人教版初中数学同步讲义八年级上册专题01 全等三角形的判定与性质（30题）（解析版）

专题第01讲全等三角形的判定与性质1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．【分析】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；（2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6，在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．2．（2022秋•黔江区期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．【解答】（1）证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，在Rt△ACB和Rt△DFE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°，∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．3．（2022秋•鼓楼区期末）如图，点A、C、D在同一直线上，BC⊥AD，垂足为C，BC＝CD，点E在BC上，AC＝EC，连接AB，DE．（1）求证：△ABC≌△EDC；（2）写出AB与DE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）在Rt△ACB和Rt△ECD中，由ASA证明三角形全等；（2）根据（1）得出∠AFD＝90°即可．【解答】（1）证明：∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，在Rt△ACB和Rt△ECD中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）；（2）解：AB⊥DE．理由：如图延长DE交AB于点F，∵△ABC≌△EDC，∴∠B＝∠D，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠D+∠A＝90°，∴∠AFD＝90°，∴AB⊥DE．4．（2023•黄石模拟）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．【分析】（1）由ASA证明△ABD≌△COD即可；（2）理由全等三角形的性质即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠FCD，在△ABD和CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．5．（2023春•嘉定区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解．【解答】（1）证明∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA）；（2）解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝75°，∴∠DBC＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝30°．6．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（AAS）；（2）由（1）知△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2，∵AB＝8，∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，故CD的长为4．7．（2023•朔城区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接AE，CF．（1）若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF；（2）在（1）的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠CFD，∵BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：AF＝CE，理由如下：如图：∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD，AE＝CF，在△ABF和△CDE中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AF＝CE．8．（2023春•岑溪市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BE＝DF；AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质可得AE＝CF，可证四边形AECF是平行四边形，可得AO＝CO．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）如图，∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥BD，∴四边形AECF是平行四边形，∴AO＝CO．9．（2023春•梅州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝42°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝42°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝118°时，∠EDC＝°，∠AED＝°；（2）若DC＝3，试说明△ABD≌△DCE；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD＝25°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝42°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）当DC＝3时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝3，证明△ABD≌△DCE；（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝42°，∵∠ADE＝42°，∠BDA＝118°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝20°+42°＝62°，故答案为：20；62；（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，理由：∵AB＝3，DC＝3，∴AB＝DC，∵∠C＝42°，∴∠DEC+∠EDC＝138°，∵∠ADE＝42°，∴∠ADB+∠EDC＝138°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+42°＝112°；②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝42°＝∠C，此时，点D与点B重合，不合题意；③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝42°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝42°+42°＝84°；综上所述，当∠BDA的度数为112°或84°时，△ADE的形状是等腰三角形．10．（2023春•甘州区校级期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，∠A+∠BEC＝度；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的性质得到∠EBC＝ABC，∠ECB＝ACB，于是得到结论；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°+BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°，∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°；故答案为：180．