人教版初中数学同步讲义八年级上册第05讲 最短路径（原卷版）

第05讲最短路径课程标准学习目标①最短路径的基本原理②最短路径的基本模型掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，点到直线的距离最短。掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。知识点01最短路径的基本原理最短路径的基本原理：①两点之间，线段。如图，号线最短②点到直线的距离。如图，最短。③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离。如图，MN是垂直平分线，CA=。知识点02最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’Q，P’Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。证明：∵P与P’关于直线l对称∴直线l是PP’的∴MPMP’∴MP＋MQ＝＋MQ＝。∴MP＋MQ此时有最小值，为的长度题型考点：①基本作图。②求值计算。【即学即练1】1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【即学即练2】2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8知识点03最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小：方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’P’’。P’P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’P’’。P’P’’与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时△PAB的周长最小。证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称∴OM是PP’的，ON是PP’’的。∴APAP’，BPBP’’∴＝＋AB＋＝∴△PAB的周长最小。题型考点：①基本作图。②求值计算。【即学即练1】3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（）A． B． C． D．【即学即练2】4．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°知识点04最短路径基本类型——角内两点与角两边构成的四边形周长最短如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小：方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。此时四边形PQMN的周长最下。证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称∴OA是QD的，OB是PC的。∴MDMQ，NPNC。＝PQ＋＋MN＋＝PQ＋。∴四边形PQMN的周长最小。题型考点：①基本作图。【即学即练1】5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹）知识点05最短路径基本类型——造桥选址问题如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短：方法点拨：在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。如下图：题型考点：①基本作图。【即学即练1】6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A． B． C． D．题型01最短路径的作图【典例1】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）A． B． C． D．【典例2】如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）A． B． C． D．​【典例3】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【典例4】将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？【典例5】如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．【典例6】如图：要求在l1、l2上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M，N的位置．（不写画法，保留作图痕迹）题型02最短路径的计算【典例1】如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．12【典例2】如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【典例3】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°【典例4】如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（）A．0.5m B．m C．1.5m D．2m【典例5】如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（）A．13 B．14 C．15 D．13.5【典例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（）A．7 B．9 C．11 D．14【典例7】如图，边长为a的等边△ABC中，BF是A