第1章 信号与系统的基本概念

信号与系统信号与系统——多媒体教学课件长沙理工大学电气学院电子信息工程系X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第1章

信号与系统的基本概念q1.0

引言q1.1

信号的描述和分类q1.2

信号的基本特性q1.3

信号的基本运算q1.4

奇异信号q1.5

系统的描述q1.6

系统的特性和分类q1.7

信号与系统分析方法X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第1章

信号与系统的基本概念1.0

引

言思考：什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？q

信号(signal)：是信息的载体，是随时间等参数变化的物理量。如上课铃声、红绿灯、电视画面都是信号。一般将文字、声音、图像和数据等统称为消息，把消息中有意义的内容称为信息。本课程对“信息”和“消息”两词不加严格区分。一段鸟鸣的声音信号X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.0

引

言q

系统(system)：由若干相互作用和相互联系的事物组合而成的具有特定功能的整体。y(t)f(t)如手机、电视、广播、雷达、计算机网等都可以看成系统。输入信号(激励)输出信号(响应)系统系统的方框图描述q

信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。u信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号u系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理，没有信号,系统的存在就没有意义。如电力系统、通信系统、控制系统、经济系统、生态系统等。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第1章

信号与系统的基本概念1.1

信号的描述和分类1.1.1

信号的描述u信号是携带信息（如声音，图像，数据等）的随时间变化的物理量或物理现象（如声，光，电等）。u信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理；其基本形式是随时间变化的电压或电流。本课程讨论电信号---简称“信号”。解析式（时间的函数）波形图测量或统计数据“信号”与“函数”两词常相互通用u

信号描述X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.1

信号的描述和分类u一维信号：单个独立变量的函数

f(t)或

f(k)，如语音信号。u多维信号：n(n≥2)个独立变量的函数

f(t

,

t

,……,t

)，如图1

2n像信号。本课程主要讨论一维的确定性信号1.1.2

信号的分类1.

按信号随时间的变化规律分：确定性信号是指可以用确定时间函数描述的信号。随机性信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。X长沙理工大学

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信号的描述和分类2.

按时间自变量取值是否连续分：模拟信号(时间和幅值均连续)连续(时间)信号离散(时间)信号量化信号(时间连续，幅值可量化)抽样信号(时间离散，由连续信号抽样得到)数字信号(时间离散，幅值可量化)量化信号模拟信号抽样f(k)f(k)数字信号抽样信号量化kkOO长沙理工大学

电气与信息工程学院X信号与系统1.1

信号的描述和分类f

(t)例题连续信号判断右列波形描述的是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？Otf

(t)离散信号O

1

2

3

4

5

6

7

8t离散信号数字信号f

(t)(1

2

3

)只有

，，值321O

1

2

3

4

5

6

7

8tX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.1

信号的描述和分类3.

周期信号和非周期信号周期信号是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。u连续周期信号

f(t)满足f(t)=f(t+

mT)，m

=0,±1,±2,…u离散周期信号

f(k)满足f(k)=f(k+

mN)，m

=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。X长沙理工大学

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信号的描述和分类几种典型的周期信号X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.1

信号的描述和分类例1.1

判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f

(t)=e-2t

cos(2pt+q)

（2）f

(t)=10sin(4pt)e(t)12（3）f

(t)=sin(2t)+cos(3t)

（4）f

(t)=cos(2t)+sin(pt)34结论：两个周期信号x(t)、y(t)的周期分别为T

和T

，若其周12期之比T

/T

为有理数，则其和x(t)+y(t)仍然是周期信号，其12周期为T

和T

的最小公倍数。12解：f

(t)

和

f

(t)

都是非周期信号。12（3）sin(2t)和cos(3t)的周期分别为T

=p

，T

=2p/3，由于12T

/T

为有理数，故

f

(t)为周期信号，其周期为T

和T

的1

2312最小公倍数

2p

。（4）

cos(2t)和sin(pt)的周期分别为T

=p

，T

=2，由于12T

/T

为无理数，故

f

(t)为非周期信号。1

24X长沙理工大学

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信号的描述和分类4.

