2024-2025学年新教材高中数学章末综合测评6统计案例含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE章末综合测评(六)统计案例(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1，或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．正确的有()A．①②B．②③C．①③D．①②③C[由相关系数的定义可知①③正确．]2．高校生和探讨生毕业的一个随机样本给出了关于所获得学位类别与学生性别的分类数据如下表所示：学位性别学士硕士总计男16227189女1438151总计30535340依据以上数据，则()A．获得学位类别与性别有关B．获得学位类别与性别无关C．性别确定获得学位的类别D．以上都是错误的A[χ2＝eq\f(340×162×8－27×1432,189×151×305×35)≈7.343>6.635．故有99%的把握认为获得学位类别与性别有关．]3．如图所示，有5组数据(x，y)，去掉哪组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大()A．AB．BC．CD．DD[去掉D点，其他四点大致分布在一条直线旁边．]4．已知X与Y之间的一组数据：X0123Y1357则Y与X的线性回来方程Y＝bX＋a必过点()A．(2，2)B．(1.5，0)C．(1，2)D．(1.5，4)D[线性回来方程Y＝bX＋a，必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即(1.5，4)．]5．在一次抽样调查中，经过计算得到χ2＝0.27，依据这一数据，我们有理由认为()A．两个分类变量关系较弱 B．两个分类变量关系较强C．两个分类变量无关系 D．以上说法都不正确C[依据临界值推断．]6．下列图形中具有相关关系的两个变量是()ABCDC[A、B中明显任何一个x都有唯一确定的y和它对应，是一种函数关系；C中从散点图中可看出全部点看上去都在一条直线旁边波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D中全部的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．]7．已知回来直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则线性回来方程是()A．Y＝1.23X＋4 B．Y＝1.23X＋5C．Y＝1.23X＋0.08 D．Y＝0.08X＋1.23C[由题知b＝1.23，直线经过中心(4，5)，则a＝0.08，所以线性回来方程为Y＝1.23X＋0.08．]8．设两个变量X和Y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，Y关于X的回来直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反A[依据b与r的计算公式可知，b与r的符号始终相同．]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．下列变量关系不是函数关系的是()A．人的寿命与性别之间的关系B．等边三角形的边长与面积之间的关系C．施肥量与产量之间的关系D．学习时间与学习成果之间的关系ACD[函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系．]10．下面是两个变量的一组样本数据：X23456Y2.23.85.56.57依据以上数据，可知下列结论正确的是()A．Y与X正相关B．Y与X负相关C．Y与X之间的相关系数r约为0.979D．Y与X之间的相关系数r约为－0.979AC[eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝140.78，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xiyi＝112.3，eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5，代入公式得r≈0.979．由r>0可知，Y与X正相关．]11．四名同学依据各自的样本数据探讨变量X，Y之间的相关关系，并求得回来直线方程，分别得到以下四个结论，其中肯定不正确的结论是()A．Y与X负相关且Y＝2.347X－6.423B．Y与X负相关且Y＝－3.476X＋5.648C．Y与X正相关且Y＝5.437X＋8.493D．Y与X正相关且Y＝－4.326X－4.578AD[由正负相关性的定义知AD肯定不正确．]12．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若全部样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝bx＋1上，则这组样本数据的样本相关系数可能是()A．－1B．0C．eq\f(1,2)D．1AD[依据样本相关系数的定义可知，当全部样本点都在直线上时，相关系数为±1，故选AD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份X1234用水量Y4.5432.5由散点图可知，用水量Y与月份X之间有较好的线性相关关系，其线性回来直线方程是Y＝－0.7X＋a，则a＝________．5.25[eq\x\to(x)＝2.5，eq\x\to(y)＝3.5，∵回来直线方程过样本点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，∴3.5＝－0.7×2.5＋a．∴a＝5.25．]14．某化工厂为预料某产品的回收率Y，须要探讨它和原料有效成分含量X之间的相关关系．现取了8对观测值，计算得eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do6(i＝1))xi＝52，eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do6(i＝1))yi＝228，eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝478，eq\o(∑,\s\up7(8),\s\do6(i＝1))xiyi＝1849，则Y对X的线性回来方程是________．Y＝11.47＋2.62X[∵eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)≈2.62，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝11.47，∴线性回来方程为Y＝11.47＋2.62X．]15．