人教版初中数学同步讲义八年级上册第06讲 因式分解的应用（原卷版）

第06讲因式分解的应用课程标准学习目标①分组分解法②实数范围内因式分解③因式分解的应用能够对式子进行分组，然后在利用相应的分解方法进行分解。能够在实数范围内进行分解因式。能够熟练的运用因式分解进行求值，化简，证明等。知识点01分组分解因式分组分解因式：对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提公因式法或公式法或者式子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。考点题型：①分组分解因式。【即学即练1】1．把1﹣a2﹣b2﹣2ab分解因式，正确的分组为（）A．1﹣（a2+b2+2ab） B．（1﹣a2）﹣（b2﹣2ab） C．（1﹣2ab）+（﹣a2﹣b2） D．（1﹣a2﹣b2）﹣2ab【即学即练2】2．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（）A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b） C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2【即学即练3】3．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：（Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a；（Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．知识点02实属范围内分解因式实数范围反内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式，实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围，既可以用无理数来表示。题型考点：①实数范围内分解因式。【即学即练1】4．把下列各式在实数范围内分解因式：（1）a2﹣7；（2）x3﹣2x；（3）a2﹣2a+3；（4）x4﹣25．【即学即练2】5．在实数范围内分解因式：x3﹣x2﹣2x+2．【即学即练3】6．在实数范围内分解下列因式：（1）y4﹣6y2+5；（2）x2﹣11；（3）a2﹣2a+3；（4）5x2﹣2．知识点03因式分解的综合应用因式分解的步骤：第一步：观察式子是否有公因式可提。若有公因式，则先用公因式进行因式分解。第二步：观察式子项数：①若式子是两项，则观察是否具有平方差公式的特点，若具有平方差公式的特点则用平方差公式分解，若不具有则不能分解。②若式子是三项，则观察是否具有完全平方公式的特点，如果具有完全平方公式的特点则用完全平方公式分解。若不具有完全平方公式的特点则观察是否可用十字相乘法分解，若能则用十字相乘法分解，若不能用十字相乘法分解则多项式不能分解。因式分解一定要分解彻底，即无论用什么方法都不能再继续分解。题型考点：①分解因式。【即学即练1】7．分解因式：（1）4（3m+2n）2﹣9（m﹣n）2；（2）x4+5x2﹣36；（3）x3y﹣2x2y2+3x﹣6y；（4）（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12；（5）4x4+12x3+13x2+6x+1；（6）y（y+1）（x2+1）+x（2y2+2y+1）．【即学即练2】8．分解因式：（1）8a3b2+28ab3c；（2）a4﹣64；（3）x2+（2a+3）x+（a2+3a）；（4）4x2+4xy+12x+6y+y2+8．知识点04因式分解的综合应用因式分解的综合应用：利用因式分解解决求值问题。利用因式分解解决证明问题。利用因式分解解决计算问题。题型考点：①因式分解的实际应用。【即学即练1】9．若a+b＝3，x+y＝1，则代数式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023【即学即练2】10．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，那么据此判断△ABC的形状是（）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【即学即练3】11．已知x﹣y＝，xy＝，则x2y﹣xy2的值是（）A． B．1 C． D．﹣【即学即练4】12．生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x4﹣y4因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当取x＝9，y＝9时，各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式4x3﹣xy2，当取x＝10，y＝10时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（）A．102030 B．103020 C．101030 D．102010【即学即练5】13．有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如mx+nx+my+ny＝（mx+nx）+（my+ny）＝x（m+n）+y（m+n）＝（m+n）（x+y），根据上面的方法因式分解：（1）2ax+3bx+4ay+6by；（2）m3﹣mn2﹣m2n+n3；（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．题型01因式分解【典例1】因式分解：（1）4ab﹣2a2b；（2）25x2﹣9y2；（3）2a2b﹣8ab2+8b3；（4）x2（x﹣3）+9（3﹣x）．【典例2】将下列各式因式分解：（1）a（x﹣3）+2b（x﹣3）；（2）2x3﹣8x；（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2；（4）﹣x2﹣4y2+4xy．【典例3】分解因式：​（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；（2）3m2n﹣12mn+12n；（3）（x2+9）2﹣36x2；（4）．【典例4】阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．（1）x2﹣6x+8；（2）x2﹣2x﹣15；（3）（x﹣4）（x+7）+18．题型02分组分解因式【典例1】阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．（1）利用分组分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接写出结果）．【典例2】常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2﹣9y2﹣2x+6y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，过程为：x2﹣9y2﹣2x+6y＝（x2﹣9y2）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）．这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：（1）x2﹣2xy+y2﹣16；（2）xy2﹣2xy+2y﹣4．【典例3】有些多项式不能直接运用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的．例如：mx+nx+my+ny＝（mx+nx）+（my+ny）＝x（m+n）+y（m+n）＝（m+n）（x+y）．根据上面的方法因式分解：（1）2ax+3bx+4ay+6by；（2）x2+2xy+y2﹣z2．【典例4】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．例如：ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）．请你仿照以上方法，解决下列问题．分解因式：（1）x2﹣y2+2x﹣2y；（2）x2﹣10x+25﹣y2．题型03实数范围内分解因式【典例1】在实数范围内分解因式：（1）4x2﹣20；（2）x2﹣2x+3．【典例2】在实数范围内分解因式：（1）am2﹣6ma+9a；（2）9a4﹣4b4．【典例3】在实数范围内分解因式：（1）m2﹣3（2）2a2﹣5（3）．题型04因式分解的应用【典例1】已知xy＝2，y﹣x＝1，（1）求2x2y﹣2xy2的值；（2）求x+y的值．【典例2】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“崇德尚美数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“崇德尚美数”．（1）判断：36“崇德尚美数”（填“是”或“不是”）；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是4的倍数吗？为什么？（3）若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试判断该长方形的面积是否为“崇德尚美数”？为什么？（请推理证明）【典例3】观察下列分解因式的过程：x2+2xy﹣3y2解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2＝（x2+2xy+y2）﹣4y2＝（x+y）2﹣（2y）2＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）＝（x+3y）（x﹣y）．像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．（1）请你运用上述配方法分解因式：x2﹣4xy﹣5y2；（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．【典例4】阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，判断△ABC的形状并说明理由．【典例5】阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可以提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法．请回答下列问题：（1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝；（2）解决问题：因式分解；ac﹣bc+a2﹣b2．（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．1．下列因式分解正确的是（）A．ax+y＝a（x+y） B．x2﹣4x+4＝（x+2）2 C．2x2﹣x＝x（2x﹣1） D．x2﹣16＝（x﹣4）22．下列多项式，在实数范围内一定可以分解因式的是（）A．x2﹣x+3 B．x2﹣mx﹣ C．﹣2x+3 D．x2﹣x﹣2m3．多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（）A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1） C．（x2+1）（y+1）（y﹣1） D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）4．三角形的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形5．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（）A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣26．如果a﹣b＝2，那么代数式a3﹣2a2b+ab2﹣4a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游8．在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足（a+b+c）2＝25，a2，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．不等边三角形 C．等边三角形 D．无法判断9．因式分解：x2+y2﹣z2﹣2xy＝．10．已知x+y＝1，xy＝﹣3，则x3y+xy3＝．11．若a＝2005，b＝2006，c＝2007，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．12．现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4＝y4因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+2＝162，把这些值从小到大排列得到018162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝21，y＝19时，请你写出一个用上述方法产生的密码．13．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小胡同学用换元法对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣2x＝y，原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+6x