，对增广矩阵作初等行变换，有由于r(A)=2，则可以推出6—2a=0，因此方程组有无穷多解的充分必要条件是a=3．17、已知α1，α2是方程组的两个不同的解向量，则α=________．标准答案：一2知识点解析：因为α1，α2是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于3，对增广矩阵作初等行变换有因此a=一2时，系数矩阵和增广矩阵的秩相等且均为2．故a=一2．18、四元方程组Ax=b的三个解是α1,α2,α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如果r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是____________.标准答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知识点解析：根据(α2+α3)一2α1=(α2一α1)+(α2一α1)=(2，3，4，5)T一2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，因此可知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又因为r(A)=3，n一r(A)=1，所以Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．19、设α1=(6，一1，1)T与α2=(一7，4，2)T是线性方程组的两个解，那么此方程组的通解是___________．标准答案：(6，一1，1)T+k(13，一5，一1)T(k为任意常数)知识点解析：一方面因为α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，因此一定有r(A)=r(A)＜3．另一方面由于在系数矩阵A中存在2阶子式因此一定有r(A)≥2，因此必有r(A)=r(A)=2．则n一r(A)=3—2=1，因此，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量所构成，根据解的性质可知α1一α2=(6，一1，1)T一(一7，4，2)T=(13，一5，一1)T，是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，那么由非齐次线性方程组解的结构可知(6，一1，1)T+k(13，一5，一1)T(k为任意常数)是方程组的通解．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：20、A2=A的充分条件是ξTξ=1；标准答案：A2=(E一ξξT)(E一ξξT)=E一2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=E一(2一ξTξ)ξξT因此A2=A→E一(2一ξTξ)ξξT=E一ξξT→(ξTξ一1)ξξT=0．因为ξ≠0，所以ξξT≠0，因此A2=A的充分条件为ξTξ=1．知识点解析：暂无解析21、当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．标准答案：当ξTξ=1时，由A=E一ξξT可得Aξ=ξ一ξξTξ=ξ一ξ=0，因为ξ≠0，因此Ax=0有非零解，即｜A｜=0，所以A不可逆．知识点解析：暂无解析22、设已知方程组Ax=b有无穷多解，求a的值并求其通解．标准答案：由题干可知，线性方程组Ax=b有无穷多解．对线性方程组Ax=b的增广矩阵作初等行变换，知识点解析：暂无解析23、设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α1+t2α3，…，βs=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．标准答案：因为βi(i=1，2，…，s)是α1,α2……αs的线性组合，且α1,α2……αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解．由α1,α2……αs是Ax=0的基础解系，知s=n—r(A)．以下分析β1β2……βs线性无关的条件：设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0，由于α1,α2……αs线性无关，因此有当t1s+(一1)s+1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0．因此当s为偶数，t1≠±t2，或当s为奇数，t1≠一t2时，β1β2……βs线性无关．知识点解析：暂无解析24、已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+26y+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0，试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．标准答案：方法一：必要性：设三条直线l1，l2，l3交于一点，则其线性方程组为：知识点解析：暂无解析25、求下列齐次线性方程组的基础解系：(3)nx1+(n一1)x2+…+2xn-1+xn=0．标准答案：(1)方程组的系数矩阵所以r(A)=2，因此基础解系所含向量的个数为4—2=2，又原方程组等价于取x3=1，x4=5，得x1=一4，x2=2；取x3=0，x4=4，得x1=0，x2=1．因此基础解系为(2)方程组系数矩阵得r(A)=2，基础解系所含向量的个数为4—2=2．又原方程组等价于取x3=1，x4=2得x1=0，x2=0；取x3=0，x4=19，得x1=1，x2=7．因此基础解系为(3)记A=(n，n一1，…，1)，可见r(A)=1，从而有n一1个线性无关的解构成此方程的基础解系，原方程组为xs=一nx1一(n一1)x2－…一2xn-1．取x1=1，x2=x3=…=xx-1=0，得xn=一n；取x2=1，x1=x3=x4=…=xx-1=0，得xn=一(n一1)=一n+1：……取xn-1=1，x1=x2=…=xn-2=0，得xn=一2．所以基础解系为知识点解析：暂无解析26、求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为ξ1=(0，1，2，3)T，ξ2=(3，2，1，0)T．标准答案：设所求齐次方程为Ax=0，ξ1，ξ2是4维列向量，基础解系含有2个向量，因此r(A)=4—2=2，即方程的个数大于等于2．记B=(ξ1，ξ2)，即有AB=0，且r(A)=2即BTAT=0且r(AT)=2．所以AT的列向量就是BTx=0的一个基础解系．知识点解析：暂无解析设四元齐次线性方程组求：27、方程组I与Ⅱ的基础解系；标准答案：求方程组I的基础解系：系数矩阵为知识点解析：暂无解析28、I与Ⅱ的公共解．标准答案：设x=(x1，x2，x3，x4)T为I与Ⅱ的公共解，用两种方法求x的一般表达式：方法一：x是I与Ⅱ的公共解，因此x是方程组Ⅲ的解，方程组Ⅲ为I与Ⅱ联立的方程组，即知识点解析：暂无解析设29、求满足Aξ2=ξ1，A2ξ=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；标准答案：对增广矩阵(A：ξ1)作初等行变换，则得Ax=0的基础解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T．故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T或ξ2=(k，一2k，2k+1)T，其中k为任意常数．由于，对增广矩阵(A2；ξ1)作初等行变换，有得A2x=0的基础解系(一1，1，0)T，(0，0，1)T．又A2x=ξ1有特解故其中t1，t2为任意常数．知识点解析：暂无解析30、对(1)中任意向量ξ2和ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．标准答案：因为所以，ξ1，ξ2，ξ3线性无关．