（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC＝ABC，∠ECB＝ACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，∵∠BAC＝60°，∴∠BEC＝90°+BAC＝120°，∴∠FEB＝∠DEC＝60°，∵EM平分∠BEC，∴∠BEM＝60°，在△FBE与△EBM中，，∴△FBE≌△EBM，∴EF＝EM，同理DE＝EM，∴EF＝DE．11．（2023春•佛山月考）已知，如图1，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD上一个动点（不与点A，D重合）．分别过点E和点C作AB与AD的平行线交于点F，连AF．（1）求证：AF＝BE；（2）如图2，延长BE交AC于点G，若BG⊥AC，且AD＝BG，请判断EG与AE的数量关系，并说明理由．​【分析】（1）过点D作DM∥AB交FC于点M，连接AM，证明△ABD≌△MDC（ASA），推出AB＝MD，再证明四边形EDMF和四边形ABEF是平行四边形，可得结论；（2）过点D作DN∥BG交AC于点N，根据平行线分线段的性质得CN＝GN，根据三角形中位线定理得DN＝BG，再根据直角三角形边角的关系得∠DAN＝30°，可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，过点D作DM∥AB交FC于点M，连接AM，∵DM∥AB，∴∠MDC＝∠ABD，∵CF∥AD，∴∠MCD＝∠ADB，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD≌△MDC（ASA），∴AB＝MD，∵AB∥EF，∴EF∥DM，∵DE∥FM，∴四边形EDMF是平行四边形，∴DM＝EF，∴AB＝EF，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AF＝BE；（2）解：EG＝AE，理由：如图2中，过点D作DN∥BG交AC于点N，∵BD＝CD，DN∥BG，∴CN＝GN，∴DN＝BG，∵AD＝BG，∴DN＝AD，∵BG⊥AC，DN∥BG，∴DN⊥AC，∴∠AND＝90°，∴∠DAN＝30°，∴EG＝AE．12．（2023春•子洲县期末）【问题背景】如图，AB∥CD．连接BC，点E，F在BC上，且BF＝CE，连接AE，DF，且∠A＝∠D．【问题探究】（1）试说明：AE＝DF：（2）若AB＝CF，①试判断△CDF的形状，并说明理由：②若∠B＝30°，求∠DFB的度数．【分析】（1）根据AB∥CD可证明∠B＝∠C，根据BF＝CE可证明BE＝CF，再依据AAS证明△ABE≌△DCF即可得到结论；（2）①证明CD＝CF即可得出结论；②由平行线的性质得出∠C＝30°，再根据△CDF是等腰三角形求底角的度数即可解答．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BF＝CE，∴BF+EF＝CE+EF．即BE＝CF，在△ABE和△DCF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，BE＝CF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF；（2）①△CDF是等腰三角形；理由：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，∵AB＝CF，∴CD＝CF，∴△CDF是等腰三角形；②∵AB∥CD，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∵△CDF是等腰三角形，∴，∴∠DFB＝180°﹣∠CFD＝105°．13．（2023春•漳州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接AE，BD交于点F，∠BAC＝∠BFE＝2∠AEB．（1）说明：∠EAC＝∠ABD；（2）若BD平分∠ABC，BE＝15，AF＝6，求△BEF的面积；（3）判断EF，BF，AF之间的数量关系，并加以说明．【分析】（1）根据∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，∠BAC＝∠BFE，即可证明结论；（2）过点F作FG⊥BC于点G，求出∠ABE+∠AEB＝90°，得出∠BAE＝180°﹣90°＝90°，证明FA⊥AB，根据角平分线的性质得出FG＝AF＝6，根据三角形面积公式求出；（3）在BD上截取BH＝AE，连接AH，证明△ABH≌△CAE（SAS），得出∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，证明∠HAF＝∠AHF，得出AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，即可证明结论．【解答】（1）证明：∵∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，又∵∠BAC＝∠BFE，∴∠BAE+∠EAC＝∠BAE+∠ABD，∴∠EAC＝∠ABD；（2）解：过点F作FG⊥BC于点G，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABE，∴，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝180°﹣90°＝90°，∴FA⊥AB，∵BD平分∠ABC，FG⊥BC，∴FG＝AF＝6，∴；（3）解：2AF＝BF﹣EF；理由如下：在BD上截取BH＝AE，连接AH，如图所示：在△ABH和△CAE中，，∴△ABH≌△CAE（SAS），∴∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，∴，根据解析（2）可知，∠BAE＝90°，∴∠HAF＝90°﹣∠BAH＝90°﹣∠C，∴∠HAF＝∠AHF，∴AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，∴2AF＝BF﹣EF．14．（2023春•宣汉县校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD＝BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝在△ACD和△CBE中，（）∴△ACD≌△CBE，（）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；（2）结论：DE﹣BE＝AD，只要证明△ACD≌△CBE即可解决问题；【解答】解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，（）∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．故答案为：∠CBE，，AAS，AD＝CE．（2）不成立，结论：DE﹣BE＝AD．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE﹣BE＝DE﹣DC＝CE＝AD．15．（2022秋•邹城市校级期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．【分析】（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题；（2）如图2，同理可得：EF＝BE+DF；（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．【解答】解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（3）当（1）结论EF＝BE+FD成立，当图三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．同理可得：∴EG＝EF∵EG＝BG﹣BE∴EF＝FD﹣BE．故答案为：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．16．