直线与椭圆的位置关系

课题：直线与椭圆位置关系的探究数学专业2011040105黄桂林设计理念：用类比的思想，从直线与圆的位置关系中得到直线与椭圆的位置关系，并类比证明结论。教材分析：<<直线与椭圆的位置关系>>是解析几何中的重要内容之一,又是代数和几何衔接的枢纽,揭示了客观世界中相互依存又相互制约的关系．因而直线与椭圆的位置关系渗透了数形结合的思想．在新课程数学教学有着不可代替的作用．学情分析：学生为重点学校的重点班学生，基础较好，接受能力较强，自我探究能力较好，所以本节课以学生为主体，启发学生进行自我探究，类比直线与圆的位置关系而得出结论。教学目标：知识目标：能从“数”和“形”判断直线和椭圆的位置关系．能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力．情感目标：通过对直线和椭圆的位置关系的探究，激起学生学习和研究数学的兴趣．教学重点与难点：重点：利用“代数”或“几何”的方法探究直线和椭圆的位置关系；难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系．教学过程：复习引入：问题：直线与圆的位置关系有哪几种？怎么判断它们之间的位置关系？几何法：d>rd=rd<r代数法：∆<0∆=0∆>0讲授新课：问题：椭圆与直线的位置关系有几种呢？问题：怎么判断它们之间的位置关系？方法（1）：消去(或)得到一个关于(或)的一元二次方程：（或），,由∆<0得直线与椭圆相离（没有公共点），∆=0得直线与椭圆相切（有且只有一个公共点），由∆>0直线与椭圆相交（有两个公共点）．（类比直线与圆的位置关系判定的代数法）习1：已知椭圆，一组平行直线的斜率是1，当直线在轴上的截距满足什么条件时分别与椭圆相交，相切，相离？习2：直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围．特别地，对于直线与椭圆相交的判定，除了由∆>0判定以外，还可由直线过椭圆内一点判定．例：已知直线，椭圆C：的两焦点为，求以为焦点，且与有公共点的椭圆中长轴最短的椭圆的方程.解法1：,设椭圆的方程为．原题化为求最小时的方程．由得,因为直线与椭圆有公共点，所以解得或(舍去)，因此最小值为45，此时的方程为．分析：按照椭圆的定义，椭圆的长轴为，原题转化为求最小时的椭圆的方程，因为M是椭圆与的公共点，故又转化为在定直线上找一点M，使之到两定点的距离之和最小.解法2：，设关于直线的对称点为，求得由题意椭圆的长轴为,所以,的方程为.容易判断满足条件的椭圆与直线相切(用“△”法)，结合解法2，我们发现，此时椭圆的长轴为，恰好与相等，由特殊到一般，对任意的椭圆，直线设椭圆C的两焦点为,关于直线的对称点为，当时直线与椭圆C是否相切呢？若或时呢?不妨同直线与圆的位置关系的判断方法作类比：把同圆心到直线的距离d类比，把同圆的半径类比，猜想：方法（2）椭圆C的两焦点为,关于直线的对称点为(1)时，直线与椭圆C相交；(2)时，直线与椭圆C相切；(3)时，直线与椭圆C相离．证明：（略）习题1.小结：判断方法1：（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）∆<0∆=0∆>0这是求解直线与二次曲线有关问题的通法．判断方法2：关于直线的对称点为(1)时，直线与椭圆C相交；(2)时，直线与椭圆C相切；(3)时，直线与椭圆C相离．板书设计：直线与椭圆的位置关系的探究判断方法1：例：已知直线，椭圆C：（1）联立方程组的两焦点为，求以（2）消去一个未知数为焦点，且与有公共点的椭（3）∆<0∆=0∆>0圆的方程。这是求解