知识点解析：暂无解析设已知线性方程组Ax=b，存在两个不同的解．31、求λ，a；标准答案：由已知可得，线性方程组Ax=b有两个不同的解，则．故｜A｜=0，即知识点解析：暂无解析32、求方程组Ax=b的通解．标准答案：当λ=一1，a=一2时，知识点解析：暂无解析33、已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．标准答案：由于方程组(Ⅱ)中“方程个数＜未知数个数”，所以方程组(Ⅱ)必有非零解．那么方程组(I)必有非零解．(I)的系数矩阵行列式为0，即对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有则方程组(I)的通解是k(一1，一1，1)T．由已知，则(一1，一1，1)T也是方程组(Ⅱ)的解，则有知识点解析：暂无解析34、已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系．标准答案：由已知可得A的行向量是Cx=0的解，即CAT=O．则C(BA)T=CATBT=OBT=0．可见BA的行向量是方程组Cx=0的解．由于A的行向量是基础解系，所以A的行向量线性无关，于是m=r(A)=n—r(C)．又因为B是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=n—r(C)，所以鲋的行向量线性无关，其向量个数正好是n—r(C)，因此是方程组Cx=0的基础解系．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第2套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则()A、无法确定方程组是否有解。B、方程组有无穷多解。C、方程组有唯一解。D、方程组无解。标准答案：B知识点解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，故选B。2、设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若则线性方程组()A、Ax=α必有无穷多解。B、Ax=α必有唯一解。C、仅有零解。D、必有非零解。标准答案：D知识点解析：齐次线性方程必有解(零解)，则选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、B。又齐次线性方程组有n+1个变量，而由题设条件知，。所以该方程组必有非零解，故选D。3、设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是()A、A的列向量线性无关。B、A的列向量线性相关。C、A的行向量线性无关。D、A的行向量线性相关。标准答案：A知识点解析：Ax=0仅有零解→r(A)=n→A的列向量线性无关。故选A。4、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0()A、当n＞m时，仅有零解。B、当n＞m时，必有非零解。C、当m＞n时，仅有零解。D、当m＞n时，必有非零解。标准答案：D知识点解析：因为AB是m阶矩阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项D正确。5、设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解。B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解。C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解。D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解。标准答案：D知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A；b)，所以选项A、B均不正确。而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A；b)＜n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解。所以应选D。6、非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则()A、r=m时，方程组Ax=b有解。B、r=n时，方程组Ax=b有唯一解。C、m=n时，方程组Ax=b有唯一解。D、r＜n时，方程组有无穷多个解。标准答案：A知识点解析：对于选项A，r(A)=r=m。由于r(A；b)≥m=r，且r(A；b)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有r(A；b)=r，从而r(A)=r(A；b)，此时方程组有解，所以应选A。由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等。7、已知α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，那么中，仍是线性方程组Ax=b特解的共有()A、4个。B、3个。C、2个。D、1个。标准答案：C知识点解析：由于Aα1=b，Aα2=b，那么可知均是Ax=b的解。而可知不是Ax=b的解。故应选C。8、设α1,α2,α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中可以作为导出组Ax=0的解向量有()个。A、4。B、3。C、2。D、1。标准答案：A知识点解析：由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1—2α2+α3)=Aα1一2Aα2+Aα3=b一2b+b=0A(α1+3α2一4α3)=Aα1+3Aα2—4Aα3=b+3b一4b=0。这四个向量都是Ax=0的解，故选A。9、已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量中，是对应齐次线性方程组Ax=0解向量的共有()A、4。B、3。C、2。D、1。标准答案：A知识点解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b一b=0，A(α1+α2一2α3)=Aα1+Aα2一2Aα3=b+b一2b=0，A(α1一3α2+2α3)=Aα1一3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0，即α1一α2，α1+α2—2α3，(α2一α1)，α1—3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解。所以应选A。10、设方程组Ax=0有非零解。α是一个三维非零列向量，若Ax=0的任一解向量都可由α线性表出，则a=()A、1。B、一2。C、1或一2。D、一1。标准答案：B知识点解析：由于Ax=0的任一解向量都可由α线性表出，所以α是Ax=0的基础解系，即Ax=0的基础解系只含一个解向量，因此r(A)=2。由方程组Ax=0有非零解可得，｜A｜=(a一1)2(a+2)=0，即a=1或一2。当a=1时，r(A)=1，舍去；当a=一2时，r(A)=20所以选B。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、方程组有非零解，则k=___________。标准答案：一1知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即因此得k=一1。12、已知线性方程组．无解，则a=___________。标准答案：一1知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以a=一1。13、已知方程组总有解，则λ应满足的条件是___________。标准答案：知识点解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩为3，即14、已知方程组有无穷多解，则a=___________。