按信号的能量特点分：能量(有限)信号：能量有界的信号，即

0<E<∞

(此时

P

=0)功率(有限)信号：功率有界的信号，即

0<P<∞

(此时

E=∞)def¥信号u(

)或i(

)加到1Ω电阻上所消耗的能量ò=2信号

f(t)的能量

E

|

f

(t)

|

dt-¥1defTò=|

f

(t)

|2

dt信号

f(t)的平均功率

P

lim2TT®

¥-Tu时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号;u周期信号和阶跃信号e(t)属于功率信号;u非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号;u有些信号既不是能量信号也不是功率信号，如

f(t)=e-2tX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.1

信号的描述和分类5.

实信号与复信号u实信号：信号值只取实数的信号（物理可实现即现实存在=-a=的信号均为实信号），如

f

(t)

Ae

t

，

f

(k)

B

cos(2k)u复信号：信号值取为复数的信号（现实中不存在，为了系=w=

jWkf

(t)

e

j

t

f

(k)

e统的理论分析而引入），如6.

因果信号与反因果信号，u常将t

=0时接入系统的信号

f(t)称为因果信号或有始信号，即t

<0时

f(t)=0，

t

≥

0时

f(t)≠0

。阶跃信号是典型因果信号。u将t

≥

0，

f(t)=0的信号称为反因果信号。还有其他分类：如奇信号与偶信号；左边信号与右边信号等等。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第1章

信号与系统的基本概念1.2

信号的基本特性u时间特性确定信号是一个确定的时间函数，它的解析式或波形都集中体现了信号的时间特性。u频率特性在一定条件下，一个复杂信号可以分解成众多不同频率成份的正弦分量的线性组合，其中每个分量都具有各自的振幅和相位。u能量特性与功率特性任何信号通过系统时都伴随着一定能量或功率的传输，表明信号具有能量特性或功率特性。u信息特性无论确定信号还是随机信号都有一个共同的特性，即信号可以携带或者含有一定的信息。长沙理工大学

电气与信息工程学院X信号与系统第1章

信号与系统的基本概念1.3

信号的基本运算1.3.1

相加和相乘相加：n个信号

f

(t),

f

(t),L,

f

(t)相加构成一个新的信号

f

(t)12nf

(t)

=

f

(t)

+

f

(t)

+

...+

f

(t)即12n信号相加运算可以用加法器来实现，如图所示。信号相加运算及电路图X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算f

(t),

f

(t),L,

f

(t)相乘：n个信号相加构成一个新的信号f

(t)12nf

(t)

=

f

(t)´f

(t)´...´f

(t)即12n信号相乘运算可以用乘法器来实现，如图

(a)所示。信号相乘运算可通过对数电路、求和电路和指数电路来实现，其电路框图如图(b)所示。(a)信号相乘运算(c)数乘运算框图(b)信号相乘运算框图y(t)

=

af

(t)，可用数乘器实现。若信号f(t)乘以实常数a，即得X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算示例1：连续信号的相加或相乘sin(wt)sin(ωt)ttsin(8wt)sin(8ωt)ttsin(ωt)+

sin(8ωt)sin(wt)×sin(8wt)ttX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算示例2：离散信号的相加或相乘ì

2,k

=

-1ì

3,

k

=

0ïïï

3,

k

=

0ï

2,

k

1=f

(k)

=

í1和

f

(k)

=

í2设6,

k

1=4,

k

2=ïïîïï0,

k其他0,k其他îì

2,

k

=

-1ïïì

9

,

k

=

06,

k

=

0ïï=

，

´

=f

(k)+

f

(k)

=

í

8,

k

1

f

(k)

f

(k)

í

12

,

k

1=则1212ïï4,

k

=

20

,k其他îïï0,

k其他îX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算1.3.2

翻转、平移和展缩1.翻转（反折）将

f

(t)

→

f

(–t)

，

f

(k)

→

f

(–k)称为对信号f(·)的翻转或反折。从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算2.平移（移位）将

f

(t)

→

f

(t–t

)

，

f

(k)→

f

(k–k

)称为对信号f(·)的平移00或移位。若t

(或k

)>0，则将f(·)右移；否则左移。如00右移t

→

t–1左移t

→

t+1X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算3.展缩（尺度变换）将

f

(t)

→

f

(at)，

称为对信号f(t)的展缩或尺度变换。若a>1

，波形沿t

轴压缩1/a倍；若0<

a<1

，展开1/a倍。如压缩

t

→

2t展开

t

→0.5t说明：对于离散信号，由于

f

(ak)

仅在ak

为整数时才有意义，

进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算例1.3

已知信号f

(t)的波形，试画出

f

(–4–2t)的波形。右移4，得f

(t

–

4)压缩，得f

(2t

–

4)翻转，得f

(–

2t–

4)注意：三种运算的次序可任意，但始终是对时间

进行。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算也可以先压缩、再平移、最后翻转。压缩，得f

(2t)右移2，得f

(2t–

4)翻转，得f

(–

2t–

4)X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算1.3.3

微分和积分df

(t)y(t)

=1.