（2023春•荣成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B两点作互相平行的直线AM，BN，过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判断线段AD，DC与BE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）延长AC交BN于点F，证明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出结论；（2）在EB上截取EH＝EC，连接CH，证明△DAC≌△HCB（AAS），得出AD＝CH，DC＝BH，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1，延长AC交BN于点F，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，又∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠AFB，∴BC＝CF，∴AC＝FC，又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（ASA），∴DC＝EC；（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：如图2，在EB上截取EH＝EC，连接CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．17．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再加上BP＝CQ＝3，PC＝BD＝5，则可判断△BPD与△CQP全等；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10＝30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．【解答】解：（1）∵BP＝3×1＝3，CQ＝3×1＝3，∴BP＝CQ，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝5，∵CP＝BC﹣BP＝5，∴BD＝CP，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解得：x＝10，∴点P运动的路程为3×10＝30，∵30＝28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．18．（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为CD的中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长．（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求证：BD+CF＝AB．【分析】（1）利用三角形面积之间的关系进行转化，可得：S△AEC＝6，再利用三角形面积公式可求得AB＝6；（2）通过倍延中线构造全等三角形的方法，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，则△BED≌△GEC（SAS），再证明：△ABF≌△GBC（AAS）即可．【解答】（1）解：∵AD＝2BD，S△BDC＝6，∴S△ACD＝2S△BCD＝2×6＝12，∵E为CD中点，∴S△ACE＝S△ACD＝6，∵EH⊥AC，∴AC•EH＝6，∵EH＝2∴AC＝6∵AB＝AC∴AB＝6（2）证明：如图2，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，在△BED和△GEC中，，∴△BED≌△GEC（SAS），∴BD＝CG，∠ABE＝∠G，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，即：∠ABF+∠CBF＝∠ACB，∵∠BAC＝∠CBF，∴∠ABF+∠BAC＝∠ACB，∵∠BFC＝∠ABF+∠BAC，∴∠BFC＝∠ACB，∴BF＝BC，∵∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，∴∠BAC＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF，∴∠ABF＝∠GBC，在△ABF和△GBC中，，∴△ABF≌△GBC（AAS），∴AF＝CG，又∵BD＝CG，∴AF＝BD，∵AF+CF＝AC，AB＝AC，∴BD+CF＝AB．19．（2022秋•莱州市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC＝α．（1）如图1，若α＝60°，连接CE，DE．则∠ADE的度数为；BD与CE的数量关系是．（2）如图2，若α＝90°，连接EC、BE．试判断△BCE的形状，并说明理由．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE是等边三角形，然后证明△ABD≌△ACE（SAS），即可解决问题；（2）根据已知条件证明△ABC，△ADE是等腰直角三角形，然后证明△ABD≌△ACE（SAS），可得∠ABD＝∠ACE＝45°，进而可以解决问题．【解答】解：（1）当∠DAE＝∠BAC＝α＝60°时，∵AE＝AD，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，故答案为：60°，BD＝CE；（2）△BCE是直角三角形，理由如下：当∠DAE＝∠BAC＝α＝90°时，∴△ABC，△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴△BCE是直角三角形．20．（2023春•本溪期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F．（1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF．（2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？【分析】（1）过点D作DG∥AC，交BC于点G，利用平行线的性质和等边对等角证明∠DGB＝∠B，得到BD＝GD，进而推出GD＝CE，再证明△DGF≌△ECF，即可证明DF＝EF；（2）分当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，先证明△DHB≌△EOC，得到BH＝CO，进而求出HO＝4，再证明△DHF≌△EOF，得到HF＝OF＝2，再根据线段之间的关系求出BH的长即可．【解答】（1）证明：过点D作DG∥AC，交BC于点G．∴∠DGB＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴BD＝GD，∵BD＝CE，∴GD＝CE，∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，在△DGF和△ECF中，∴△DGF≌△ECF（ASA），∴DF＝EF；（2）解：如图所示，当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠OCE，又∵∠DHB＝∠EOC＝90°，BD＝CE，∴△DHB≌△EOC（AAS），∴BH＝CO，∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4，∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO，DF＝EF（由第一小问已经证明），∴△DHF≌△EOF（AAS），∴，∵CF＝1，∴BH＝CO＝OF﹣CF＝2﹣1＝1；当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，同理可证△DHB≌△EOC，△DHF≌△EOF，∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4，∴，∵CF＝1，∴BH＝CO＝OF+CF＝2+1＝3；综上所述，BH的长为1或3．21．（2023春•东源县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根据题意得DQ＝tcm，则EQ＝（8﹣t）cm，由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝8cm，在△ACP和△ECQ中，，∴△ACP≌△ECQ（ASA），∴AP＝EQ，当0≤t≤4时，2t＝8﹣t，解得：t＝；当4＜t≤8时，16﹣2t＝8﹣t，解得：t＝8；综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为或8．22．（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．