标准答案：3知识点解析：凡元线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是r(A)=r(A)，而有无穷多解的充分必要条件县r(A)=r(A)＜n．对增广矩阵作初等行变换，有由于r(A)=2，所以6—2a=0，即a=3。15、齐次方程组有非零解，则λ=___________。标准答案：一3或一1知识点解析：系数矩阵的行列式所以当λ=一3或一1时，方程组有非零解。16、已知齐次线性方程组有非零解，则a=___________。标准答案：2知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于末知量的个数。由于因此有r(A)＜3→a=2。17、,方程Ax=β无解，则a=___________。标准答案：1或3知识点解析：已知方程组无解，所以r(A)≠r(A，β)。又因为r(A，β)=3，所以r(A)≤2，故有｜A｜=0→a=1或3。18、设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=___________。标准答案：0知识点解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得n—r(A)≥2，即r(A)≤3.又因为A是五阶矩阵，所以｜A｜的四阶子式一定全部为零，则代数余子式Aii恒为零，即A*=O，所以r(A*)=O。19、设1=(6，一1，1)T与2=(一7，4，2)T是线性方程组的两个解，则此方程组的通解是___________。标准答案：(6，一1，1)T+k(13，一5，一1)T，k为任意常数知识点解析：一方面因为α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，所以一定有r(A)=r(A)＜3。另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式所以一定有r(A)≥2，因此必有r(A)=r(A)=2。由n—r(A)=3—2=1可知，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知α1一α2=(6，一1，1)T一(一7，4，2)T=(13，一5，一1)T是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，则方程组的通解为X=(6，一1，1)T+k(13，一5，一1)T，k为任意常数。20、设A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是___________。标准答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2是任意常数知识点解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，则由n—r(A*)=2可知，A*x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为k1η1+k2η2。又因为A*A=｜A｜E=O，所以矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、已知方程组有解，证明：方程组无解。标准答案：用A1，A1和A2，A2分别表示方程组(1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，则A1=A2T。已知方程组(1)有解，故r(A1)=r(A1)。又由于(b1，b2，…，bm，1)不能由(a11，a21，…，am1，0)，(a12，a22，…，am2，0)，…，(a1n，a2n，…，amn，0)线性表示，所以知识点解析：暂无解析22、设(I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(I)中任意向量ξ2和ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关。标准答案：(I)对增广矩阵(A；ξ1)作初等行变换，则得Ax=0的基础解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T.故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T，其中k为任意常数。所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关。知识点解析：暂无解析设已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。23、求λ，a；标准答案：因为线性方程组Ax=b有两个不同的解，所以r(A)=r(A)＜n。于是解得λ=1或λ=一1。当λ=1时，r(A)=1，r(A)=2，此时线性方程组无解。当λ=一1时，若a=一2，则r(A)=r(A)=2，方程组Ax=b有无穷多解。故λ=一1，a=一2。知识点解析：暂无解析24、求方程组Ax=b的通解。标准答案：当λ=一1，a=一2时，所以方程组Ax=b的通解为知识点解析：暂无解析25、设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。标准答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有当a=0时，r(A)=1＜n，方程组有非零解，其同解方程组为x1+x2+…+xn=0，由此得基础解系为η1=(一1，1，0，…，0)T，η2=(一1，0，1，…，0)T，…，ηn-1=(一1，0，0，…，1)T，于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1为任意常数。当a≠0时，对矩阵B作初等行变换，有当时，r(A)=n一1＜n，方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析26、已知齐次线性方程组其中。试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时：(I)方程组仅有零解；(Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。标准答案：方程组的系数矩阵的行列式(I)当b≠0且时，r(A)=0，方程组仅有零解。(Ⅱ)当b=0时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+…+anxn=0。由可知，ai(i=1，2，…，n)不全为零。不妨设a1≠0，得原方程组的一个基础解系为α1=(一a2，a1，1，0，…，0)T，α2=(一a3，0，a1，…，0)T，…，αn-1=(一an，0，0，…，a1)T。当时，有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为由此得原方程组的同解方程组为x3=x1，x3=x1，…，xn=x1。原方程组的一个基础解系为α=(1，1，…，1)T。知识点解析：暂无解析27、设线性方程组已知(1，一1，1，一1)T是该方程组的一个解，求方程组所有的解。标准答案：将(1，一1，1，一1)T代入方程组可得λ=μ。对增广矩阵作初等行变换，可得知识点解析：暂无解析已知A，B为三阶非零矩阵，且β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。求28、a，b的值；标准答案：由B≠O，且β1，β2，β3是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量可知，向量组β1，β2，β3必线性相关，于是解得a=3b。由Ax=β3有解可知，线性方程组Ax=β3的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得所以b=5，a=3b=15。知识点解析：暂无解析29、求Bx=0的通解。