对信号f

(t)求导数得dt可用微分器来实现，如图(a)、(b)所示。(b)微分运算电路图(a)微分运算框图ty(t)

=

f

(t

)dtò2.

对信号f

(t)求积分得-

¥可用积分器来实现，如图(c)、(d)所示。(c)积分运算框图(d)积分运算电路图X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算(

)d

f

t例题t¢(

)ò(

)f

dt

t2=1，

积分f

t求微分1dt-¥(

)(

)f

t2f

t111tttt

Ott

Ot--2222tf1¢(t)ò

t

tf

(

)d2-¥2ttt冲激信号2tt

Ot

Ot--(

)-

1222X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.3

信号的基本运算1.3.4

差分和迭分Df

(k)

=

f

(k

+1)

-

f

(k)一阶前向差分一阶后向差分二阶前向差分二阶后向差分Ñf

(k)

=

f

(k)

-

f

(k

-

1)2é

]D

f

(k)

=

D

Df

(k

)=

f

(k

+

2)

-

2

f

(k

+1)

+

f

(k)=

f

(k)

-

2

f

(k

-

1)

+

f

(k

-

2)ë2é]Ñ

f

(k)

=

Ñ

Ñf

(k

)ëkåy(k)

=

f

(n)f

(n)的迭分：n=-

¥1.3.5

信号的分解f

(t)

=

f

(t)

+

f

(t)f

(t)

=

f

(t)

+

f

(t)daoe直流分量

交流分量奇分量偶分量11fo

(t)=

é

-

-

]f

(t)

f

(

t)fe

(t)偶信号=

é

+

-

]f

(t)

f

(

t)奇信号ëë22X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第1章

信号与系统的基本概念1.4

奇异信号阶跃信号和冲激信号是一类本身或其各阶导数具有不连续(间断)点的奇异信号。这类信号是现实中不存在的一种理想化信号，但是在信号和系统理论具有重要作用。1.4.1

单位阶跃信号

e(t)e(t)0点无定义或为1/2ì

1,

t

>

0定义：e(t)

=í0,

t

<

0î阶跃信号也可用U(t)表示。有延迟的单位阶跃信号ì

1,

t

>

t0e(t

-

t0

)e

-

=(t

t

)

í>,

t

00<00,

t

tt0î0t

=

0或t注意：阶跃信号在处是不连续的，有跳变点。0X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.4

奇异信号f

(t)1阶跃信号的用途：2（1）可以方便地表示某些信号f1(t)

=

2e(t)

-

3e(t

-

1)

+e(t

-

2)o12t-1（2）用阶跃信号表示信号的作用区间f2

(t)e(t)f

(t)[e

(t

-

t

)-

e

(t

-

t

)]212(ì+-

<

<1

3

t

2),

2

t

1ï(如：对于分段函数

f

(t)

=

í

-1

2

t

-1),

1

<

t

<

33ï0,其它îf

(t)

=

1

3

(t

+

2)[e(t

+

2)-

e(t

-1)]-1

2(t-1)[e(t

-1)-e(t

-

3)]可表示为：3X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.4

奇异信号1.4.2

单位冲激信号d

(t)单位冲激信号是对强度极大、作用时间极短一种物理量的理想化模型。d

(t)ì¹ì

0

t

0偶信号d

(t)

=ïíï定义1：（狄拉克函数）¥

t

=

0îíï¥òd

(t)dt

=

1(冲激强度)ïî-¥0-

0+u

函数值只在

t

=0

时不为零；u

积分面积为1；d

(t

+

t0

)d

®

¥u

t=0

时，

(t)，为无界函数。++¥0ò

ò易知：

d

(t)dt

=

d

(t)dt

=

1-t0--¥0时移冲激信号X长沙理工大学

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奇异信号1

æ

t

ö

æ

t

ö

ùép(t)