【分析】（1）依据BD＝CE＝2t，可得CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，再根据当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），可得t的值；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，根据12﹣2t＝8，可得t的值；（3）依据∠CDE＝∠BAD，∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，即可得到∠ADE＝∠B，再根据∠BAC＝α，AB＝AC，即可得出∠ADE．【解答】解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案为：3；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案为：90°﹣α．23．（2022秋•通川区期末）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．（1）如图，当∠ACB＝90°时；①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是．（用含α的代数式表示）【分析】（1）①首先证明CM＝CN，再利用SAS证明△BCM≌△ACN；②由平行线的性质和等腰三角形的性质可知∠BDE＝∠CAN+∠EAD，从而解决问题；（2）由②同理可解决问题．【解答】（1）①证明：∵CA＝CB，BN＝AM，∴CM＝CN，在△BCM和△ACN中，，∴△BCM≌△ACN（SAS）；②解：∵△BCM≌△ACN，∴∠CBM＝∠CAN，∵AG∥BC，∴∠CBM＝∠ADM，∴∠ADM＝∠CAN，∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAG＝90°，∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD＝90°；（2）解：当点E在直线AG上方时，由②同理可得∠BDE＝∠CAN+∠EAD，∵∠ACB＝α，∴∠CAG＝α，∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD＝180°﹣α，当点E在直线AG下方时，同理可得∠DBC＝∠CAN＝∠ADB，∠ACB＝∠DAC＝α，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠BDE＝∠DAC＝α，故答案为：180°﹣α或α．24．（2023春•菏泽月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）△DAE和△CFE全等吗？说明理由；（2）若AB＝BC+AD，说明BE⊥AF；（3）在（2）的条件下，若EF＝6，CE＝5，∠D＝90°，求E到AB的距离．​​【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE＝EF，AD＝CF，由于AB＝BC+AD，等量代换得到AB＝BC+CF，即AB＝BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论；（3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，得到∠ABE＝∠FBE，根据角平分线的性质即可得到结果．【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵AB＝BC+AD，∴AB＝BC+CF，即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SSS），∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴BE⊥AE；（3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，∴∠ABE＝∠FBE，∴E到BF的距离等于E到AB的距离，∵CE⊥BF，CE＝5，∴点E到AB的距离为5．25．（2023•宁阳县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．（1）求证：HC＝HB；（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；（3）求证：∠BEH＝45°．【分析】（1）根据∠BCH＝∠HBC＝45°可得HC＝HB；（2）利用SAS证明△AHC≌△DHB，得BD＝AC，∠1＝∠2，从而说明BD与AC垂直且相等；（3）过点H作HF⊥HE交BE于点F，利用ASA证明△CHE≌△BHF，得EH＝FH，即可证明结论．【解答】（1）证明：∵CH⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠BCH＝180°﹣（∠CHB+∠HBC）＝45°，∴∠BCH＝∠HBC，∴HC＝HB；（2）解：BD＝AC；BD⊥AC；证明如下：如图，在△AHC和△DHB中，∴△AHC≌△DHB（SAS），∴BD＝AC，∠1＝∠2，∵∠CDE＝∠BDH，∴∠AEB＝∠BHC＝90°，∴BD⊥AC；（3）证明：过点H作HF⊥HE交BE于点F，∴∠FHE＝90°，即∠4+∠5＝90°．又∵∠3+∠4＝∠BHC＝90°，∴∠5＝∠3，在△CHE和△BHF中，∴△CHE≌△BHF（ASA），∴EH＝FH，又∵∠FHE＝90°，∴．26．（2023春•榆林期末）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，AF⊥OM于F，BE⊥OM于E．小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OAF＝α，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OBE＝β．已知C，M，D三点共线，α与β互余，且OA＝OB，AF＝8m，ME＝3m，求办公楼的高度OM．【分析】根据余角的定义可得∠OAF+∠OBE＝90°，再根据垂直定义可得∠AFO＝∠OEB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠OAF+∠AOF＝90°，进而可得∠AOF＝∠OBE，然后利用AAS证明△AFO≌△OEB，从而利用全等三角形的性质可得OE＝AF＝8m，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵a与β互余，∴∠OAF+∠OBE＝90°，∵AF⊥OM，BE⊥OM，∴∠AFO＝∠OEB＝90°，∴∠OAF+∠AOF＝90°，∴∠AOF＝∠OBE，在△AFO和△OEB中，，∴△AFO≌△OEB（AAS），∴OE＝AF＝8m，∵ME＝3m，∴OM＝OE+EM＝AF+EM＝8+3＝11（m），∴办公楼的高度OM为11m．27．（2023春•分宜县期末）如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．（1）求证：DA平分∠CDE；（2）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？【分析】（1）由“AAS”可证△ACM≌△ABN，可得AM＝AN，由角平分线的性质可得结论；（2）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．【解答】（1）证明：如图，过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，则∠AMC＝∠ANB＝90°．∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，∴∠ABD＝∠ACD；∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，∴AD平分∠CDE；（2）解：∠BAC的度数不变化．如图，在CD上截取CP＝BD，连接AP．∵CD＝AD+BD，∴AD＝PD，在△ABD和△ACP中，，∴△ABD≌△ACP（SAS），∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，∴AD＝AP＝PD，∴△ADP是等边三角形，∴∠DAP＝60°．∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．28．（2023春•萧县期末）在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，则称△ABC为6倍角三角形．（1）