标准答案：因为B≠O，所以r(B)≥1，则3一r(B)≤2.又因为β1，β2是Bx=0的两个线性无关的解，故3一r(B)=2，所以β1，β2是Bx=0的一个基础解系，于是Bx=0的通解为x=k1β1+k2β2，其中k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、η1，η2是n元齐次方程组Ax=0的两个不同的解，若r(A)=n一1，则Ax=0的通解为()A、kη1。B、kη2。C、k(η1+η2)。D、k(η1一η2)。标准答案：D知识点解析：因为r(A)=n一1，所以Ax=0的基础解系只含有一个解向量，η1一η2为Ax=0的非零解，所以Ax=0的通解为k(η1一η2)。2、设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有()A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解。B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解。标准答案：A知识点解析：如果α是(1)的解，有Aα=0，可得ATAα=AT(Aa)=AT0=0，即α是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若α是(2)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得0=αT0=αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)，若设Aa=(b1，b2，…，bm)，那么(Aα)T(Aα)=b1+b22+…+bn2=0,bi=0(i=1，2，…，n)，即Aα=0，说明α是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以应选A。3、设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有四个命题：①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。以上命题中正确的是()A、①②。B、①④。C、③④。D、②③。标准答案：A知识点解析：若Anα=0，则An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，则α必是(2)的解，可见命题①正确。如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。类似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα线性无关。但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故An+1α=0时，必有Anα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。所以应选A。4、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)；④若r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解。以上命题中正确的有()A、①②。B、①③。C、②④。D、③④。标准答案：B知识点解析：由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B。下面证明①，③正确：对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0含于Ax=0之中。从而Ax=0的有效方程的个数(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的个数(即r(B))，故r(A)≥r(B)。对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其相同，即n—r(A)=n—r(B)，从而r(A)=r(B)。5、设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量，A*是A的伴随矩阵，则()A、A*x=0的解均是Ax=0的解。B、Ax=0的解均是A*x=0的解。C、Ax=0与A*x=0没有非零公共解。D、Ax=0与A*x=0恰好有一个非零公共解。标准答案：B知识点解析：由题设知n一r(A)≥2，从而有r(A)≤n一2，故A*=O，任意n维向量均是A*x=0的解，故正确选项是B。二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、若则X=___________。标准答案：其中x2，y2是任意常数知识点解析：矩阵可得线性方程组故x1=2一x2，y1=3一y2，所以．其中x2，y2是任意常数。7、已知齐次线性方程组有通解k1(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，则方程组的通解是___________。标准答案：k(13，一3，1，5)T，k为任意常数知识点解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解代入(2)的第三个方程，得(2k1+3k2)一2(一k1+2k2)+0k2+k1=0，即5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为5k2(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，一3，1，5)T，k2为任意常数。8、已知方程组(1)与方程(2)x1+5x3=0，则(1)与(2)的公共解是___________。标准答案：k(一5，3，1)T，k为任意常数知识点解析：将方程组(1)和方程(2)联立，得到方程组的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得由于A的秩为2，所以自由变量有一个，令自由变量x3=1，代入可得x2=3，x1=一5，所以(3)的基础解系为η=(一5，3，1)T。因此(1)和(2)的公共解为k(一5，3，1)T，k为任意常数。三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)9、已知方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T。试写出线性方程组的通解，并说明理由。标准答案：由题意可知，线性方程组(2)的通解为y=c1(a1，a12，…，a2,2n)T+c2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+cn(an1，an2，…，an,2n)T，其中c1，c2，…，cn是任意的常数。这是因为：设方程组(1)和(2)的系数矩阵分别为A，B，则根据题意可知ABT=O，因此BAT=(ABT)T=O，可见A的n个行向量的转置为(2)的n个解向量。由于B的秩为n，所以(2)的解空间的维数为2n—r(B)=2n一n=n，又因为A的秩等于2n与(1)的解空间的维数的差，即n，因此A的n个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成(2)的一个基础解系。知识点解析：暂无解析10、已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。标准答案：由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。若k≠9，则r(B)=2，于是r(A)≤1，显然r(A)≥1，故r(A)=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：x=k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，k1，k2为任意常数。