2021年八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典习题答案解析1剖析

一、选择题1．若，，则的值是（）A． B． C．1 D．9A解析：A【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：∵x+y=2，xy=-1，∴（1-2x）（1-2y）=1-2y-2x+4xy=1-2（x+y）+4xy=1-2×2-4=-7；故选：A．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．计算的值（）A．2 B． C． D．D解析：D【分析】将原式变形为，再利用同底数幂的乘法逆运算变为，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可．【详解】解：原式======1×=故选：D．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算是解题的关键．3．已，那么（）A．10 B．15 C．72 D．与x，y有关C解析：C【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.【详解】a2x+3y=(ax)2(ay)3=3223=98=72，故选：C【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键.4．=1，b是2的相反数，则a+b的值是（）A．1 B．-3 C．-1或-3 D．1或-3C解析：C【分析】根据平方及相反数定义求出a、b的值，代入a+b计算即可．【详解】∵=1，b是2的相反数，∴，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1，当a=-1时，a+b=-1-2=-3，故选：C．【点睛】此题考查求代数式的值，根据平方及相反数定义求出a、b的值是解题的关键．5．已知、、，则的值为（）A．7 B．9 C．-63 D．12C解析：C【分析】由与两式相加可得，由与两式相加得，即，然后整体代入求解即可．【详解】解：由与两式相加可得，由与两式相加得，即，∴；故选C．【点睛】本题主要考查求代数式的值，关键是根据题意利用整体思想进行求解．6．数是（ ）A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数C解析：C【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．【详解】，∴N是12位数，故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．7．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．B解析：B【分析】由，，，比较的大小即可．【详解】解：∵，，，，∴，即，故选B．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算及数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．8．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是()A． B． C． D．A解析：A【分析】根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．【详解】A、，能用平方差公式分解因式；B、，不能用平方差公式分解因式；C、，不能用平方差公式分解因式；D、，不能用平方差公式分解因式；故选：A．【点睛】此题考查平方差公式：，掌握公式中多项式的特点是解题的关键．9．下列各式运算正确的是（）A． B． C． D．D解析：D【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A、a2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确．故选：D．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．10．下列运算正确的是（）A． B．C． D．B解析：B【分析】根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式依次计算判断．【详解】A、，故该项错误；B、，故该项正确；C、，故该项错误；D、，故该项错误；故选：B．【点睛】此题考查整式的计算法则，正确掌握整式的同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式是解题的关键．二、填空题11．如果的值为，则的值为_____．7【分析】把所求代数式整理成已知条件的形式然后整体代入进行计算即可得解【详解】解：∵2a-3b=-1∴3b-2a=1∴=2+5=7故答案是：7【点睛】本题考查了代数式求值整体思想的利用是解题的关键解析：7【分析】把所求代数式整理成已知条件的形式，然后整体代入进行计算即可得解．【详解】解：∵2a-3b=-1，∴3b-2a=1，∴=2+5=7，故答案是：7．【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．12．若，则_______________________．36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可【详解】解：∵∴=2²×3²=36故答案为36【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用熟记幂的运算性质是解答本题的关键解析：36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可．【详解】解：∵，∴=2²×3²=36，故答案为36．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．13．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么＝_______，＝_______．kn+1010【分析】根据h（m+n）=h（m）•h（n）通过对所求式子变形然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题【详解】解：∵∴===∵===kn•k1010=kn+1010故答案为：kn+101解析：kn+1010【分析】根据h（m+n）=h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．【详解】解：∵，，∴===，∵，===kn•k1010=kn+1010，故答案为：，kn+1010．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．14．已知正实数a，满足，则________．【分析】根据应用完全平方公式求出的值即可求出的值【详解】解：=9=9+2=11故答案为：【点睛】本题考查完全平方公式的应用需要对已知式子平方灵活运用完全平方公式是解决本题的关键解析：【分析】根据，应用完全平方公式，求出的值，即可求出的值．【详解】解：，，，=9，=9+2=11，，，，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，需要对已知式子平方，灵活运用完全平方公式是解决本题的关键．15．已知，，则________．-3【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算变形后将m+n与mn的值代入计算即可求出值【详解】解：∵m+n=2mn=-2∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3故答案为：-3【解析：-3【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵m+n=2，mn=-2，∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．一个长方形的两邻边分别是，，若，则这个长方形的面积是_________【分析】根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论【详解】解：设8-x=ax-2=b∵长方形的两邻边分别是8-xx-2∴a+b=8-x+x-2=6∵(8-x)2+(x-2)2=a2+b2=解析：【分析】根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．【详解】解：设8-x=a，x-2=b，∵长方形的两邻边分别是8-x，x-2，∴a+b=8-x+x-2=6，∵(8-x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=62-2ab=13，∴ab=，∴这个长方形的面积=(8-x)(x-2)=ab=．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．17．分解因式____．a（a+5b）（a-5b）【分析】首先提取公因式a进而利用平方差公式分解因式得出答案【详解】解：a3-25ab2=a（a2-25b2）=a（a+5b）（a-5b）故答案为：a（a+5b）（a-5b）解析：a（a+5b）（a-5b）【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：a3-25ab2=a（a2-25b2）=a（a+5b）（a-5b）．故答案为：a（a+5b）（a-5b）．【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键．18．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．（a+b）2-2ab=a2+b2【分析】利用各图形的面积求解即可【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或

