高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式学案-人教版高三全册数学学案

第1讲不等关系与不等式

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值

1.能够从实际背景中抽象出不等关系.

2017不等式性质152019年预计考查：①利用性质判

T2.明确不等式各个性质中结论成立的

断有关结论是否正确；②求参数的取值

前提条件.

2016III比较大小75范围；③不等式与命题结合；④不等式

3.熟练应用不等式的相关性质解不等

性质与实数、函数相结合.

式及证明不等式.

2015

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a—6>0=以；a—b=2a=b；a~

b<O0a〈b.另外,若6〉0,则有］〉lQa>6；^=\=a=b；微〈loa<6.

---bbb

考点2不等式的性质

1.对称性：a>b^b^a-,

2.传递性：a>b,b>c=>a>c；

3.可加性：c>Z?+c；a>b,c>d=^a,~\-c>Z?+d；

4.可乘性：a）b,c>0=>ac>bc\a>b,c<0=>ac^bc}Gb>0,c><2>0=>ac>bd^

5.可乘方性：H〉力〃22）；

6.可开方性：3>6>0=〃22）.

［必会结论］

11

1.a>b,aH>0=>-<7.

ab

11

2.水0〈心一〈7.

ab

ab

3.a>Z?>0,0<c<6fc>—>~

cd

-111

4.0〈水或a<T<ZK0=>7<_<_.

bxa

_4「力b+mbb—m,、aa-\~maa—m,、

5.右a>b>0,%>0,贝卜<-;-；一〉----（6—勿>0）；~;7<7---（6-加>0）・

aa-rmaa—mbb-vmbb—m

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.（正确的打“J”，错误的打“义”）

⑴两个实数86之间，有且只有司>6,a=b,水6三种关系中的一种.（）

(2)若q>1,贝!Ja>b,()

b

⑶一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.()

⑷一个非零实数越大，则其倒数就越小.()

..ab,、

(5)a>b>0,()

(6)若ab>0,则()

ab

答案⑴V(2)X(3)X(4)X(5)V(6)V

2.［课本改编］设此VN=—X—1,则〃与N的大小关系是()

A.M>NB.M=NC.帆ND.与x有关

答案A

解析M-N=x-\-x+\^f)2+1>0,所以粉”

3.［课本改编］若眇力0,c<d<09则一定有()

abab

A.->3B.-<3

cdcd

答案D

解析由*火0,得一当」>(),又力力0,故由不等式性质，得一刍，>0,所以*2

dcdede

故选D.

4.［课本改编］若a,b,cGR,且a〉6,则下列不等式一定成立的是()

A.a+c>6—cB.(a—6)(/>0

C.ayl)D.J〉甘

答案C

解析对于A,由于不知道c的正负，故无法判断a+c与6—c的大小关系，所以错误;

对于B,当c=0时，(a—6)c>0不成立，所以错误；对于D,需要保证a>b>0,才能得到a>fj,

所以错误.故选C.

5.［2018•浙江模拟］设a,6是实数，则“a+6>0”是“a力0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案D

解析若a+»0,取a=3,b=~2,则a6〉0不成立；反之，若a=-2,b=~3,则a

+6〉0也不成立，因此“a+6〉0”是“劭>0”的既不充分也不必要条件.选D.

6.已知一2<j<3,则x—y的取值范围是,3x+2y的取值范围是.

答案(一4,2)(1,18)

解析V-KX4,2<X3,.\-3<-y<-2,

~4<x~jK2.

由一1<X<4,2<J<3,得一3<3水12,4〈2人6,

.,.K3^+2j<18.

板块二典例探究•考向突破

考向“不等式的性质

例1(1)对于任意实数a,b,c,d,下列命题中正确的是()

A.若a>b,c#0,则ac>bc

B.若a〉6,则acybc

C.若acybc,则a>b

I1

贝r-

a8

答案c

解析对于选项A,当c〈0时，不正确；

对于选项B,当c=0时，不正确；

对于选项C,Vacybc,・・・cWO,：.c>Q,工一定有.故选项C正确；

对于选项D,当a>0,伏。时，不正确.