若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2。①若r(A)=2，则Ax=0的通解为：x=k1(1，2，3)T，k1为任意常数。②若r(A)=1，则Ax=0的同解方程组为：ax1+ax2+cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析11、设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3，向量b=α1+α2+α3+α4，求方程组Ax=b的通解。标准答案：已知α2，α3，α4线性无关，则r(A)≥3.又由a1，a2，a3线性相关可知a1，a2，a3，a4线性相关，故r(A)≤3。综上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为4—3=1。又因为所以x=(1，一2，1，0)T是方程组Ax=0的基础解系。又由b=a1+a2+a3+a4可知x=(1，1，1，1)T是方程组Ax=b的一个特解。于是原方程组的通解为x=c(1，1，1，1)T+c(1，一2，1，0)T，c∈R。知识点解析：暂无解析12、已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。标准答案：由于α1，α2，α4线性无关，α3=α1一α4，α5=a1+a2+a4，所以r(A)=3。由已知条件β=2α1+α2一α3+α4+α5，从而线性方程组Ax=β有特解η=(2，1，一1，1，1)T。由α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为ξ1=(1，0，一1，一1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，一1)T。由r(A)=3，可知齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成，故ξ1，ξ2为Ax=0的基础解系，方程组Ax=β的通解为x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析设四元齐次线性方程组求：13、方程组(1)与(2)的基础解系；标准答案：求方程组(1)的基础解系：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换求方程(2)的基础解系：对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换分别取其基础解系可取为知识点解析：暂无解析14、(1)与(2)的公共解。标准答案：设x=(x1，x2，x3，x4)T为(1)与(2)的公共解，用两种方法求x的一般表达式：将(1)的通解x=(c1，一c1，c2，一c1)T代入(2)得c2=一2c1，这表明(1)的解中所有形如(c1，一c1，一2c1，一c1)T的解也是(2)的解，从而是(1)与(2)的公共解。因此(1)与(2)的公共解为x=k(一1，1，2，1)T，k∈R。知识点解析：暂无解析15、设方程组与方程(2)x1+2x2+x3=a—1有公共解，求a的值及所有公共解。标准答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有因方程组(3)有解，所以(a一1)(a一2)=0。当a=1时,此时方程组(3)的通解为k(一1，0，1)T(k为任意常数)，此即为方程组(1)与(2)的公共解。当a=2时,此时方程组(3)有唯一解(0，1，一1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。知识点解析：暂无解析设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。16、求方程组(1)的一个基础解系；标准答案：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则n—r(A)=4—2=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取x3，x4为自由变量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程组(1)的基础解系。知识点解析：暂无解析17、当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。标准答案：设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。由k1β1+k2β2—l1α1—l2α2=0，得齐次方程组对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有当a≠一1时，方程组(3)的系数矩阵变为。可知方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合题意。当a=一1时，方程组(3)系数矩阵变为，解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2。于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。所以当a=一1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T，1，l2为任意常数。知识点解析：暂无解析设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1，1，一1，一1，1)T，β2=(1，一1，1，一1，2)T，β3=(1，一1，一1，1，1)T。求18、线性方程组(3)的通解；标准答案：线性方程组(1)Ax=0的通解为x=k1α1+k2α2+k2α3；线性方程组(2)Bx=0的通解为x=l1β1+l2β2+l3β3；线性方程组(3)的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k1α1+k2α2+k3α3=l1β1+l2β2+l3β3，将其系数矩阵作初等行变换，即则方程组(4)的一个基础解系是(一2，0，2，一1，0，1)T。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础解系ξ=一2α1+2α2=一β1+β3=(0，一2，0，2，0)T。所以方程组(3)的通解为x=k(0，一1，0，1，0)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析19、矩阵C=(AT，BT)的秩。标准答案：线性方程组(3)与线性方程组xT(AT，BT)=0等价，而方程组(3)的基础解系只含一个向量，故矩阵C=(AT，BT)的秩r(C)=5—1=4。知识点解析：暂无解析20、已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值。标准答案：因为方程组(2)中“方程个数＜未知数个数”，所以方程组(2)必有非零解。于是方程组(1)必有非零解，则(1)的系数行列式为0，即所以a=2。对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则方程组(1)的通解是k(一1，一1，1)T。因为(一1，一1，1)T是方程组(2)的解，所以故b=1，c=2或b=0，c=1。当b=1，c=2时，方程组(2)为其通解是k(一1，一1，1)T，所以方程组(1)与(2)同解。当b=0，c=1时，方程组(2)为由于方程组(2)的系数矩阵的秩为1，而方程组(1)的系数矩阵的秩为2，故方程组(1)与(2)不同解，则b=0，c=1应舍去。综上，当a=2，b=1，c=2时，方程组(1)与(2)同解。知识点解析：暂无解析21、已知齐次线性方程组的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解。试证明线性方程组有解。