=

U

t

+

-U

t

-定义2：设t

®ê

ç

÷

ç÷út22èø

èøûëp(t)1t0时；脉宽↓；脉冲高度↑；则窄脉冲集中于

t=0

处。t

2

t-t2Ou

面积为1u

宽度为0三个特点：ì

¥

t

=

0演示íu

幅度0

t

¹

0î1

æ

t

ö

æ

t

öùéd

(t)

=

lim

p(t)

=

lim

U

t+

-U

t

-ê

ç

÷

ç÷út22èø

èøût

®

0t

®

0

ëX长沙理工大学

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奇异信号y

(t)冲激函数与阶跃函数关系：e(t)t

®

¥dy

(t)12由

P(t)

=，dt1t1t-de(t)¢=

e

(t)得

d

(t)

=dtP(t)d

(t)tòe(t)

=

d

(t

)

dtt

2t

®

¥-¥可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如ot1

tO-1tf

'(t)1

t(-2)(2)求导-1

of’(t)=2d

(t+1)-2d

(t-1)f(t)=2e(t+1)-2e(t-1)X长沙理工大学

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奇异信号d单位冲激偶¢(t)奇信号(¥

)d¢d

(t)

=

d

(t)定义：dt1.4.3

奇异信号的性质(-¥

)u

取样（筛选）性质：(t0为实常数

)ì

f

(t)d(t)

=

f

(

0)d(t)(1)íf

(t)d(t

-t

)

=

f

(t

)d(t

-t

)î000ì¥òf

(t)d

(t)dt

=

f

(0)ï证明-¥¥(2)íòïf

(t)d

(t

-

t

)dt

=

f

(t

)î-¥00X长沙理工大学

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奇异信号ì

f

(t)d

'(t)

=

f

(

0)d

'(t)-

f

'(0)d

(t)(3)íf

(t)d

'(t

-

t

)

=

f

(t

)d

'(t

-

t

)-

f

'(t

)d

(t

-

t

)î00000ì¥òf

(t)d

'(t)dt

=

-

f

'(0)ï证明-¥¥(4)íòïf

(t)d

'(t

-

t

)dt

=

-

f

'(t

)î-¥¥00ìòd(n)

-

=

-n(n)f

(t)

(t

t

)dt

(

1)

f

(t

)ï00-¥¥(5)í例题òïd(n)=

-f

(t)

(t)dt

(

1)

f

(0)n(n)î-¥X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.4

奇异信号u

展缩特性：ì1bd

(at

+

b)

=

d

(t

+

)ïa,b为实常数，且a≠0aaíïd

(-t)

=

d

(t)î偶函数证明见教材15页例1.4ì1babd

'(at

+

b)

=

d

'(t

+

),a

>

0ï2aïï1d

'(at

+

b)

=

-

d

'(t

+

),a

<

0í2aaïïd

'(t)

=

-d

'(-t)ï奇函数îX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.4

奇异信号1.4.4

阶跃序列e(k)和脉冲序列d(k)注意：这两个序列都是普通信号。u单位脉冲(单位样值)序列

d(k)d

(k)ì

1,

k

=

0ì=1,

k

mdefd

(k)

=(k

m)

íd

-

=í0,

k

¹

0¹0,

k

mîîf(k)d(k)=f(0)d(k)性质：f(k)d(k–m)=f(m)d(k

–m)¥åf

(k)d

(k)

=

f

(0)k=-¥¥¥¥åååd

(10

-

n)

=1d

(k)

=(k-

5)d

(k)

=

-51例：n=

-¥k=-¥k=

-¥X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.4

奇异信号u单位阶跃序列e(k)e(k)ì

1,

k

³

0³ì

1,

k

mdefe(k)

=í(k

m)

íe

-

=0,

k

<

0î<0,

k

mîue

(k)与d

(k)的关系d

(k)

=

e(k)-

e(k

-1)

=

Ñ

e(k)(后向)差分¥kå或åe

=

d(k)(i)e(k)

=

d

(k

-

j)迭分i=-¥j=0e(k)

