2025高考数学一轮复习- 复 数-专项训练【含解析】

课时过关检测(三十七)复数【原卷版】1．已知z＝(2－i)(1＋3i)，则z的虚部为()A．－1 B．－iC．5 D．5i2．已知a＋eq\r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝()A．1 B．eq\r(7)C．3 D．93．已知i是虚数单位，复数z与复平面内的点(2，－1)对应，则复数eq\f(1－2i,z)对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设复数z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n，i为虚数单位，n∈N，则由z的所有可能取值构成的集合为()A．{1,0，－1} B．{0,2，－2}C．{0,1＋i,1－i} D．{0,2＋2i,2－2i}6．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是()A．|z|＝eq\r(5)B．z的虚部为2C．z的共轭复数为－1＋2iD．复数z在复平面内对应的点在第四象限7．(多选)设z∈C，则下列说法中正确的是()A．|z|2＝eq\x\to(z)·zB．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|C．若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0D．若|z|＝1，则|z－i|≤28．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．9．设O是坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i．那么向量eq\o(BA,\s\up7(→))对应的复数是________．10．若复数z＝2＋(z＋1)i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．11．若i为虚数单位，复数z满足|z＋eq\r(3)＋i|≤eq\r(3)，则|z－2i|的最大值为()A．2 B．3C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)12．设复数z满足|eq\x\to(z)－2i|＝3，且z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x－2)2＋y2＝9 B．(x＋2)2＋y2＝9C．x2＋(y－2)2＝9 D．x2＋(y＋2)2＝913．(多选)已知复数z＝cosθ＋isinθ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A．z·eq\x\to(z)＝1B．z＋eq\f(1,z)为实数C．若θ＝eq\f(8π,3)，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限D．若θ∈(0，π)，复数z是纯虚数，则θ＝eq\f(π,2)14．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________．15．已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限．课时过关检测(三十七)复数【解析版】1．已知z＝(2－i)(1＋3i)，则z的虚部为()A．－1 B．－iC．5 D．5i解析：Cz＝(2－i)(1＋3i)＝2＋6i－i－3i2＝5＋5i，虚部为5．故选C．2．已知a＋eq\r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝()A．1 B．eq\r(7)C．3 D．9解析：C因为a＋eq\r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，所以a＝－2，b＝eq\r(5)，|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(4＋5)＝3．故选C．3．已知i是虚数单位，复数z与复平面内的点(2，－1)对应，则复数eq\f(1－2i,z)对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：D由复数z与复平面内的点(2，－1)对应，可知z＝2－i，所以eq\f(1－2i,2－i)＝eq\f(1－2i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i，其对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))．故选D．4．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4＝0，,a－3≠0，))即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．故选A．5．设复数z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n，i为虚数单位，n∈N，则由z的所有可能取值构成的集合为()A．{1,0，－1} B．{0,2，－2}C．{0,1＋i,1－i} D．{0,2＋2i,2－2i}解析：Bz＝in＋(－i)n，i为虚数单位，n∈N，当n＝4k(k∈N)时，z＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，z＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，z＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，z＝0．故选B．6．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是()A．|z|＝eq\r(5)B．z的虚部为2C．z的共轭复数为－1＋2iD．复数z在复平面内对应的点在第四象限解析：AC由题意|z|＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5)，虚部为－2，共轭复数是－1＋2i，对应点坐标为(－1，－2)，在第三象限．故选A、C．7．(多选)设z∈C，则下列说法中正确的是()A．|z|2＝eq\x\to(z)·zB．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|C．若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0D．若|z|＝1，则|z－i|≤2解析：ADA选项，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，|z|2＝a2＋b2，eq\x\to(z)·z＝a2＋b2，所以|z|2＝eq\x\to(z)·z，故A正确；B选项，令z1＝1＋i，z2＝1－i，则|z1＋z2|＝2，|z1|＋|z2|＝2eq\r(2)，不满足|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，故B错误；C选项，若z1＝i，z2＝1，则zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，但不满足z1＝z2＝0，故C错误；D选项，若|z|＝1，不妨令z＝cosθ＋sinθ·i，则|z－i|＝eq\r(cos2θ＋sinθ－12)＝eq\r(2－2sinθ)≤2，故D正确．故选A、D．8．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2．答案：－29．设O是坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i．那么向量eq\o(BA,\s\up7(→))对应的复数是________．解析：∵向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－3,2)，∴eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i．答案：5－5i10．若复数z＝2＋(z＋1)i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．解析：因为z＝2＋(z＋1)i，所以z(1－i)＝2＋i，所以z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(2＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1＋3i,2)，故|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(10),2)．答案：eq\f(\r(10),2)11．若i为虚数单位，复数z满足|z＋eq\r(3)＋i|≤eq\r(3)，则|z－2i|的最大值为()A．2 B．3C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：D|z＋eq\r(3)＋i|≤eq\r(3)表示以点M(－eq\r(3)，－1)为圆心，R＝eq\r(3)为半径的圆及其内部，|z－2i|表示上述圆面内的点到N(0,2)的距离，据此作出如图所示的示意图，则|z－2i|max＝MN＋R＝eq\r([0－－\r(3)]2＋[2－－12]2)＋eq\r(3)＝3eq\r(3)．故选D．12．设复数z满足|eq\x\to(z)－2i|＝3，且z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x－2)2＋y2＝9 B．(x＋2)2＋y2＝9C．x2＋(y－2)2＝9 D．x2＋(y＋2)2＝9解析：D因为z在复平面内对应的点为(x，y)，所以z＝x＋yi，则eq\x\to(z)＝x－yi，所以eq\x\to(z)－2i＝x＋(－y－2)i，所以|eq\x\to(z)－2i|＝eq\r(x2＋y＋22)＝3，整理得x2＋(y＋2)2＝9．故选D．13．(多选)已知复数z＝cosθ＋isinθ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A．z·eq\x\to(z)＝1B．z＋eq\f(1,z)为实数C．若θ＝eq\f(8π,3)，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限D．若θ∈(0，π)，复数z是纯虚数，则θ＝eq\f(π,2)解析：ABD对选项A，z·eq\x\to(z)＝(cosθ＋isinθ)(cosθ－isinθ)＝cos2θ－(isinθ)2＝cos2θ＋sin2θ＝1，故A正确；对选项B，因为z＋eq\f(1,z)＝cosθ＋isinθ＋eq\f(1,cosθ＋isinθ)＝cosθ＋isinθ＋eq\f(cosθ－isinθ,cosθ＋isinθcosθ－isinθ)＝cosθ＋isinθ＋cosθ－isinθ＝2cosθ，所以z＋eq\f(1,z)为实数．故B正确；对选项C，因为θ＝eq\f(8π,3)为第二象限角，所以coseq\f(8π,3)<0，sineq\f(8π,3)>0，所以z＝coseq\f(8π,3)＋isineq\f(8π,3)在复平面对应的点落在第二象限．故C错误；对选项D，复数z是纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝0，,sinθ≠0，))又因为θ∈(0，π)，所以θ＝eq\f(π,2)，故D正确．故选A、B、D．14．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________．解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i．由|z－2i|＝|z|知，eq\r(a2＋b－22)＝eq\r(a2＋b2)，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1