清单05 二次根式 全章复习（3个考点梳理+11种题型+10类型）（解析版）

清单05二次根式全章复习（3个考点梳理+10种题型+10类型）考点一二次根式的相关概念二次根式的概念：一般地，我们把形如a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式a有意义.最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.【考试题型1】二次根式有意义的条件1．（20-21九年级上·吉林长春·期中）式子在实数范围内有意义的条件是．【答案】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，注意被开方数大于等于0即可．【详解】解：因为在实数范围内有意义,所以解得.故答案为：．2．（2023·浙江杭州·二模）若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的的值．【答案】答案不唯一【分析】此题考查了二次根式的有意义的条件，二次根式被开方数大于等于零时，二次根式有意义，据此解答．【详解】解：要使若在实数范围内有意义，则，即，则写出一个满足条件的的值为．故答案为：答案不唯一．【考试题型2】求二次根式的参数1．（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【答案】B【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．【详解】解：由题意得：，解得，又因为是整数，∴是完全平方数，当时，即，当时，即，当时，即，当时，即，综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，故答案选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．2．（22-23八年级下·福建莆田·开学考试）若实数a，b满足，则．【答案】【分析】本题考查了求平方根的问题，掌握平方根的性质以及解法是解题的关键．根据和有意义得出，，再代入求解即可．【详解】解：由题可得，解得：，∴，即，∴，故答案为：．3．（20-21七年级下·广东广州·期中）若，则的立方根是．【答案】2【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解．【详解】解：∵，∴，，即，，∴，∴的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到，是解题的关键．4．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a，b满足（1）a=_______，b=______（2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程【答案】（1）-4，；（2）【分析】（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解．【详解】（1）∵∴∴∴故答案为：-4，；（2）根据（1）的结论，得：∴∴．【点睛】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解．【考试题型3】最简二次根式/同类二次根式的判断1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键。根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；B、不是二次根式，故与不是同类二次根式；C、与被开方数相同，故是同类二次根式；D、不是二次根式，故与不是同类二次根式．故选C．2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断是解此题的关键．【详解】解：A.，化简不正确；B.，化简不正确；C.，化简不正确；D.，化简正确；故选D．3．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可．【详解】解：下列二次根式中，是最简二次根式的有，共2个；故选A．4．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则．【答案】【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可．【详解】解：∵，∴，∴故答案为：．【考试题型4】已知最简二次根式/同类二次根式求参数1．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（）A．16 B．0 C．2 D．任意实数【答案】B【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到a的值．【详解】解：∵，而最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得．故选：B．2．（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：；故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式．3．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，0【答案】A【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．【详解】解：∵是最简二次根式，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．．4．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．【答案】【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式解得：∴符合题意【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．考点二二次根式的性质与化简二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b（a≥0，b≥0），化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【考试题型5】利用二次根式的性质化简【类型一】数形结合法方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标.1．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．【答案】【分析】本题考查了数轴的定义、二次根式的运算、绝对值运算．观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的运算、绝对值运算计算即可．【详解】解：观察数轴得：，∴，∴2．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示：(1)若，，且x对应的点与z对应的点恰好关于y对应的点对称，求z的值．(2)化简：【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴等知识．（1）根据对称性求解即可；（2）先根据实数x，y，z在数轴上的对应点的位置来判断其符号及绝对值的大小，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】（1）解：∵，，且x对应的点与z对应的点恰好关于y对应的点对称，∴，∴；（2）解：由数轴知，∴，，∴．3．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）已知实数x，y，z在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，先根据实数x，y，z在数轴上的对应点的位置来判断其符号及绝对值的大小，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】由数轴可得：，∴，∴原式．【类型二】估值法方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.1．（2023·重庆·模拟预测）与最接近的整数是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，先根据二次根式的乘法得出，再估算出更接近，即可得出答案．【详解】解：，，，即，更接近，更接近，更接近，即与最接近的整数是，故选：C．2．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．【详解】解：，∵，∴，即，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．3．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）若，则a的值所在的范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，，由，然后利用不等式的性质求解作答即可．【详解】解：，∵，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于利用分母有理化进行化简．【类型三】公式法方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知，，则与的关系为（