=

......+

d

(k

-

2)+d

(k

-1)+

d

(k)即X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第1章

信号与系统的基本概念1.5

系统的描述1.5.1

系统模型u系统的定义：能对信号进行存储、转化、传输和处理的物理装置。电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。u系统模型是指对实际系统基本物理特性的一种抽象描述。系统模型有不同形式：电路图、模拟框图、信号流图、数学模型。例如日光灯系统模型：i(t)ò1

L+u(t)LR¢

+=u(t)Li

(t)

Ri(t)

u(t)i(t)-R

L数学模型模拟框图电路图X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.5

系统的描述(1)输入输出模型（输入输出描述）：Ø着眼于激励与响应(即输入输出)的关系，而不考虑系统内部状态情况；Ø单输入/单输出系统；Ø列写一元

n

阶微分(差分)方程。(2)状态空间模型（状态空间描述）：Ø不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部状态变量之间(

)(

)的变化情况。v

ti

t关系，如电容电压或电感电流CLØ研究多输入/多输出系统；Ø列写多个一阶微分(差分)方程。X长沙理工大学

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系统的描述1.5.2

系统的输入输出描述u若系统的输入、输出信号都是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。若系统的输入、输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。由两者混合组成的系统称为混合系统。u

(t)

u

(t)例1.6

如图是一个电路系统。其中，电压源和s1s2iL

(t)是电路的激励。若设电感中电流该系统的输入输出方程。为电路响应，试分析分析：由基尔霍夫定律列出节点a的支路电流方程为：i

(t)

=

i

(t)-

i

(t)L1CX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.5

系统的描述u

(t)-

u

(t)i1(t)

=

s1cR¢u

(t)

=

Li

(t)

+

u

(t)cLs2¢¢¢i

(t)

=

Cu

(t)

=

C[Li

(t)

+

u

(t)]ccLs2¢¢¢=

LCi

(t)+

Cu

(t)Ls2将以上各式整理得1111¢¢¢¢i

(t)+

i

(t)

+

i

(t)

=[u

(t)-

u

(t)]-

u

(t)LLLs1s2s2RCLCRLCL很显然，这是一个典型的二阶系统。n阶线性连续系统的数学模型为n

阶微分方程，一般形式为：nmåå(i)=(

j)a

y

(t)

b

f

(t)式中，f(t)是系统的激励，y(t)是系统的响应。iji=0j=0X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.5

系统的描述1.5.3

系统的状态空间描述un阶系统在tk时刻的状态是指该时刻系统必须具有的

n

个独立数据，这组数据结合[tk

,t]期间的输入就能完全确定系统在t

时刻相应的输出。u描述系统状态随时间变化的一组独立变量称为系统的状态变量。表示状态变量一阶导数与状态变量和输入之间的关系，

称为系统的状态方程。u

(t)

i

(t)在例1.6中，若选择量，即状态矢量为和作为该电路系统的状态变CL=TX(t)

[u

(t),i

(t)]CLìï111¢u

(t)

=

-

u

(t)

-

i

(t)

+

u

(t)ïCCLs1RCCRC则其状态方程为：í11ï¢i

(t)

=

u

(t)

-

u

(t)ïîLCs2LLX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.5

系统的描述称状态变量x(t)在初始观察时刻

t=0

时的值x(0)为系统的初始状态。称x(0-)和x(0+)分别为0-初始状态和0+初始状态。u仅由当前输入信号确定的响应为系统的零状态响应，记为=-=，

³y

(t)

T[x(0

)

0,

f

(t)]

t

0fu仅由0-初始状态确定的响应称为系统的零输入响应，记为=-=

，

³y

(t)

T[x(0

),

f

(t)

0]

t

0xu系统的全响应是由历史输入和当前输入共同决定的

，记为=-，

³y(t)

T[x(0

),

f

(t)]

t

0式中

T

表示系统对

f(t)和

x(0-)的传输和变换作用。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第1章

信号与系统的基本概念1.6

系统的特性和分类1.6.1

系统的定义和表示（1）箭头表示f

(t)

®

y(t)

或

f

(n)

®

y(n)（2）方框图表示f

(t)

®

T

®

y(t)

或

f

(n)

®

T

®

y(n)（3）算子表示y(t)

=

T[

f

(t)]

或

y(n)

=

T[

f

(n)]（4）方程表示y'(t)

+

2y(t)

