湖北省石门县第六中学2024-2025学年高二数学下学期期末考试试题

PAGE9-湖北省石门县第六中学2024-2025学年高二数学下学期期末考试试题（时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。设均为直线,其中在平面的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A.B.C.D.3．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]上的图象可能是（）4.曲线在点处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.QUOTE5.已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交椭圆于两点,若的周长为,则的方程为(

)A. B.C. D.

6..已知直三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.7.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与,两点，则是正三角形，则椭圆的离心率是（）ABCD8.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.下列结论中，全部正确的结论有()A若，则.B.若,则 C.当时， D.若，则;10.已知菱形中,与相交于点,将沿折起,使顶点至点处,在折起的过程中,下列结论正确的是()A.B.存在一个位置,使为等边三角形C.与不行能垂直D.直线与平面所成的角的最大值为60°11.已知方程表示的曲线为C.给出以下四个推断，其中推断正确的是()A.当时，曲线C表示椭圆B.当或时，曲线C表示双曲线C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则12.对于函数，下列说法正确的是()A.在处取得极大值B.有两个不同的零点C.D.若在上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若直线过点，则的最小值为___________14．若,且,则实数.15.曲线在点（）处的切线方程为____________.16.函数的单调递减区间是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）某河上有座抛物线形拱桥,当拱桥高出水面时,桥洞水面宽为,每年汛期,船工都要考虑拱桥的通行问题.一只宽,高的装有防汛器材的船,露出水面部分的高为,要使该船能够顺当通过拱桥,试问水面距离拱顶的高度至少为多少?18.（12分）已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程.(2)是否存在被点平分的弦?假如存在，求出弦所在的直线方程；假如不存在，请说明理由.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面,,，，为中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20.（12分）已知函数，（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值和最小值．21.（12分）如图,椭圆经过点,且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点),证明：直线与的斜率之和为定值22.（12分）已知函数.（1）探讨在其定义域内的单调性；（2）若，且，其中,求证：.数学答案选择题：1-5.ABADA6-8.CBC多选题:9.ACD10.ABD11.BCD12.ACD三．填空题：１3.8１4.１5.答案：１6.四．解答题：１７．答案：以抛物线形拱桥的拱顶为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.设当水面与拱顶相距时,船恰好能通过.设抛物线方程为………1分因为点在抛物线上,所以,得,故.………5分当船恰好能通过时,设船宽等于,则点的横坐标为2,代入,得点的纵坐标,所以,………10分因此,水面距离拱顶至少,船才能顺当通过此桥.１８.(12分)答案：(1)由双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线方程为，代入，可得，所以双曲线C的标准方程为.………5分假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l.设是弦的中点，设，则.因为点在双曲线C上，所以它们的坐标满意双曲线方程，即两式相减得，所以，所以直线l的斜率，所以直线l的方程为，即.………9分联立直线l与双曲线方程得消去y，得，明显，所以直线l与双曲线无交点，所以直线l不存在，故不存在被点平分的弦.………12分１９【解析】（I）设交于点，连结.因为底面是矩形,所以为中点.又因为为中点,所以∥.因为平面平面,所以∥平面.………4分（II）取的中点，连结，.因为底面为矩形,所以.因为，,所以∥，所以.又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.所以PO⊥平面ABCD，如图，建立空间直角坐标系,则，设平面的法向量为，所以令，则，所以.平面的法向量为，则.如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.………8分（Ⅲ）在棱上存在点,使.设,则.因为,所以..因为,所以.所以，解得.所以在棱上存在点,使，且.…12分２０．答案：（1）因为，所以由得或故函数的单调递增区间为；由得，故函数的单调递减区间为…6分（2）令得由（1）可知，在上有微小值而，因为所以在上的最大值为4，最小值为．…12分21.答案：(1)由题设知,结合,解得所以椭圆的方程为…….4分(2)证明：由题设知,直线的方程为,…….6分代入,得由已知,设,,则……8分从而直线的斜率之和.…….10分(定值)得证…….12分22.答案：（1）[1]当时，，则在区间上单调递增；…….3分[2]当时，在区间上单调递增；