标准答案：由已知齐次线性方程组的所有解都是方程b1x1+b1x2+…+bnxn=0(2)的解，可知方程组(1)与方程组由r(A)=r(AT)，r(B)=r(BT)，所以r(AT)=r(BT)，即方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，故线性方程组有解。知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知α1=(1，1，一1)T，α2=(1，2，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，一1，3)T。B、(2，1，一3)T。C、(2，2，一5)T。D、(2，一2，6)T。标准答案：B知识点解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解。因此选项A、D均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的任何一个解η均可由α1，α2线性表示，也即方程组x1α1+x2α2=η必有解，而可见第二个方程组无解，即(2，2，一5)T不能由α1，α2线性表示。所以应选B。2、某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为则自由变量可取为①x4，x5；②x3，x5；③x1，x5；④x2，x3。那么正确的共有()A、1个。B、2个。C、3个。D、4个。标准答案：B知识点解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，则17,一r(A)=5—3=2，故应当有两个自由变量。由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为．因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量。同理，x3，x5不能是自由变量。而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0。所以应选B。3、设A是秩为n一1的n阶矩阵，α1,α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是()A、α1+α2。B、kα1。C、k(α1+α2)。D、k(α1一α2)。标准答案：D知识点解析：因为A是秩为n一1的忍阶矩阵，所以Ax=0的基础解系只含一个非零向量。又因为α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，所以α1一α2必为方程组Ax=0的一个非零解，即α1一α2是Ax=0的一个基础解系，所以Ax=0的通解必定是k(α1一α2)。选D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项A不正确；若α1=0，则选项B不正确；若α1=一α2≠0，则α1+α2=0，此时选项C不正确。4、设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量组，A=(α1,α2,α3,α4)，A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为()A、α1,α2,α3。B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。C、α2,α3,α4。D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。标准答案：C知识点解析：方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A的秩，r(A)=4—1=3，则其伴随矩阵A*的秩r(A*)=1，于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。又A*(α1,α2,α3,α4)=A*A=｜A｜E=D，所以向量α1,α2,α3,α4都是方程组A*x=0的解。将(1，0，2，0)T。代入方程组AX=0可得α1+2α3=0，这说明α1可由向量组α2,α3,α4线性表出，而向量组α1,α2,α3,α4的秩等于3，所以向量组α2,α3,α4必线性无关。所以选c。事实上，由α1+2α3=0可知向量组α1,α2,α3线性相关，选项A不正确；显然，选项B中的向量都能被α1,α2,α3线性表出，说明向量组α1+α2，α2+α3，α1+α3线性相关，选项B不正确；而选项D中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型D也不正确。5、设η1，η2,η3，η4是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是()A、η1一η2，η2+η3，η3一η4，η4+η1。B、η1+η2，η2+η3+η4，η1一η2+η3。C、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1。D、η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1。标准答案：D知识点解析：由已知条件知Ax=0的基础解系由四个线性无关的解向量所构成。选项B中仅三个解向量，个数不合要求，故排除B项。选项A和C中，都有四个解向量，但因为(η1－η2)+(η2+η3)一(η2一η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3+η4)一(η4+η1)=0说明选项A、C中的解向量组均线性相关，因而排除A项和C项。用排除法可知选D。或者直接地，由(η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1)=(η1，η2,η3，η4)因为知η1+η2，η2一η2，η3+η4，η4+η1线性无关，又因η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1均是Ax=0的解，且解向量个数为4，所以选D。6、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系()A、不存在。B、仅含一个非零解向量。C、含有两个线性无关的解向量。D、含有三个线性无关的解向量。标准答案：B知识点解析：由A*≠O可知，A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个n—1阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r(A)≥n一1。又因Ac=b有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有r(A)＜n，从而r(A)=n一1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选B。7、设A是m×n矩阵，AT是A的转置，若η1，η2,……ηt为方程组ATx=0的基础解系，则r(A)=()A、t。B、n—t。C、m—t。D、n—m。标准答案：C知识点解析：r(AT)+t等于AT的列数，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m—t=r(A)。8、已知四阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均为四维列向量，冥中α1,α2线性无关，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由α1+2α2一α3=β知即，γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，则η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关。