=

f

'(t)连续系统离散系统y(n)

+

2y(n

-

1)

=

f

(n)X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.6

系统的特性和分类1.6.2

系统的性质和分类1.动态系统与即时系统u若系统在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与过去的输入信号无关，则称为即时系统或无记忆系统；否则称动态系统

或记忆系统。如：只有电阻元件组成的系统是即时系统，含有记忆元件(电容、电感、寄存器等)的系统是动态系统。2.线性系统与非线性系统（1）线性性质包括两方面：齐次性和叠加性。若

f

(×)

®

y(×)

，那么

af

(×)

®

ay(×)齐次性：叠加性：若

f

(×)

®

y

(×)

，f

(×)

®

y

(×)1122那么

f

(×)

+

f

(×)

®

y

(×)

+

y

(×)1212X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.6

系统的特性和分类若系统同时具有齐次性和叠加性，则称该系统是线性系统，即a

f

(×)

+

b

f

(×)

®

a

y

(×)

+

b

y

(×)1212否则为非线性系统。（2）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励

f

(·)有关，而且与系统的初始状态

x(0-)有关。当动态系统满足下列三个条件时为线性系统，否则为非线性系统。u全响应y(·)可分解为零输入响应y

(·)和零状态响应y

(·)之和，xf即y(·)

=y

(·)+y

(·)xfu零输入线性，即

yx(·)与初始状态

x(0-)或x(0+)满足线性特性。u零状态线性，即

yf(·)与激励

f(·)满足线性特性。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.6

系统的特性和分类例1

判断下列系统是否为线性系统？（1）

y

(t)

=3x(0-)+2f

(t)+x(0-)f

(t)+1（2）

y

(t)

=2x(0-)+|

f

(t)|（3）

y

(t)

=

x2(0-)

+2f

(t)解：（1）y

(t)=2f

(t)+1，

y

(t)=3x(0-)+1；

显然，fxy

(t)≠

y

(t)

＋

y

(t)不满足可分解性，故为非线性系统。fx（2）

y

(t)=|

f

(t)|，

y

(t)=2x(0-)fxy

(t)

=y

(t)+y

(t)

满足可分解性；fx但

af

(t)

→

|

af

(t)|

≠

ayf(t)，不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）

y

(t)=2f

(t),

y

(t)=x2(0-)

，满足可分解性；fx但ax(0-)

→

[ax(0-)]2≠ayx(t)，不满足零输入线性。故为非线性系统。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.6

系统的特性和分类例2

判断下列系统是否为线性系统？（1）

yf

(t)

=f(t-1)

-f

(1-t)（2）

yf

(k)

=

k2

f(k)解：(1)是线性系统。①由

f(t)→

yf(t)

=f(t-1)-f(1-t)

，可得af(t)→af(t-1)

-af(1-t)=ayf(t)

，满足齐次性；②由

f

(t)

→

f

(t-1)

-f

(1-t)

和

f

(t)

→

f

(t-1)–f

(1-t)，可得111222f

(t)+f

(t)→[f

(t-1)+f

(t-1)]–[f

(1-t)+f

(1-t)]=

y

(t)+y

(t)，121212f1f2满足叠加性。(2)是线性系统。由

f

(k)

→

y

(k)=k2

f

(k)和

f

(k)→

y

(k)=k2f

(k)，1f112f22令

g(k)=a

f

(k)+

b

f

(k)，其中a

b为任意常数，则12g(k)→

k2

g(k)=ak2

f

(k)+

bk2

f

(k)=a

y

(k)+

b

y

(k)1故该系统满足齐次性和叠加性。2f1f2X长沙理工大学

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系统的特性和分类3.时不变系统与时变系统参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。从输入输出关系上看，时不变系统的输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，即yf

(t)若

f

(×)

®

yf

(×)

，则有T[

f

(t

-

t

)]

=

y

(t-

t

)(连续系统)(离散系统)dfdT[

f

(k

-

k

)]

=

y

(k

-

k

)yf

(t-1)dfd系统的这种性质称为时不变特性。X长沙理工大学

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系统的特性和分类例3

判断下列系统是否为时不变系统？(1)

y

(k)=f

(k)f

(k

–1)

(2)

y

(t)=tf

(t)

(3)

y

(t)=f

(–t)fff判断方法：[先时移，再经系统]