(2)已知四个条件：①6>0>a；②0>己>6；③z>0>6；©a>b>09能推出一4成立的是

ab

答案①②④

解析运用倒数法则，a>b,a垃0今又；，②④正确.又正数大于负数，所以①正确.

ab

触类旁通

利用不等式性质进行命题的判断

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利

用不等式的性质.

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考

虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时还要用到其他知识，比

如对数函数，指数函数的性质等.

【变式训练1](1)已知a,b,c满足c<6〈a,且ac〈O,那么下列选项中一定成立的

是()

A.at>>acB.c(b—a)<0

C.cl｝〈a甘D.ac^a~c)>0

答案A

解析由长次女且ac<0知c<0且a>0.

由b〉c得一定成立.

(2)若口幺0,则下列不等式：

①a+伙劭；②|a|>|6|；③水6；④劭中，正确的不等式有.

答案①④

解析因为是〈0,

ab

所以欣a<0,a+Z?<0,ab>0,

所以刘+伙勖，|,在伏a两边同时乘以6,

因为仅0,所以ab<lj.因此正确的是①④.

考向图比较代数式的大小

丫龛题角度.L…作差法

/22

例2⑴[2018.上海徐汇区模拟]若水。,次0,则〃与它a+6的大小关系

为（）

A.丛qB.pWqC.p>qD.p^q

答案B

A22

解析（作差法）p—q=—十三一a—b

ab

ID_aa一片（1

=-----*--7/22x

ab\abj

（一—才）（，一/）（6-a）,（Z?+a）

abab

因为水0,伙0,所以a+ZKO,ab>0.

若a=b,则夕一q=0,故夕=s若则0一0〈0,故

综上，pWq,故选B.

（2）已知水0,—KZK0,则a,ab,9/的大小关系是.

答案a<al}<ab

解析.：a—ab=a（\—b〈0,：.a〈ab「：ab—al}=ab（\一抗）金，：.a母al}「：a—aB=a（\

—/?2）<0,・••水HZ??.综上，a〈aB〈ab.^^a〈aB〈ab.

y命题角度2…作商法

a~\~b

、八2

例3已知a>0,Z?>0,且试比较aZ与（ab）的大小.

解Va>0,b>0,

a+ba+ba—bb—aa—b

.99—亍）（，一亏）2"（a\T~

•・]~z—-ab—­o,b—­-7，

a+b\b）

2

（的

若a>6>0,则彳〉1,a—b>0.

a—b

由指数函数的性质s2>1;

若b〉a〉O,则0<z<l,a-b<0.

a-b

由指数函数的性质s2>1.

a+6

al)b/2

--------1厂〉1，:・aab>(a6).

a-Vb

2

(的

?全题角度3…放缩法

1

428n-

例4(1)[2018•九江模拟]已知a=3102

gl一

3

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>U>aD.b>a>c

案

答A

1

2-

角军析Va=3>1,0<Z?=logl-=log2<l,

一N3

3

c=log2-<0,a>b>c.故选A.

xx

(2)设入>0,P=2+2~fg(sinx+cosx)：贝!J()

A.P>QB.P<QC.P^QD.P^Q

答案A

解析因为2*+2一新242*・2-'=2(当且仅当x=0时等号成立)，而x〉0,所以P>2；

又(sinx+cosx)2=l+sin2x,而sin2^r^l,所以32.于是/>Q.故选A.

触类旁通

比较大小的常用方法

(1)作差法；

(2)作商法;

(3)放缩法：在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照

式(或数)，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.有时，等号成立的条件

是比较大小的关键所在.

考向3口不等式性质的应用

例5己知一1<X+J<4且2<x—j<3,则z=2x—3y的取值范围是、.(答案用

区间表示)

答案(3,8)

解析解法一：设2x—3尸A(x+y)+u(jr—y)=(4+〃)x+(4—〃)y,

4+〃=2,

对应系数相等，则

4—U——3

15

2x—3y=--(x+y)+~{x—y)e(3,8).