（a+b）2-2ab故可得：

（a+b）2-2ab=a2+b2故答案为：（a+解析：（a+b）2-2ab=a2+b2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或

（a+b）2-2ab，故可得：

（a+b）2-2ab=a2+b2故答案为：（a+b）2-2ab=a2+b2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．19．下列说法：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；②若，则的值为7；③若，则a的倒数小于b的倒数；④在直线上取A、B、C三点，若，，则．其中正确的说法有________（填号即可）．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可解析：②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A、B、C三点的位置关系，要画图，分情况讨论．【详解】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；②∵，∴，故②正确；③∵a＞b，取a=1，b=－1，∴，，，故③错误；④当点C位于线段AB上时，AC=AB－BC=5－2=3cm；当点C位于线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm，则AC的长为3cm或7cm，故④错误；综上可知，答案为：②．【点睛】本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．20．如图：一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个半圆，则剩下的钢板面积为______．【分析】先求出圆形钢板的面积再减去两个小半圆的面积即可【详解】解：圆形钢板的面积为：直径为a的半圆面积为：直径为b的半圆面积为：剩下钢板的面积为：=故答案为：【点睛】本题考查了圆的面积利用面积的差求解析：【分析】先求出圆形钢板的面积，再减去两个小半圆的面积即可．【详解】解：圆形钢板的面积为：，直径为a的半圆面积为：，直径为b的半圆面积为：，剩下钢板的面积为：，=，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的面积，利用面积的差求出剩余钢板的面积，注意：圆的面积等于半径的平方乘以π．三、解答题21．某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为500元（不含套餐成本）．试销售一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．（1）若每份套餐售价定为9元，则该店每天的利润为元；若每份套餐售价定为12元，则该店每天的利润为元；（2）设每份套餐售价定为x元，试求出该店每天的利润（用含x的代数式表示，只要求列式，不必化简）；（3）该店的老板要求每天的利润能达到1660元，他计划将每份套餐的售价定为：10元或11元或14元．请问应选择以上哪个套餐的售价既能保证达到利润要求又让顾客省钱？请说明理由．解析：（1）1100元，1740元；（2）当时，利润为；当时，利润为；（3）选择11元，能保证达到利润要求又让顾客省钱．【分析】（1）根据题意，列出算式，即可求解；（2）分两种情况：当时，当时，分别列出代数式，即可；（3）把x=10，11，14分别代入第（2）小题的代数式，即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：（9-5）×400-500=1100（元），（12-5）×[400-（12-10）×40]-500=1740（元），故答案是：1100元，1740元；（2）当时，利润为，当时，利润为；（3）∵当x＝10时，（元），当x＝11时，（元），当x＝14时，（元），∴当x＝11或14时，利润均为1660元．∵11＜14，∴选择11元，能保证达到利润要求又让顾客省钱．【点睛】本题考查的是代数式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系列出代数式．22．已知x、y互为相反数，a、b互为倒数，m是最大的负整数，求（x＋y）﹣abm的值．解析：2【分析】根据相反数和倒数的概念以及数的大小比较法则确定x+y，ab以及m的值，从而代入计算．【详解】解：∵x、y互为相反数，a、b互为倒数，m是最大的负整数，∴x+y=0，ab=1，m=-1∴（x＋y）﹣abm=0-1×（-1）=2．【点睛】本题考查代数式求值，掌握相反数及倒数的概念以及数的大小比较，正确计算是解题关键．23．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因，将左边展开得到，移项可得．（当且仅当时，取“”）数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数，，都存在（当且仅当时，取“”）并进一步发现，两个非负数，的和一定存在着个最小值．根据材料，解答下列问题：（1）________（，）；________（）；（2）求的最小值；（3）已知，当为何值时，代数式有最小值？并求出这个最小值．解析：（1），2；（2）6；（3），最小值为2020【分析】（1）根据阅读材料可得结论；（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；（3）把已知代数式变形为，再利用阅读材料介绍的方法即可得出结论．【详解】解：（1）∵，∴∵∴故答案为：，2（2）∵时，，均为正数，∴∴的最小值是6（3）当时，，，均为正数∴当时，即时，有最小值，∴当时，代数式的最小值是2020．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．24．已知（1）求的值（2）求的值解析：（1）84；（2）25．【分析】（1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得；（2）利用完全平方公式进行变形求值即可得．【详解】（1），，，；（2），，，，．【点睛】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键．25．如果．①填空：______，______．②根据①的结果，求下列代数式的值：（1）；（2）．解析：①4，−1；②（1）13；（2）20【分析】①据多项式乘多项式的运算法则求解即可；②根据完全平方公式计算即可．【详解】①∵（x＋m）（x＋n）＝x2＋（m＋n）x＋mn＝x2＋4x−1，∴m＋n＝4，mn＝−1．故答案为：4，−1；②（1）m2＋5mn＋n2＝（m＋n）2＋3mn＝42＋3×（−1）＝16−3＝13；（2）（m−n）2＝（m＋n）2−4mn＝42−4×（−1）＝16＋4＝20．【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．26．利用乘法公式