）A．相等 B．绝对值相等 C．互为相反数 D．互为倒数【答案】D【分析】本题考查的是互为负倒数的性质，二次根式的乘法，熟练掌握性质是本题的解题关键．根据互为倒数的性质进行计算．【详解】．∴与的关系为互为倒数．故选：D．2．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）计算题：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)0【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．3．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知：，求：的值【答案】【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的乘法，算术平方根，熟练掌握完全平方公式“”是解题的关键.【详解】解：①；②；①－②得，.【类型四】换元法方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.1．（19-20八年级上·福建泉州·期中）若ab＝1，我们称a与b互为倒数，我们可以用以下方法证明与互为倒数：方法一：∵，∴与互为倒数．方法二：∵﹣1，∴与互为倒数．(1)请你证明与互为倒数；(2)若，求的值；(3)利用“换元法”求的值．【答案】(1)1(2)5(3)1【分析】（1）利用倒数的定义证明即可；（2）求出，根据完全平方公式进行变形求值即可；（3）设，，则，原式变形为，代入的值即可．【详解】（1）所以与互为倒数；（2）∵，∴，∴，即，∴，；（3）设，，则，∴原式＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是，选择合适的解题途径，往往能事半功倍．【类型五】拆项法方法简介：分子为多项式的和，分母为多项式的积，将分子拆出与分母相同或相似的项.1.计算：6+43+326+33+2.[提示：6＋43＋3【答案】6−【提示】根据题中提示进行拆分，在进行化简即可.【详解】解：原式＝6+43＝6＋3＝13+＝3−2＝6−【类型六】整体代入法方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知，求代数式的值．【答案】6【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．将代入代数式即可求解；【详解】解：将代入原式得，．2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知求下列各式的值：(1)和；(2)【答案】(1)6；2(2)34【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．（1）将、的值直接代入求值即可；（2）将、的值代入，计算即可．【详解】（1）（2）3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，求下面各代数式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式的求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键．（1）首先根据题意得到，然后将利用完全平方公式变形代入求解即可；（2）将通分，然后利用完全平方公式变形，最后代入求解即可．【详解】（1）解：，．；（2）解：．【类型七】因式分解法方法简介：与分式的化简相同，代数式的化简也要“变肥为瘦”.此题分母较为复杂，结合分子可将分母进行因式分解，约去公因式从而达到“瘦身”的效果.1.计算：2+【答案】5−【详解】提示：把分母2+6+10+解：2+32+6+=1＝5−＝5＝5−【类型八】配方法1．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：．材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：，，，即．的最小值为1．阅读上述材料解决下面问题：(1)_______，______；(2)求的最值；(3)比较和的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)的最小值为(3)，见解析【分析】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用．（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；（2）利用完全平方公式配方即可求解；（3）首先计算和，然后比较即可．【详解】（1），；故答案为：；；（2）∵∴的最小值为；（3）∵∴．2．阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：∵，∴，即∴的最小值为阅读上述材料解决下面问题：（1），；（2）求的最值；（3）已知，求的最值．【答案】（1）；（2）-；（3）-4.【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；（2）利用完全平方公式配方即可求解；（3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解.【详解】（1），；故答案为：；（2）∵==≥-1∴的最小值为-；（3）∵=∴===≤-4故的最大值为-4.【点睛】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用.【类型九】辅元法方法简介：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值.1.已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x+yx+z【答案】15−2【详解】设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，∴原式＝3k4k【类型十】先判断后化解1.已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aa【答案】−【分析】首先对每一项根式进行分母有理化进行化简，然后通分，进行分式的加法运算，再用对分母提取公因式后，运用配方法对提取公因式后的分母进行整理，最后再入求值即可．【详解】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.∴原式=−aab=−262.先化简再求值(1)已知：y>3x−2+2−3x(2)已知a=12+3【答案】(1)2(2)7【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性，可得x的值，从而得y的范围，从而可将要求的式子化简求解； （2）先对已知条件利用分母有理化进行化简，再对要求的式子进行化简，最后将a的值代入计算即可．【详解】（1）∵3x−2≥0，2−3x≥0，3x−2≥0，∴x=23∵y>∴y>2 

y=y−2=−1+5−2 =2 ∴y2（2）∵a=1=2−=2−∴a2=a+3=(a+3)−2−a=a+3+1=2−3=7 ∴a2【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和分式的化简求值，熟练掌握因式分解及分母有理化的方法，是解题的关键．【考试题型6】分母有理化1．（新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：(1)利用你观察到的规律，化简(2)计算：【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了分母有理化：（1）仿照题意进行分母有理化即可；（2）求出，据此把所求式子中的每一项分母有理化后隔项相消即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：，∴．2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；（材料二）化简：．解：．【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：_________，_________；(2)求的值．【答案】(1)5，(2)【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．（1）根据题意找到规律，，即可得到答案；（2）根据题意将原式进行分母有理化进行求解即可．【详解】（1）解：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；……，以此类推，可知，，；，（负值舍去）；故答案为：，；（2）解：，．3．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程：；．请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出式子：______．(2)利用上面所提供的解法，请化简：．(3)模仿上面所提供的解法，试一试化简：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算：（1）仿照题意进行分母有理化即可；（2）根据（1）所求裂项，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；（3）先分母有理化得到，据此裂项求解即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：；（3）解：，∴．考点三二次根式的运算乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：ab=a•b（除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：ab=ab（a≥0，加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：12）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.即：1a混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．【考试题型7】二次根式的乘除运算1．（2024·陕西西安·三模）计算：【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据平方差公式、零次幂、绝对值的性质计算即可求解．【详解】解：．2．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）化简：【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．【详解】解：．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．（1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：．（2）解：【考试题型8】二次根式的加减运算1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的加减，先去括号，再合并同类项，即可解答，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：，，．2．（23-24八年级下·广东阳江·期中）已知，，求的值．【答案】16【分析】本题考查了二次根式的减法和乘法运算、完全平方公式、求代数式的值，能求出和的值是解此题的关键．首先求出，，然后将利用完全平方公式变形代数求解即可．【详解】解：∵，，，，．3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设，，求下面的值：(1)直接写出和的值：______，______；(2)求的值．【答案】(1)，1．(2)1．【分析】本题考查二次根式的混合运算和异分母分式的加法运算．（1）分别把，代入到和进行计算即可；（2）先进行异分母分式的加法运算，再将和的值代入即可．【详解】（1）解：由已知，，，故答案为：，1．（2）解：．【考试题型9】二次根式的混合运算1．（23-24八年级下·吉林四平·期中）计算：【答案】【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先计算二次根式乘除法，再计算加减，合并同类二次根式即可．【详解】解：原式2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）计算：(1)．(2)(3)【答案】(1)(2)(3)0【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先化简，再进行乘除，最后运算加减，即可作答．（2）先化简，再进行乘除，最后运算加减，即可作答．（3）先由二次根式有意义，得出，然后进行分母有理化，再运算加减，即可作答．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴．3．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）（1）先化简，再求值：，其中，．（2）计算：【答案】（1），；（2）【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算，最后再代入求值即可；（2）先化简计算，再合并即可．【详解】解：（1）原式，当时，原式；（2）原式．【考试题型10】比较二次根式的大小1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)化简；(2)比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)2(2)，理由见解析【分析】本题考查的是分母有理化：（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案；（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数，再比较大小即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵，，且，∴．2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小．【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积．【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可．【详解】∵正方形A，B的面积分别为和，∴正方形A，B的边长分别为和，根据题意得，矩形甲的面积为：；矩形乙的面积为：；∴∵∴∴∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积．3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式：①；②；③；……像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：(1)化简：①②(2)计算___________（为正整数）．(3)计算：___________；(4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”）【答案】(1)①；②(2)(3)(4)【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、无理数的大小比较，（1）①根据平方差公式，分子分母同乘以；②根据平方差公式，分子分母同乘以；（2）根据平方差公式，分子分母同乘以；（3）根据分母有理化将化简，再与相乘即可；（4）根据分母有理化将，分别转化为，，再进行比较即可；掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键．【详解】（1）解：①；②；（2），故答案为：；（3），故答案为：；（4）∵，，又∵，∴，∴，∴，故答案为：．【考试题型11】二次根式的应用1．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足（不考虑风速的影响）．(1)从高处抛下的物体落地所需的时间；从高处抛下的物体落地所需的时间(2)是的多少倍？(3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？【答案】(1)；(2)是的倍(3)下落的高度是【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用：（1）根据所给公式代值计算即可；（2）根据（1）的计算结果求解即可；（3）把代入公式求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，，故答案为：；；（2）解：，∴是的倍；（3）解：由题意得，，解得，∴下落的高度是．2．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板．(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______；(2)求剩余木板的面积；(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：）【答案】(1)，(2)(3)2【分析】本题考查二次根式的应用；（1）由正方形的面积可得边长，再利用二次根式的性质化简，即可求解；（2）求出剩余的木料的长和宽，即可求面积；（3）求剩余的木料的长和宽，即可求解．【详解】（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为，，故答案为：，；（2）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，∴剩余的面积为；（3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，∵，，能截出块这样的木条．故答案为：2．3．（23-24八年级下·广东东莞·期中）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，题目：已知在中，，求的面积，思路1：可以利用八年级下册课本16页“阅读与思考”中的海伦－秦九韶公式求的面积，海伦公式，，其中，秦九韶公式，，思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角耏，将的面积．(1)请根据思路1的公式，求的面积；(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，①画出，要求三个顶点都在格点上；②结合图形，写出面积的计算过程．【答案】(1)(2)①见解析；②，过程见解