【专项精练】第23课 降幂及辅助角公式-2024年新高考数学分层专项精练（解析版）

第23课降幂及辅助角公式（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式可求得的值.【详解】由题意可得，因此，.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知及所求，先利用二倍角公式及三角函数的基本关系得到，然后利用角的拆分以及两角差的正弦公式即可得解.【详解】解：由已知可得，，，，.故选：A.3．（2013·浙江·高考真题）函数ƒ(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是（

）A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2【答案】A【分析】利用三角恒等变换化简，再求最小正周期和振幅即可.【详解】ƒ(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，所以振幅为1，最小正周期为T＝＝＝π，故选：A．【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及其性质的求解，属综合基础题.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的图象在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式化简可得，根据x的范围，可求得的范围，根据题意，分析可得，计算即可得答案.【详解】由题意得，因为，所以，因为有且只有1个最低点，所以，解得.故选：D二、多选题5．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考期末）若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．1【答案】AC【分析】整理换元之后，原问题转化为在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.作出简图，数形结合可得结果.【详解】整理可得，令，因为，则.所以在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.由图可知，或，解得或.故选：AC.6．（2023春·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考期中）已知函数，则（

）A．与均在单调递增B．的图象可由的图象平移得到C．图象的对称轴均为图象的对称轴D．函数的最大值为【答案】AD【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称性、换元法逐一判断即可.【详解】，当时，，，显然、都是的子集，所以函数与均在单调递增，因此选项A正确；函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，因为左右、上下平移不改变正弦型函数的最小正周期，故选项B不正确；由，所以函数的对称轴为，函数的对称轴为，显然当为奇数时，图象的对称轴不为图象的对称轴，因此选项C不正确；令，所以，因为，所以当时，该函数有最大值，因此选项D正确，故选：AD7．（2022春·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的周期为 B．函数的最大值为2C．在区间上单调递增 D．是函数的一个零点【答案】ACD【分析】根据题意得，显然最大值为；代入计算周期；，则结合正弦函数判断单调性；直接代入计算判断零点．【详解】函数的周期为，A正确；函数的最大值为，B不正确；∵，则，则在上单调递增，C正确；，D正确；故选：ACD．三、填空题8．（2019·山东临沂·统考一模）已知．【答案】【分析】根据降幂公式，化简；将两边平方，化简即可求得，代入式中即可求值．【详解】因为两边同时平方得即由降幂公式可知【点睛】本题考查了降幂公式与同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基础题．9．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）若，则．【答案】【分析】利用降幂公式，将所求式子化简，再结合已知条件，即可求出答案.【详解】解：由降幂公式得：，又∵∴.故答案为：【点睛】本题考查了降幂公式和诱导公式，属于基础题.四、解答题10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，(1)求的值及函数的对称轴方程；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．【答案】(1)，对称轴方程为：；(2).【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1），，因为函数的两个相邻零点间的距离为，所以函数的最小正周期为，因为，所以，即，令，所以对称轴为；（2）由，因为，所以，因为，所以由正弦定理可知：，所以三角形的周长为，，因为，所以，因此，所以周长的取值范围为.【二层练综合】一、单选题1．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.【详解】.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象，则图象的一个对称中心为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过降幂公式以及辅助角公式将化为，通过平移规律可得的解析式，再根据正弦函数的性质可得结果.【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得函数，令，得，令，得，所以图象的一个对称中心为，故选：B.二、多选题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若曲线经过点，且关于直线对称，则（

）A．的最小正周期为 B．C．的最大值为2 D．在区间上单调递增【答案】ABD【分析】由题知，进而得，，再结合题意得，进而再讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为曲线关于直线对称，所以，即，解得，所以，，所以，的最小正周期为，故A选项正确；因为曲线经过点，所以，解得，所以，，故B选项正确；所以，的最大值为，故C选项错误；当时，，所以在区间上单调递增，故D选项正确.故选：ABD三、解答题4．（2023春·山东淄博·高一校考期中）已知函数的最小正周期为8．(1)求的值及函数的单调减区间；(2)若，且，求的值．【答案】(1)，[](k∈Z)；(2)．【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；(2)由求出，在结合求出，最后利用正弦的和角公式求﹒【详解】（1）由已知可得，，∵的最小正周期，∴，∴，由得，∴f(x)的单调递减区间为[](k∈Z)；（2）∵，由(1)有，即，由，知；∴，故﹒【三层练能力】一、多选题1．（2023春·高一单元测试）已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（

）A．为函数的一个周期 B．函数的值域为C．函数在上单调递减 D．函数在内有4个零点【答案】CD【分析】A选项，举出反例即可；BD选项，从函数奇偶性和得到周期性入手，得到函数的图象性质，得到零点和值域；C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.【详解】选项A：因为，所以A错误；选项B、D：函数定义域为R，并且，所以函数为偶函数；因为，为周期函数，故仅需研究函数在区间上的值域及零点个数即可，因为时，；时，；当时，令，则，可得且仅一个零点；当时，令，则，可得且仅一个零点；所以函数的值域为且在上有4个零点．故选项