'a~\-b

\a-x-\-y,x2'

解法二：令，・・・〈7

[b=x—y,a-b

〔尸丁

/.2x-3y=-3(^7^)=-f+|^e(3,8).

—l<jr+y<4,

解法三：由

2<x一爪3

确定的平面区域如图阴影部分.

97

目标函数z=2x—3p可化为y=-x—~,由线性规划知识可求出2x—3片(3,8).

触类旁通

利用不等式性质求代数式的取值范围

由a〈f(x,y)<b,c〈g(x,y)<d,求尸(x,y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设

F(x,y)=mf{x,y)+ng(x,y)(或其他形式)，通过恒等变形求得如〃的值，再利用不等式

的同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x,y)的取值范围.

Yv

【变式训练2】若实数x,y满足3Wx/W8,4W—W9,则F的最大值是.

yy

答案27

殳111X

解析解法一：由4W—W9,可知x>0,y>0,且-16WFW81,由

yQxy6y

性质6,得2WFW27,故f的最大值是27.

yy

解法二：设"=g"(x")〃，

2%+〃=3,历=2,

所以即

2〃一勿=-4,[n=­l.

又•••16<Q2<81,

；.2WFW27,故f的最大值为27.

yy

(----------------------1运8师笔记•归纳领悟I---------------------

MINGSIIIBIJIC,^^GUINALINGWU

D核心规律

L用同向不等式求差的范围.

<0a—d〈x一火b—c.

〔c〈y<d[―d<—y<.~c

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.

2.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要

步骤：作差一一变形一一判断正负.在所给不等式完全是积、商、幕的形式时，可考虑作商.

3.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法.

1，满分策略

1.a>Qad>bc或a<b=>ac〈bc,当cWO时不成立.

2.a>A=>-<7或水心->7，当H时不成立.

abab/?W0

3.a>A=>a'>6"对于正数a,6才成立.

4.弓>l=a>8,对于正数a,6才成立.

b

5.注意不等式性质中“=”与“今”的区别，如：a>b,b>c^a>c,其中公。不能推出

a>b,

b>c.

板块三启智培优•破译高考

题型技法系列8——巧用特殊值判断不等式问题

[2016•山东高考]已知实数为y满足d<4（0<水1）,则下列关系式恒成立的是（）

A.In（/+l）>ln（y+1）

B.sinx>siny

C.xyy

11

D-7+T>7+T

解题视点（i）采用边选边排除的思想；（2）在选与排除的过程中采用特值法验证，简化

了过程，提高了准确率.

解析解法一：因为实数x,y满足a*〈a'（0〈a〈l）,所以x>y.

对于A,取x=l,y=-3,不成立；

对于B,取X=H,y=—n,不成立；

对于C,由于f（x）=f在R上单调递增，故V〉/成立；

对于D,取x=2,y=-1,不成立.故选C.

解法二：根据指数函数的性质得x>y,此时步，/的大小不确定，故选项A,D中的不

等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，

选项C中的不等式成立.

答案C

答题启示（1）当选择题中包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法.

（2）在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可

采用多次赋值法验证结论是否成立.

/跟踪训练

[2018•烟台模拟]若呈〈0,则下列不等式：

ab

^3；②|a|+6〉0；③a—④Ina2>lnN中，正确的不等式是（）

A.①④B.②③C.①③D.②④

答案C

解析解法一：因为是〈0,故可取a=—1,b=-2,

ab

显然工=—2,故①正确,排除B、D,

a-\~b3abz

对于③中，a--1——7=0,

a—1

故己一,>6—）成立，排除A.选C.

ab

解法二：由可知伏水0.

ab

①中，a+伙0,ab>0,所以97<0,々>0,

a-\~bab

故有七〈3,故①正确，排除B、D；

a-vbab

③中，因为仇a〈0,又因为又）〈0,

ab

1

以

所6

36-故③正确，排除A.选C.