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，则两个变量的这种相关关系称为________．[答案]正相关16．为了推断学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：选修文理状况性别理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025．依据表中数据，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844．则认为选修文科与性别有关联的把握度是________．95%[∵χ2＝4.844>3.841，∴至少有95%的把握认为是否选修文科与性别有关．]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在500名患者身上试验某种血清治疗新冠肺炎的作用，与另外500名未用血清的患者进行比较探讨，结果如下表：治疗状况运用血清状况治愈未治愈总计用血清治疗254246500未用血清治疗223277500总计4775231000问该种血清能否起到治疗新冠肺炎的作用？[解]由列联表给出的数据，χ2＝eq\f(1000×254×277－246×2232,500×500×477×523)≈3.8522．因为3.8522>3.841，所以我们有95%以上的把握认为这种血清能起到治疗新冠肺炎的作用．18．(本小题满分12分)为了探讨数学成果与物理成果的关系、数学成果与语文成果的关系，现调查了10名同学的数学、物理、语文成果如下表：编号12345数学13612512287108物理10791927693语文86114104109100编号678910数学113111709474物理8582787873语文1061121049599由这些数据，你能发觉什么规律？你的依据是什么？[解]利用相关系数r的计算公式．可求出物理成果与数学成果的相关系数r1≈0.87，接近于1；语文成果与数学成果的相关系数r2≈0.092，接近于0，从而认为物理成果与数学成果之间具有很强的线性相关关系，语文成果与数学成果不具有线性相关关系．19．(本小题满分12分)某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：气温X(℃)261813104－1杯数Y202434385064画出散点图并计算相关系数r，推断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系？[解]由表中数据画出散点图，如图所示．由表中数据得eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.67，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.33，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1286，eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do6(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，计算r≈－0.97接近于－1，所以热茶销售量与气温之间具有较强的线性相关关系．20．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up7(10),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720．(1)求家庭的月储蓄Y对月收入X的线性回来方程Y＝bX＋a；(2)推断变量X与Y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预料该家庭的月储蓄．附：线性回来方程Y＝bX＋a中，eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)，其中eq\x\to(x)，eq\x\to(y)为样本平均值．[解](1)由题意知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))xi＝eq\f(80,10)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))yi＝eq\f(20,10)＝2，又eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2＝720－10×82＝80，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up7(－))eq\o(y,\s\up7(－))＝184－10×8×2＝24，由此得eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(24,80)＝0.3，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝2－0.3×8＝－0.4．故所求线性回来方程为Y＝0.3X－0.4．(2)由于变量Y的值随X值的增加而增加(b＝0.3>0)，故X与Y之间是正相关．(3)将x＝7代入回来方程可以预料该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．21．(本小题满分12分)有两个变量A与B，它们的可能取值分别为{A1，A2}和{B1，B2}，其一组观测值如下2×2列联表所示：BAB1B2总计A1a20－a20A215－a30＋a45总计155065其中a，15－a均是大于5的整数，则a取何值时有90%的把握认为“A与B之间有关系”？[解]要使A与B之间有90%的把握认为有关系，则χ2>2.706，又∵χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)∴χ2＝eq\f(65×[a×30＋a－15－a×20－a]2,15×50×45×20)＝eq\f(13×65a－3002,50×45×60)＝eq\f(13×13a－602,90×60)，∵χ2>2.706，∴eq\f(13×13a－602,90×60)>2.706，即(13a－60)2>eq\f(14612.4,13)≈1124．∴13a－60>33.5或13a－60<－33.5．∴a>7.2或a<2．又∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞5，,15－a＞5，))∴5<a<10，∴7.2<a<10．又因a∈Z，故a＝8或a＝9，即a＝8或9时，有90%的把握认为A与B有关系．22．(本小题满分12分)如图是某地区2003年至2024年环境基础设施投资额Y(单位：亿元)的折线图．为了预料该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了Y与时间变量T的两个线性回来