艺术生专用2025版高考数学总复习第五章数列第3节等比数列及其前n项和课时冲关

PAGEPAGE1第3节等比数列及其前n项和1．(2024·石家庄市模拟)在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则a6＝()A．28 B．32C．64 D．14解析：B[设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝2，a5＝16，∴a1q＝2，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2.则a6＝25＝32.]2．(2024·沈阳市模拟)已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－aeq\o\al(2,7)＝－64，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a4a6,3)·π))＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．±eq\r(3)解析：B[数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－aeq\o\al(2,7)＝－64＝aeq\o\al(3,3)，则a3＝－4，a7＝±8依据等比数列的性质可得a7＝8舍去，∴a7＝－8，∴a4a6＝a3·a7∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a4a6,3)·π))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,3)π))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋π－\f(π,3)))＝－taneq\f(π,3)＝－eq\r(3).]3．(2024·淮北市一模)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则eq\f(a7－a9,a5－a7)的值为()A．3 B．5C．9 D．25解析：D[依据题意，等比数列{an}中，a5＝3，a4a7则有a6＝eq\f(a4a7,a5)＝15，则q＝eq\f(a6,a5)＝5，则eq\f(a7－a9,a5－a7)＝eq\f(a5·q2－a7·q2,a5－a7)＝q2＝25.]4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C.eq\f(32,3)(1－4－n) D.eq\f(32,3)(1－2－n)解析：C[∵a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，∴a1＝4，q＝eq\f(1,2).∴anan＋1＝aeq\o\al(2,1)q2n－1＝24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2n－1＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(32,3)(1－4－n)．]5．(2024·大庆市一模)数列{an}为正项递增等比数列，满意a2＋a4＝10，aeq\o\al(2,3)＝16，则logeq\r(2)a1＋logeq\r(2)a2＋…＋logeq\r(2)a10等于()A．－45 B．45C．－90 D．90解析：D[因为{an}为正项递增等比数列，所以an＞an－1＞0，公比q＞1.因为a2＋a4＝10①，且aeq\o\al(2,3)＝16＝a3·a3＝a2·a4②由①②解得a2＝2，a4＝8.又因为a4＝a2·q2，得q＝2或q＝－2(舍)．则得a5＝16，a6＝32，因为logeq\r(2)a1＋logeq\r(2)a2＋…＋logeq\r(2)a10＝5logeq\r(2)a5a6＝5logeq\r(2)16×32＝5×9logeq\r(2)2＝45×2logeq\r(2)eq\r(2)＝90.]6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝m·2n－1－3，则m＝________.解析：a1＝S1＝m－3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝m·2n－2，∴a2＝m，a3＝2m，又aeq\o\al(2,2)＝a1a3，∴m2＝(m－3)·2m，整理得m2－6则m＝6或m＝0(舍去)．答案：67．(2024·漳州市模拟)等比数列{an}中，a1＝1，an＞0，其前n项和为Sn，若a2是－a3，a4的等差中项，则S6的值为______.解析：假设公比为q，则可列方程2q＝－q2＋q3，解得q＝0或2或－1，其中满意条件的公比只有2.则S6＝eq\f(1－26,1－2)＝63.答案：638．已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于表中第一行，其次行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*).第一列其次列第三列第一行1102其次行6144第三行9188解析：视察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＝2·3n－1.答案：2·3n－19．(2024·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解：(1)∵a5＝4a3，∴q2＝4，∴q当q＝2时，an＝2n－1当q＝－2时，an＝(－2)n－1∴{an}的通项公式为an＝2n－1或an＝(－2)n－1.(2)当q＝2时，Sm＝eq\f(1－2m,1－2)＝63，解得m＝6.当q＝－2时，Sm＝eq\f(1－－2m,1＋2)＝63.无解．∴m＝6.10．已知数列{an}满意a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝1