人教版初中数学同步讲义八年级上册第03讲 等腰三角形（解析版）

第03讲等腰三角形课程标准学习目标①等腰三角形的性质②等腰三角形的判定掌握等腰三角形的性质并能够对其熟练应用。掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。知识点01等腰三角形的性质等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰，所对的角叫做等腰三角形的底角，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的顶角。等腰三角形的性质：如图①等腰三角形的两腰相等。即AB＝AC。②等腰三角形的两个底角相等。即∠B＝∠C。【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。【简称底边上三线合一】即∠ABD＝∠CAD，BD＝CD，AD⊥BC。题型考点：①熟练性质。②利用性质计算。【即学即练1】1．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，故选：A．【即学即练2】2．已知等腰三角形的一个顶角为120°，则这个等腰三角形的底角为（）A．30° B．60° C．80° D．120°【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等，∴底角为（180°﹣120°）÷2＝30°，故选：A．【即学即练3】3．如果一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，那么它的周长是（）A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．以上答案都不对【解答】解：当腰长为2cm时，则三边分别为2cm，2cm，5cm，因为2+2＜5，所以不能构成直角三角形；当腰长为5cm时，三边长分别为5cm，5cm，2cm，符合三角形三边关系，此时其周长为：5+5+2＝12cm．故选：B．【即学即练4】4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（）A．90° B．100° C．105° D．110°【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝20°，∴∠BDE＝∠BED＝80°，∴∠DEC＝100°．故选：B．【即学即练5】5．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，∴设AB＝AC＝xcm，则BC＝（16﹣2x）cm，∴，解得4cm＜x＜8cm．故选：C．知识点02等腰三角形的判定利用等角对等边判定：一个三角形中如有两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。利用三线合一性质判定：若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线重合，则这个三角形是等腰三角形。题型考点：①利用内角和公式求内角和或求多边形的边数。②利用多边形的内外角关系计算。【即学即练1】6．在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或65°或80°【解答】解：∠A＝180°﹣130°＝50°．当AB＝AC时，∠B＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°；当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°．∠B的度数为50°或65°或80°，故选：D．【即学即练2】7．下列能确定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周长为15【解答】解：A、∵∠A＝50°、∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，∴∠A＝∠C，∴△ABC为等腰三角形；故本选项能确定△ABC为等腰三角形；B、∵∠A＝42°、∠B＝48°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；C、∵∠A＝2∠B＝70°，∴∠B＝35°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；D、∵AB＝4、BC＝5，周长为15，∴AC＝15﹣4﹣5＝6，∴AB≠BC≠AC，∴△ABC不是等腰三角形；故本选项能确定△ABC不是等腰三角形．故选：A．【即学即练3】8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．（1）求∠ADB的度数；（2）求证：△ADE是等腰三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；（2）证明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．【即学即练4】9．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上的一点，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，连接CD，若BE+CF＝EF．求证：△CFD是等腰三角形．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB．∴BE＝DE．∵BE+CF＝EF，∴DE+CF＝DE+DF，∴CF＝DF，∴△DFC是等腰三角形．题型01等腰三角形与周长【典例1】若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．【典例2】一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（）A．26或28 B．26 C．28 D．26＜m＜28【解答】解：若8是底边，则三角形的三边分别为8、10、10，能组成三角形，周长＝8+10+10＝28，8是腰长，则三角形的三边分别为8、8、10，能组成三角形，周长＝8+8+10＝26．综上所述，它的周长m的取值为26或28．故选：A．【典例3】已知等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【解答】解：∵+|b﹣8|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，∴a＝4，b＝8．当a＝4为底时，腰长为8，8，4+8＞8，能组成三角形，故周长为4+8+8＝20．当b＝8为底时，腰长为4，4，4+4＝8，不能组成三角形．所以等腰三角形的周长为20．故选：C．【典例4】已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．10 B．11 C．10或11 D．以上答案均不对【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，∴x＝3，y＝4，分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11；当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10；综上所述：等腰三角形的周长是10或11，故选：C．题型02等腰三角形的性质求线段长度【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD＝1，则BD等于（）A．1 B． C． D．【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，∴AD＝CD＝1，∴∠A＝∠ACD＝45°，∴∠ADC＝90°，∴，∴，∴；故选：D．【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，则EF的长为（）A．4 B．3 C． D．【解答】解：∵AB＝AC＝6，EF垂直平分AC，∴AE＝CE＝AC＝3，∵BF＝1，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，∴AF＝CF＝5，在Rt△AEF中，EF＝，故选：A．【典例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，∴，∵S△ADB＝AB•DE，S△ACB＝AC•BF，∴AB•DE×2＝AC•BF，∴BF＝2DE，∵DE＝5cm，∴BF＝10cm．故选：B．【典例4】如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【解答】解：设运动的时间为x秒，在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，当△CMN是等腰三角形时，CM＝CN，CM＝18﹣2x，CN＝1.6x即18﹣2x＝1.6x，解得x＝5．∴CM＝CN＝8（cm），故选：D．题型03等腰三角形的性质求角度【典例1】等腰三角形的一个底角是a°，它的顶角是（）A．a° B．90°﹣a° C．180°﹣2a°【解答】解：∵等腰三角形的一个底角是a°，∴它的顶角＝180°﹣2a°，故选：C．【典例2】如图，直线a∥b，点A和点B分别在直线a和b上，点C在直线a、b之间，且BC＝AC，∠ACB＝120°，∠1＝45°，则∠2的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【解答】解：如图，∵BC＝AC，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠BAC＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠1＝45°，∴∠ABD＝∠1+∠ABC＝75°，∵a∥b，∴∠2＝∠ABD＝75°，故选：D．【典例3】如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（）A．28° B．36° C．45° D．72°【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，∴∠EAB＝∠ACD＝，∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，故选：B．【典例4】如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度数为（）A．10° B．15° C．25° D．30°【解答】解：∵BE＝EC，∠E＝40°，∴∠B＝∠BCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝（180°﹣70°）÷2＝55°，∴∠ACD＝∠BCE﹣∠ACB＝70°﹣55°＝15°，故选：B．【典例5】定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（）A． B． C．或 D．或【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°，∴等腰三角形的两个底角都＝×（180°﹣50°）＝65°，∴这个等腰三角形的“特征值”k＝＝；当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°，∴这个等腰三角形的“特征值”k＝＝；综上所述：或，故选：D．题型04等腰三角形的判定【典例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE∥AD交BA的延长线于点E，求证：△ACE是等腰三角形．【解答】证明：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC，又∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．【典例2】如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，且CE∥AB，求证：△ABC为等腰三角形．【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∴，∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，∴∠B＝∠A，∴BC＝AC，∴△ABC为等腰三角形．【典例3】如图，已知在△ABC中，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求证：AB＝AC．【解答】证明：∵∠ADE＝∠AED．∴∠BAD+∠B＝∠EAC+∠C，∵∠BAD＝∠EAC∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．【典例4】如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR．又∵∠BQP＝∠AQP，∴∠R＝∠BQP．在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【典例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形．题型05等腰三角形的判定与性质【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝BC，∠D＝120°，求∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD；（2）解：∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠ACD＝＝30°，∴∠ACB＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝＝75°．【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，∵△CBD的周长为20，∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝20，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．【典例3】如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴ACE＝70°，∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD，∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．∴CD＝CB；（2）①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠ACB＝90°，设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一个外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，分三种情况：当BD＝BF时，∴∠BDC＝∠BFD＝3α，∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴90°﹣α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；当DB＝DF时，∴∠DBE＝∠BFD＝3α，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∴90°﹣2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；当FB＝FD时，∴∠DBE＝∠BDF，∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD，综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．【典例5】（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有5个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是BE+CF＝EF，△AEF的周长是20（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．【解答】解：（1）BE+CF＝EF．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．故答案为：5；BE+CF＝EF；20；（2）BE+CF＝EF，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．可得△AEF的周长为18．（3）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF．1．等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．2．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（）A．17或22 B．22 C．17 D．13【解答】解：分两种情况：当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．故选：B．3．如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（）A．10° B．15° C．25° D．30°【解答】解：∵EB＝EC，∴∠BCE＝∠B＝70°，∵AB＝BC，∠B＝70°，∴∠ACB＝∠BAC＝×（180°﹣70°）＝55°，∴∠ACD＝∠ECB﹣∠ACB＝70°﹣55°＝15°．故选：B．4．“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD C．BC＝2AD D．S△ABD＝S△ACD【解答】解：∵∠ADB＝∠ADC，∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD是△ABC的高线，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴AD是△ABC的角平分线，故A选项不符合题意；∵△ABC是等腰三角形，BD＝CD，∴AD是△ABC的角平分线，故B选项不符合题意；若BC＝2AD，不能说明AD是△ABC的角平分线，故C选项符合题意；∵S△ABD＝S△ACD，∴BD＝CD，∴AD是△ABC的角平分线，故D选项不符合题意；故选：C．5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝6，则BF＝（）A．8 B．9 C．12 D．18【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝6AB，∵S△ABC＝AC•BF，∴AC•BF＝6AB，∵AC＝AB，∴BF＝6，∴BF＝12，故选：C．6．在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣3），在坐标轴上确定一点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：分三种情况讨论：当AO＝AB时，B的坐标为：（6，0）或（0，﹣6）；当OA＝OB时，B的坐标为：（，0），（0，），（，0），或（0，）；当BO＝BA时，B的坐标为：（3，0）或（0，﹣3），所以：符合条件的点B共有8个，故选：D．7．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC＝8，则△ADE的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，∴BD＝FD，CE＝FE，∵AB+AC＝8，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝8．故选：B．8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；②∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，或∵△ADE为等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③错误，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正确；故选：C．9．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为．【解答】解：①如图①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．②如图②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．③如图③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．④如图④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝3∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴7∠A＝180°，∴∠A＝（）°，∠C＝（）°，∠ABC＝（）°．故答案为：．10．定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为3或6．【解答】解：∵等腰△ABC是倍长三角形，∴腰长＝底边长的2倍或底边长＝腰长的2倍，如果腰长是6，底边长是3或12，∵6+6＝12，∴此时不能构成三角形，∴底边长是3，腰长是6；如果底边长是6，腰长是12或3，3+3＝6，∴此时不能构成三角形，∴底边长是6，腰长是12，∴△ABC的底边长是3或6．故答案为：3或6．11．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝3．【解答】解：如图，延长AE交BC于点F．∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，AB＝BF＝4，∴．∵∠C＝29°，∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝29°，∴∠CAF＝∠C，∴AF＝CF．∵BC＝10，∴CF＝BC﹣BF＝6，∴AF＝6，∴AE＝3．故答案为：3．12．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画9条线段．【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90