于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，则n一r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1,α2线性无关，故r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2。所以必有r(A)=2，从而n一r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系。所以应选B。9、设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：根据线性方程组解的结构性质，易知2α1一(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一个非零解，所以应选C。10、已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是()A、k1α1+k2(α1+α2)+B、k1α1+k2(α1一α2)+C、k1α1+k2(β1+β2)+D、k1α1+k2(β1一β2)+标准答案：B知识点解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确。对于选项D，虽然β1一β2是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B。事实上，对于选项B，由于α1，α1一α2与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，α1一α2也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确。二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、设，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是___________。标准答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2为任意常数知识点解析：因为矩阵A的秩是2，所以｜A｜=O，且r(A*)=1。再由A*A=｜A｜E=O可知，A的列向量为A*x=0的解，因此A*x=0的通解是A*x(1，4，7)T+k2(2，5，8)T。12、设A是秩为3的5×4矩阵，α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组Ax=b的通解是___________。标准答案：(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T，k为任意常数知识点解析：由于r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4一r(A)=1个解向量。又因为(α1+α2+2α3)一(3α1+α2)=2(α3一α1)=(0，一4，一6，一8)T是Ax=0的解，所以其基础解系为(0，2，3，4)T，由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，可知(α1+α2+2α3)是方程组Ax=b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T。13、设(1，1，1)T，(2，2，3)T均为线性方程组的解向量，则该线性方程组的通解为___________。标准答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R知识点解析：该线性方程组的系数矩阵为。已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵A不满秩，也即r(A)＜3，又因为A的一个二阶子式所以r(A)≥2.故r(A)=2.因此导出组Ax=0的基础解系中含有1个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3)T一(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基础解系。故原方程组的通解为k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。14、设n阶矩阵A的秩为n一2,α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为___________。标准答案：α1+k1(α2一α1)+k2(α2一α1)，k1，k2为任意常数知识点解析：α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则α2一α1，α3一α1是Ax=0的两个非零解，且它们线性无关。又n—r(A)=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为α1+k1(α2一α1)+k2(α2一α1)，k1，k2为任意常数。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)设n元线性方程组Ax=b，其中15、当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；标准答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an。当a≠0时，Dn≠0，方程组有唯一解。将A的第一列换成b，得行列式为所以由克拉默法则得知识点解析：暂无解析16、当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。标准答案：当a=0时，方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n—1，所以方程组有无穷多解，其通解为x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析设17、计算行列式｜A｜；标准答案：知识点解析：暂无解析18、当实数a为何值时，方程组Ax=b有无穷多解，并求其通解。标准答案：对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得要使原线性方程组有无穷多解，则有1一a4=0且一a一a2=0，即a=一1。当a=一1时，可知导出组的基础解系为(1，1，1，1)T，非齐次方程的特解为(0，一1，0，0)T，故其通解为(0，一1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析19、设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C。标准答案：令则由AC—CA=B得该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当a=一1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC—CA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为即(其中c1，c2为任意常数)。知识点解析：暂无解析20、设线性方程组为问k1与k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时，求其通解。标准答案：①当k2≠1时，r(A)=3≠r(B)=4，方程组无解；②当k2=1时，r(A)=r(B)=3＜4，方程组有无穷多解，且综上，当k1≠2时，方程组有唯一解；当k1=2且k2≠1时，方程组无解；当k1=2且k2=1时，方程组有无穷多解，且通解为式(*)。知识点解析：暂无解析21、已知线性方程组问：a、b为何值时，方程组有解，并求出方程组的通解。标准答案：知识点解析：暂无解析22、设η1，…，ηk是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，…，ks为实数，满足k1+k2+…+ks=1。