2024年广东省广州市越秀区初三一模数学试题含答案解析

试题PAGE1试题试题PAGE2试题2024年广东省广州市越秀区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的相反数是（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可．【详解】解：的相反数是2．故选B．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．3．如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移的性质可知，再由，可得出的长，进而可得出结论，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．【详解】解：将沿方向平移到，，，，，平移距离为3．故选：B．4．石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（

）米．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.3纳米米米．故选：D．5．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．【详解】解：A．无法变形，故此选项不合题意；B．，故此选项不合题意；C．，故此选项不合题意；D．，故此选项符合题意．故选：D．6．关于函数，下列结论成立的是（

）．A．函数图象经过点 B．随的增大而增大C．当时， D．函数图象不经过第一象限【答案】C【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A选项；根据一次函数的增减性，即可判断B选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C选项；根据一次函数的系数，即可判断D选项．【详解】解：A．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意；B．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意；C．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意D．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意；故选：C．7．如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为（

）A．0 B．2 C． D．【答案】A【分析】本题考查了正方体的展开图形，代数式求值，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：“y”所在面与“3”所在面相对，“z”所在面与“”所在面相对，“x”所在面与“8”所在面相对，则，解得：，，，，故选：A．8．某班35位同学课外阅读物的数量统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（

）．课外阅读物的数量人数■■A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数【答案】D【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键；根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：，则这组数据中出现次数最多的数9，即众数9，与遮盖的数据无关；，第个数据为，则中位数为，与被遮盖的数据无关；故选：D．9．如图，点为矩形边的中点，点为边上一点，且，若，，则的长为（

）．A．10 B． C．12 D．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据矩形的性质，先证明，得到，，再证明，得到，即可求出的长．【详解】解：如图，过点作于点，连接，四边形是矩形，，，，，在和中，，，，，点为的中点，，在和中，，，，，故选：C10．已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：…0123……11…若，则下列结论：①；②若方程的两个实数根为、，则；③；④的最大值为．其中正确的结论是（

）．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．先得出抛物线对称轴为，进而得到，再根据时的函数值，得出，再分别表示出、，列出不等式组求出的取值范围，即可判断结论；根据一元二次方程根和系数的关系，即可判断结论；根据，，即可判断③结论；根据抛物线的对称性可得，即可判断④结论．【详解】解：由表格可知，抛物线对称轴为，，，当时，，，，，，，，或，解得：或，①结论错误；若方程的两个实数根为、，则，②结论正确；，，，③结论正确；根据抛物线的对称性可得，当和时的函数值相等，，，，④结论错误；即正确的结论是②③故选：B二、填空题11．若代数式有意义，则x的取值范围是．【答案】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：根据题意知，解得：，故答案为：．12．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是．【答案】16【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4，布袋中红球的个数大约是（个；故答案为：16．13．分式方程的解是．【答案】x=-1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：x-1=2x，解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的解，故答案为：x=-1．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，，则高为．（参考数据：，，）【答案】10.2【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形函数的应用是解题关键．首先根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形函数计算的长度即可．【详解】解：∵，，为边上的高，∴，∵，∴在中，可有，∴．故答案为：10.2．15．如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则．【答案】/【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，推出是直角三角形是解题关键．连接、，根据菱形好轴对称的性质，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理，推出是直角三角形，再求正弦值即可．【详解】解：如图，连接、，四边形是菱形，，，，点和点关于对称，，，，的周长，的周长最小值为6，，，，，，是直角三角形，，，，故答案为：16．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．

（1）外接圆的直径的最小值是；（2）内切圆的半径的最大值是．【答案】//0.2【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键．（1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解；（2）令，，,内切圆半径为，则，由相似三角形可得，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，进而即可求解【详解】解：（1）为直角三角形，外接圆直径为斜边的长，当时，作为外接圆的直径最小，如图，，，，，，设，则，，解得：，，故答案为：

（2）令，，,内切圆半径为，则，，，，，，，即，∴，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴故答案为：三、解答题17．解方程：．【答案】【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解．【详解】解：，去分母得，，移项得，，解得：．18．如图，线段与相交于点，，，求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等并结合已知条件可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．【详解】证明：∵，∴，在和中，,∴，∴．19．已知：．(1)化简；(2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握相关运算法则是解题关键（1）先将除法化为乘法约分，再通分计算减法即可；（2）根据一元二次方程根的判别式，求得或，再结合分母不为0，得到，代入计算求出的值即可．【详解】（1）解：；（2）解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得：或，，，，20．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，四边形是平行四边形，反比例函数过点，且与边交于点．(1)求反比例函数的解析式；(2)若点为边的中点，求直线的解析式．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据平行四边形的性质可知，点的纵坐标相同为3，求得，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可．【详解】（1）解：反比例函数过点，，反比例函数解析式为：；（2）解：四边形是平行四边形，,点的纵坐标相同为3，点为边的中点，点的纵坐标为0，点的纵坐标为，当时，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为：．21．“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：年龄分组/岁频数15254020(1)参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；(2)某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．【答案】(1)43(2)【分析】本题考查了加权平均数，列表法或树状图法求概率．（1）根据加权平均数的定义列式计算即可；（2）根据题意画出树状图，再利用概率公式求解即可．【详解】（1）解：参与义诊活动的市民平均年龄为岁，故答案为：43（2）解：画树状图如下：由树状图可知，共有种情况，其中两名医生恰好都是女医生的情况有6种，即抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为．22．人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元．(1)求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？(2)若该科创公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？【答案】(1)购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；(2)该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．（1）设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，根据“购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；（2）设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，根据“购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍”列不等式，求出的取值范围，令购买芯片所需资金为，根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．【详解】（1）解：设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，由题意得：，解得：，答：购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；（2）解：设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，由题意得：，解得；，令购买芯片所需资金为，则，，随的增大而增大，当时，最小，最小值为万元，万片，答：该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元23．如图，为内接四边形，为的直径，，点为上一点，且．

(1)求作点，连接，延长，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，连接．①求证：为等腰三角形；②若，，求弦的长．【答案】(1)详见解析(2)①详见解析；②【分析】利用垂径定理的性质可作的垂直平分线交圆O与点E，即可得解；①如图，连，利用圆周角定理证出，，由四边形为圆内接四边形证出，进而可证出，即可得解，②先证出，再由勾股定理得出，由得出比值，代入计算即可得解．【详解】（1）如图，作的垂直平分线交圆O与点E，点E即为所求作的点，

（2）①如图，连，，

∵，为直径，∴，∴，∴，，∴，∵四边形为圆内接四边形，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴为等腰三角形；②∵所对的圆周角为，∴，∵，∴，由①知，，∴，∴，∵，∴，∵为直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．

【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．24．已知抛物线经过点．(1)用含的式子表示；(2)当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标；(3)若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，三角形的外接圆，同弧所对的圆周角相等；（1）把点代入抛物线，即可求解；（2）先求得的坐标，进而得出是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出得出是等腰直角三角形，即可求解；（3）根据在该抛物线上，则，由当时，总有，分点在之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：把点代入抛物线，得，，解得：；（2）解：∵，∴，当时，则，解得：或；又∵点在点的左侧，∴，，当时，则，即，∴当时，，∴是等腰直角三角形，∴，∵的外接圆与轴交于另一点，∴，即是等腰直角三角形，∵，则，根据圆的对称性可得：；

（3）解：