新高考数学二轮复习巩固练习11 导数解答题之极最值问题（解析版）

微专题11导数解答题之极最值问题【秒杀总结】1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．【典型例题】例1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为非零常数），记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的最大值；(2)当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，证明：SKIPIF1<0且所有点SKIPIF1<0在一条定直线上；(3)若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都存在极小值，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在定直线SKIPIF1<0上运动；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均存在极小值，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0不存在极小值，舍去，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0存在极小值，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零点SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0存在极小值，当SKIPIF1<0时，考察SKIPIF1<0极值情形，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0上单调递减；SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零点SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，符合条件，综上：实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.例2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调区间；(3)设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在极值点，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）若SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线的斜率为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0,则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线的方程为SKIPIF1<0.（2）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时,由SKIPIF1<0,且此时SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0为减函数，令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0为增函数，所以函数SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0，无单调增区间，当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，无单调增区间，当SKIPIF1<0时,由SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0.即当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0，无单调增各区间，③当SKIPIF1<0时,此时SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,但SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0为减函数;令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0为增函数.所以函数SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0时，单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，单调减区间为SKIPIF1<0，无单调增各区间，SKIPIF1<0时，单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0.（3）①当SKIPIF1<0时,由（2）问可知,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数,所以不存在极值点;②当SKIPIF1<0时,由（2）可知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数,在SKIPIF1<0上为减函数.若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在极值点,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.综上所述,当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在极值点.例3．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求证；函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴相切于原点；(2)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0各恰有一个极值点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴相切于坐标原点.（2）先证明不等式SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，也是最小值，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为减函数，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0无极值点；当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以必存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有一个极小值点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以总存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0有一个极小值点SKIPIF1<0，所以若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0各恰有一个极值点，综上：实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.若函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，且不等式SKIPIF1<0恒成立，试求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，又因为函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有两个不等正实数根SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，二次函数SKIPIF1<0图象对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，由不等式SKIPIF1<0恒成立,可得SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0恒成立，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，例5．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．(1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞），SKIPIF1<0，当a≤0时，SKIPIF1<0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当0＜a≤e时，令SKIPIF1<0，则ex﹣ax＝0，设g（x）＝ex﹣ax，则SKIPIF1<0，易知，当0＜x＜lna时，SKIPIF1<0，g（x）单调递减，当x＞lna时，SKIPIF1<0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在（0，+∞）上单调递增；综上，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）依题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相除得，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则t＞1，x2＝tx1，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在（1，+∞）单调递增，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则h（t）在（1，+∞）单调递增，又x1+x2≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3，∴t∈（1，3]，即SKIPIF1<0的最大值为3．例6．（2023·重庆·统考一模）已知函数SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的零点个数；(2)当SKIPIF1<0时，记SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）因为函数SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增;所以SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0恒成立,所以SKIPIF1<0零点的个数为0个.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0零点的个数为1个当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0零点的个数为1个当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为增函数，故SKIPIF1<0.所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由零点存在定理可得此时SKIPIF1<0零点的个数为2个（2）当SKIPIF1<0时,由(1)知SKIPIF1<0有唯一零点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递减;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递增.则SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递增;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递减;所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0例7．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0在定义域上单调递增,求SKIPIF1<0的最大值;(2)若函数SKIPIF1<0在定义域上有两个极值点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）解:由题知SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0在定义域上单调递增,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,记SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递减,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递增,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0的最大值为2;（2）因为SKIPIF1<0在定义域上有两个极值点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在定义域上有两个不相等的实根SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,故有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0有两个不相等的实根SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,移项可得:SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.例8．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0恒成立；(2)令SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的极值点个数．【解析】（1）证明：由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减,∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,①当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0有一个变号零点故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一个极值点；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此时单调递增，SKIPIF1<0在这一区间内无极值点；③当SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所从SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有1个变号零点，所以SKIPIF1<0有1个极值点；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递增，所以SKIPIF1<0这一区间内无极值点，结合③④可知SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0的一个极值点，综上SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有3个极值点.【过关测试】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，其中a为大于0的常数，若SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得极小值，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）SKIPIF1<0，求导SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在R上单调递增；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在R上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；（2）由（1）知，当SKIPIF1<0时，不符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，即求SKIPIF1<0求导SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，即最小值SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的所有零点；(2)若SKIPIF1<0，证明函数SKIPIF1<0不存在极值．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当x＞1时，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号）．即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号）．所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，至多有一个零点．因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0唯一的零点．所以若SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的所有零点只有1．（2）证明：因为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．当aSKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0．即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．所以SKIPIF1<0不存在极值．证法2：因为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同号．当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．由（1）知SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在定义域上单调递增．所以SKIPIF1<0不存在极值．3．（2023·四川内江·统考一模）已知函数SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，求f（x）的单调递增区间：(2)若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，所以函数的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0恰有两个极值点，所以方程SKIPIF1<0有两个不相等的实根，设为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0图象关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0分别是函数的极大值点和极小值点，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时，函数有最小值，即SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0为常数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在定义域内有两个极值点.（1）求SKIPIF1<0的取值范围；（2）设函数SKIPIF1<0的两个极值点分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的范围.【解析】(1)函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0在定义域内有两个极值点，则SKIPIF1<0有二不等的正实根SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0；(2)由(1)知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0.5．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的极值；(2)设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的唯一极值点，求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0递减；在区间SKIPIF1<0递增.所以SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，无极大值.（2）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，不符合题意.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0递减；在区间SKIPIF1<0递增.所以SKIPIF1<0的极小值点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0有两个零点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，对于函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0递减；在区间SKIPIF1<0递增.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.则SKIPIF1<0，所以不妨设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0．①求m的取值范围；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，减区间是SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，减区间是SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有两个变号零点，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单增，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0即可，所以SKIPIF1<0；②由已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，又因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，由洛必达法则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0.7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数SKIPIF1<0有两个极值点SKIPIF