证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组的解。标准答案：由于η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，故有Aηi=b(i=1，…，s)。因为k1+k2+…+ks=1，所以Ax=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs，=b(k1+…+ks)=b，由此可见x也是方程组的解。知识点解析：暂无解析23、设α1,α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1+t2，β2=t2+t23，…，βs=t1s+t21，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。标准答案：因为βi(i=1，2，…，s)是α1,α2，…，αs的线性组合，且α1,α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。从α1,α2，…，αs是As=0的基础解系知s=n—r(A)。以下分析β1β2，…，βs线性无关的条件：设k1β2+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2k2)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α2+…+(t2kt-1+t1ks)αs=0，由于α1,α2，…，αs线性无关，所以又因系数矩阵的行列式当t1s+(一1)s+1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠±t2，或当s为奇数且t1≠一t2时，β1β2，…，βs线性无关。知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第5套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设α1,α2,α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，C表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：本题考查非齐次线性方程组通解的结构，所涉及的知识点是(1)非齐次线性方程组通解为其对应齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解．(2)非齐次线性方程组两个解的和被2除仍是非齐次线性方程组的解．(3)非齐次线性方程组两个解的差是其对应的齐次线性方程组的解．由于r(A)=3，故线性方程组Ax=0的基础解系含有解向量的个数为4一r(A)=1．又A=α1=b，Aα2=b，Aα3=b，有即是Ax=0的解．根据Ax=0的解的结构理论，知C为Ax=b的通解．2、设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是()A、A的列向量线性无关．B、A的列向量线性相关．C、A的行向量线性无关．D、A的行向量线性相关．标准答案：A知识点解析：本题考查齐次线性方程组仅有零解的条件．由于Ax=0仅有零解的充分条件是r(A)=n，即A的列向量组的秩等于n，故应选A．3、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)c=0()A、当n＞m时仅有零解．B、当n＞m时必有非零解．C、当m＞n时仅有零解．D、当m＞n时必有非零解．标准答案：D知识点解析：本题考查齐次线性方程组仅有零解的条件和矩阵的秩的性质．要求考生掌握：(1)对于m阶矩阵AB，若r(AB)=m，则(AB)x=0仅有零解；若r(AB)＜m，则(AB)x=0必有非零解．(2)矩阵的秩的公式：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，r(Am×n)≤min{m，n}．当m＞n时，r(A)≤n4、要使都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为()A、(一2，1，1)．B、C、D、标准答案：A知识点解析：本题考查线性方程组解的概念和齐次线性方程组的系数矩阵的秩与基础解系中解向量个数的关系．由于ξ1，ξ2都是Ax=0的解，且ξ1，ξ2线性无关，所以r(A)≤1，又ξ1，ξ2满足由选项A中所确定的方程组Ax=0，故应选A．5、设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下面结论正确的是()A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．标准答案：D知识点解析：本题考查非齐次线性方程组Ax=b解的存在性和与其对应的齐次线性方程组Ax=0解的关系．注意到Ax=0有解，而Ax=b不一定有解．对于A、B两种情形，由题设条件不能判定方程组Ax=b的系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等，无法确定方程组Ax=b是否有解．又若Ax=b有无穷多个解，则其解应为Ax=0的基础解系的线性组合与Ax=b的一个特解之和，若Ax=b有无穷多个解，则r(A)=r(A，b)＜n，而当r(A)＜n时，方程组Ax=0有非零解，所以C不正确，故选D．6、设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若，则线性方程组()A、Ax=α必有无穷多解．B、Ax=α必有唯一解．C、仅有零解．D、必有非零解．标准答案：D知识点解析：本题考查线性方程组有解的判定方法．所涉及的知识点是(1)对于齐次线性方程组Ax=0，若｜A｜≠0，则Ax=0仅有零解，若｜A｜=0，则Ax=0有非零解．(2)对于非齐次线性方程组Ax=b有唯一解r(A)=r(Ab)=r=n，Ax=b有无穷多解r(A)=r(Ab)=r＜n，Ax=b无解r(A)≠r(Ab)．若必有非零解．因而选D．选项C错．又当｜A｜≠0，α=0时，选项A错；当｜A｜=0，α=0时，选项B错．7、设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有()A、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．B、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．标准答案：A知识点解析：本题考查齐次线性方程组解的概念及相关理论．显然(I)的解是(Ⅱ)的解．设x0是(Ⅱ)的解，则有ATx0=0，在该式两边左乘x0T，得x0TATAx0=0，即(Ax0)TAx0=0，从而‖Ax0‖=0．于是Ax0=0，即(Ⅱ)的解是(I)的解．故选A．8、设A为4×3矩阵，η1，η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：本题考查线性方程组解的性质和非齐次线性方程组解的结构．要求考生掌握：(1)非齐次线性方程组两个解的差是对应齐次线性方程组的解。(2)非齐次线性方程组的通解是其对应齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解．由于η2一η1，η3一η1都是Ax=0的解，且可证明η2一η1，η3一η1线性无关，所以基础解系解向量的个数为3一r(A)≥2，于是r(A)≤1，又A≠O，所以r(A)≥1，故r(A)=1，从而Ax=0的基础解系解向量的个数为2，因此A、B不选．而都是Ax=0的解，所以D不选，由非齐次线性方程组通解的结构知+k1(η2一η1)+k2(η3一η1)是Ax=β的通解．故选C．9、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系()A、不存在．B、仅含有一个非零解向量．C、含有两个线性无关的解向量．D、含有三个线性无关的解向量．标准答案：B知识点解析：本题考查齐次线性方程组基础解