板块四模拟演练•提能增分

[A级基础达标]

1.[2018•金版创新]设c>0,则下列各式成立的是（）

T

A.c>2°B.c>

C.2。〈曲D.2。〉曲

答案D

解析c〉0时，2。>1,七）〈1,所以2°〉g）.

2.［2018•宁波模拟］若a〈伙0,则下列不等式错误的是（）

1111

A.->7B.---7〉一

aba-ba

C.|a|>|Z?|D.

答案B

解析Va<ZK0,：.~>^,故A对.Va<A<0,：.0<~b,a<a~b<0,故B错.：

abaa-b

水伙0,-a>—b>0,即|—a\y\—b\,/.|a|>|Z?|,故C对..：水b<0,—a>—6>0,・，・（一

a）2>（—Z?）2,即才>9,故D对.故选B.

JIit

3.若x,p?两足一^</水7，则x—p的取值范围是（）

A.（W°）

B，（212）

（nnA

/-去°）D-L不力

答案A

JIJlJI

解析由x〈y,得x—j<0.又：一了〈x—J,丁，；•一-^-<x—jKO.

4.设a>6〉0,下列各数小于1的是（、，1

b-B

A.2T

D-

答案D

解析解法一：（特殊值法）

取3=2,6=1,代入验证.

解法二：尸H”（a>0且aWl）.

当a>l,£>0时，y>l；当0〈水1,入〉0时,

Va>Z?>0,a—Z?>0,］〉1,

由指数函数性质知，D成立.

5.[2。18.广西模拟]若a,6为实数,贝与土成立的一个充分而不必要的条件是（）

A.b\a\QB.a\b

C.6（H—6）>0D.a>b

答案A

1

则<

解析由成立的条件是碗>0,即a,6同号时，若a>b,6-a,6异号时,

ab

若a>b,则匕

ab

6.设0<从水1,则下列不等式成立的是（）

A.aZKZ?<1B.logl/Klogl水0

22

C.2\2a<2D.a<ab<l

答案C

解析解法一：(特殊值法)取6=(,a=1.

解法二：(单调性法)

0<ZKa=>ID^ab,A不对；

y=logj_x在(0,+8)上为减函数，

2

/.logl^6>log!a,B不对;

22

3>6>0=a>ab,D不对.故选C.

7.若a=2°6,6=10gli3,c=log2sin^-,贝!!()

5

A.a)U>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

答案A

2JI

角军析因为a=2°,6>2°=l,又logirl<logr3<logr兀,所以0〈从1.c-1ogsin-=-<1og1

JI2u2

=0,于是a>力c.故选A.

8.已知有三个条件：①ac?〉/^；②当白③甘〉田,其中能成为a>b的充分条件的是

CC

答案①

解析由aJybd,可知c2>0,即a>b,故"ac?〉6c2”是，，心旷的充分条件；②当c〈0

时，a〈6；③当a〈0,伙0时，a<b,故②③不是a乂的充分条件.

9.已知a,b,c£R,有以下命题：

①若早;，则41;②若刍〈与，则a〈b；③若a>b,则a•2°〉6•2：

ababcc

其中正确的是(请把正确命题的序号都填上).

答案②③

解析①若cWO,则命题不成立.②由月〈々得二〈0,于是水6,所以命题正确.③中

CCC

由2c>0知命题正确.

10.[2018•临沂模拟]若x>y,a>b,则在①女一子>6—/②H+X>6+JS③皿by,@x

~b>y~a,⑤这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是,

yx一

答案②④

解析令x=-2,y=—3,a=3,b=2,

符合题设条件x>y,a>b,

*.*a—x=3—(—2)=5,b-p=2—(—3)=5,

/.a—x=b-y,因此①不成立.

又,.・3X=-6,by=~&,ax=by,因此③也不正确.

因此⑤不正确.

yx

由不等式的性质可推出②④成立.

[B级知能提升]

1.已知"，&£(0,1),记"=明的N=ai+a2—1,则〃与N的大小关系是()

A./NB.M>NC.M=ND.不确定

答案B

解析M—N=&1改—(国+4-1)=a&