2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程专题五

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--高考解析几何复习专题五知识点一求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数典例1、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．

随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．典例2、已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．

随堂练习：已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左､右焦点分别为，，且到的一条渐近线的距离为1.（1）求的标准方程；（2）若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求.典例3、已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程与离心率；（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．

随堂练习：在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，过焦点垂直于实轴的弦长为．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.知识点二直线与抛物线交点相关问题,根据韦达定理求参数典例4、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点.（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值.

随堂练习：已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点．（1）若直线与抛物线的准线相交于点，且，求直线的方程；（2）若直线不过原点，且，求的周长．

典例5、已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．（1）当l的倾斜角为时，若，求；（2）设点，且，求l的方程．

随堂练习：已知抛物线的焦点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，．（1）求的取值范围；（2）若，点的坐标为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与轴交于点，求的取值范围．典例6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.（1）若，求直线l的斜率；（2）若，证明：为定值.

随堂练习：已知抛物线的焦点为．（1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列．人教A版数学--高考解析几何复习专题五答案典例1、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）不妨设,因为,从而故由,又因为,所以,

又因为在圆上,所以

所以双曲线的标准方程为：（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为由于动直线与双曲线恰有1个公共点,且与双曲线的两条渐近线分别交于点,当动直线的斜率不存在时,,，,当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,故由

依题意，且,化简得,

故由,同理可求,,

所以又因为原点到直线的距离,

所以,又由所以,

故的面积是为定值,定值为随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离为．因为双曲线C的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为．（2）设，，联立，得，，所以，．由，解得t＝1（负值舍去），所以，．直线l：，所以原点O到直线l的距离为，，所以△OAB的面积为．典例2、答案：（1）；（2）证明见解析．解：（1）由题意得，，解得所以双曲线的方程为：（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，设，，联立，整理可得，所以所以直线与双曲线右支有两个交点，所以所以，设，所以随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）双曲线的离心率为：故椭圆的离心率为：双曲线的一条渐近线方程为：设的坐标为：，则，解得又，解得，故椭圆的标准方程为：（2）联立方程组：解得：，即点坐标为：直线的斜率为：则直线的方程为：联立方程组：解得：或即点坐标为，点到的距离为联立方程组：解得：或即点坐标为，点到的距离为则，即典例3、答案：（1），离心率为（2）解：（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，则因为一条渐近线方程为，所以，又，解得，，所以双曲线的标准方程为，离心率为．（2）设直线：，，，联立则，所以，由解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面积为随堂练习：答案：（1）（2）或解：（1）过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将代入双曲线，得，则①，又C的一条渐近线方程为，则②，由①②解得，，所以双曲线C的方程为．（2）显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为．联立，整理得，于是得则，同理可得，因为整理得，解得．即或（满足）．考虑到，只需分以下两种情形：①当OA、OB的斜率为、时，结合得或，同理可得或，于是由点、，据直线的两点式方程并化简可得AB方程，同理可得AB的方程为或或．②同理，当OA、OB的斜率为、时，直线AB的方程为，或或或综上，直线AB的方程为或典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12.解:（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，因为x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，则S1|PF||y1﹣y2|2，因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0，但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为，因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x﹣2），即mx+y﹣2m＝0，联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4，x3x4＝4，则y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），因此|y3﹣y4|＝|m||x3﹣x4|＝|m||m|，所以S2|PF||y3﹣y4|1，所以S1S2＝2444412，当且仅当2m2即m＝±1时等号恒成立，所以S1S2的最小值为12.随堂练习：答案：（1）；（2）.解:（1）由抛物线可知，准线为，设直线的方程为，则点的坐标为，联立方程，消去后整理为，又由，可得，由点的坐标为，有，解得或（舍去），故直线的方程为．（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，联立方程，消去后整理为，可得，，又由，可得．又由，，可得，得（舍去）或．由，可得，，所以，，故的周长为．典例5、答案：（1）（2）或解：（1）当l的倾斜角为时，l的斜率为1，又，所以直线，将代入，得，即，设，，则，，根据抛物线的几何性质可知，，，因为，可知，，所以．（2）当轴时，，，，此时PA不垂直于PB．当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则直线，将代入，得，即，．设，，则，，又，，，所以，即，所以，化简有，解得，所以l的方程为或．随堂练习：答案：（1）（2）解:（1）依题意，设直线为，代入得，其判别式为，∴．设，为交点，∴，．∵焦点的坐标为，∴，．∵，∴，∴，∴或．∵成立．∴．（2）若，则，设点，为直线、直线与抛物线的交点．设直线为，代入得，∴，∴，同理可得，∴点和的坐标分别为，．又∵在直线上，∴，共线，∴，∴．∵，∴，∴，设，∴在时恒成立，∴在单调递增，∴的取值范围为．典例6、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）设，因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，设直线l为，联立与得：，则，，因为，所以，故，解得：，当时，，此时，解得：，直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，当时，，此时，解得：，直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，综上：直线l的斜率为；（2）设，因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不