？=[先经系统，再时移]解：(1)令

g

(k)=f(k–kd)时移

k经过系统¾®

T[g(k)]=

g(k)g(k-

1)f(k)¾¾

¾®

g(k)¾¾¾d=

f

(k

-

k

)

f

(k

-

k

-

1)ddf(k)¾经¾过¾系统¾®

y

(k)

¾时¾移¾k

®

y

(k

-

k

)

=

f

(k

-

k

)

f

(k

-

k

-

1)dffddd显然

T[f(k–k

)]=y

(k–k

)，故该系统是时不变的。dfd(2)令

g(t)=f(t–td)时移

tf

(t)¾

¾

¾®

g(t)经过系统¾

¾

¾¾®T[g(t)]=

tg(t)

=

t

f

(t

-

t

)ddf(t)¾经¾过¾系统¾®

y

(t)

¾

¾

¾®

y

(t

-

t

)

=(t

-

t

)

f

(t

-

t

)时移

tdffddd故

T[f(t–t

)]

≠

y

(t–t

)

，故该系统为时变系统。dfdX长沙理工大学

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系统的特性和分类(3)

令

g

(t)=f(t–td)，则有T[g(t)]=g(–t)=f(–t

–t

)

≠

y

(t–t

)=f

[–(t–

t

)]，dfdd即

T[f(t–t

)]≠

y

(t–t

)，故该系统为时变系统。dfd直观判断方法：若f

(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。本课程仅讨论线性时不变系统，简称LTI系统。(Linear

Time-Invariant)相应的输入输出方程是线性常系数微分(差分)方程。X长沙理工大学

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系统的特性和分类4.

因果系统与非因果系统零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。因系统在任一时刻的响应只与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。否则为非因果系统。即对因果系统，当t<

t

，f(t)=0时，则有t

<t

，y

(t)=0。00f例如：设有以下LTI系统，试判断是否为因果系统？(1)yf(t)=3f(t–1)是因果系统ò(2)yf

(t)=tf

(x)dx-¥(3)yf(t)=2f(t+1)(4)yf(t)=f(2t)因为，令t=1时，有yf(1)

=2f(2)与上同理是非因果系统X长沙理工大学

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系统的特性和分类5.

稳定系统与不稳定系统一个系统，若对有界的激励

f(·)所产生的零状态响应

yf(·)也有界，即若

|

f(·)|<∞时，|

yf(·)|

<∞，则称该系统为有界输入/有界输出稳定，简称BIBO稳定。稳定系统分两种类型，即临界稳定和渐进稳定

。如

yf(k)=f(k)+f(k–1)

是稳定系统；tòy

(t)

=

f

(x)dx是不稳定系统。f-¥因为，当

f(t)=e(t)

时有界，tòe(x)dx

=

te(t)当t

→∞时，它也→∞，无界。-¥X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.6

系统的特性和分类y

(t)

=

f

(t)

cos(w

t)例1.3

已知某系统fc试确定该系统是否为：(1)线性系统；(2)时不变系统；(3)因果系统；(4)稳定系统；(5)记忆系统。a

f

(t)+

b

f

(t)

®

[a

f

(t)+

b

f

(t)]cos(w

t)

=

a

y

(t)+

b

y

(t)分析：(1)易知1212cf1f

2故该系统是线性系统。-

®-w

¹-

=-w

-(2)

由于

f

(t

t

)

f

(t

t

)

cos(

t)

y

(t

t

)

f

(t

t

)

cos[

(t

t

)]ddcfddcd因此该系统是时变系统。(3)

由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，

因此该系统是因果系统。(4)

因为

cos(wct)

£

1，如果

f(t)有界，则y

(t)也有界，系统是fBIBO稳定的

。(5)

因为系统的响应只与当前的激励有关，与过去的激励无关，因此该系统是无记忆系统(即时系统)。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第1章

信号与系统的基本概念1.7

信号与系统的分析方法系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。输入输出法（外部法）系统的分析方法：状态变量法（内部法）(第8章)时域分析(第2章,第5章)外部法连续系统—频域法(3)和复频域法(4)离散系统—频域法(6)和z域法(7)变换域法X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统1.7

信号与系统的分析方法求解的基本思路：（1）把零输入响应和零状态响应分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所