机械优化设计-王荣老师

PAGEPAGE27（一）一维搜索方法1.1题目：1.2最优解：1.3采用的算法及其算法的基本思想：首先采用进退法确定函数极值点所在的搜索区间[a,b],然后采用牛顿法求出极值。进退法的基本思想：按照一定的规则试算若干个点，比较其函数值的大小，直至找到函数值按“高-低-高”变化的单峰区间。黄金分割法的基本思想：通过不断的缩短单峰区间的长度来搜索极小点的一种有效方法。按（）缩小比较大小确定取舍区间。程序框图：进退法和黄金分割法流程图如下：图1进退法流程图图2黄金分割法程序框图具体程序如下：共3个M文件，文件名分别为：F.m;JINTUI.m;FGOLDEN.mF.m具体程序：%定义f(x)函数的表达式f(x)=t^2-10*t+36functiony=F(t)y=t^2-10*t+36;JINTUI.m具体程序：function[t,minF]=FGOLDEN(precision,a0,h)[a,b]=JINTUI(a0,h);A=a;B=b;n=1;while0.618^(n-1)>=precisionC=A+0.312*(B-A);D=A+0.618*(B-A);ifC<DifF(C)<F(D)B=D;elseA=C;endelseifF(C)<F(D)A=C;elseB=D;endendn=n+1;endt=A;minF=F(A);FGOLDEN.m具体程序如下：function[x1,x2]=JINTUI(a0,h)a=a0;b=a0+h;while1ifF(a)<F(b)h=-h;a=a+h;b=a-h;ifF(b)<F(b-h)&F(b)<F(a)break;endelsea=b;b=a+h;ifF(a)<F(b)&F(a)<F(a-h)break;endendendx1=a;x2=b;1.6输出结果:2.1题目：2.2最优解：2.3采用的算法及其算法的基本思想：首先采用进退法确定函数极值点所在的搜索区间[a,b],然后采用牛顿法求出极值。进退法的基本思想：按照一定的规则试算若干个点，比较其函数值的大小，直至找到函数值按“高-低-高”变化的单峰区间。黄金分割法的基本思想：通过不断的缩短单峰区间的长度来搜索极小点的一种有效方法。按（）缩小比较大小确定取舍区间。2.4程序框图：进退法和黄金分割法流程图如下：图1进退法流程图图2黄金分割法程序框图2.5具体程序如下：共3个M文件，文件名分别为：F12.m;JINTUI12.m;FGOLDEN12.mF12.m具体程序：%定义f(x)函数的表达式f(x)=t^4-5*t^3+4*t^2-6*t+60functiony12=F12(t)y12=t^4-5*(t^3)+4*(t^2)-6*t+60;JINTUI12.m具体程序如下：%用进退法找到合适的初始区间function[x1,x2]=JINTUI12(a0,h)a=a0;b=a0+h;while1ifF12(a)<F12(b)h=-h;a=a+h;b=a-h;ifF12(b)<F12(b-h)&F12(b)<F12(a)break;endelsea=b;b=a+h;ifF12(a)<F12(b)&F12(a)<F12(a-h)break;endendendx1=a;x2=b;FGOLDEN12具体程序如下：%定义黄金分割法函数模块function[t,minF12]=FGOLDEN12(precision,a0,h)%初始区间[a,b],精度precision,为区间的多少分之一%a0为初始区间，h为步长[a,b]=JINTUI12(a0,h);A=a;B=b;n=1;while0.618^(n-1)>=precisionC=A+0.312*(B-A);D=A+0.618*(B-A);%以上黄金分割法赋值ifC<DifF12(C)<F12(D)B=D;elseA=C;end%判断1,取区间AD，将D点值赋给B或是取区间CBelseifF12(C)<F12(D)A=C;elseB=D;endend%判断2n=n+1;%循环加1endt=A;minF12=F12(A);2.6计算运行结果如下：3.1题目：3.2最优解：3.3采用的算法及其算法的基本思想：首先采用进退法确定函数极值点所在的搜索区间[a,b],然后采用牛顿法求出极值。进退法的基本思想：按照一定的规则试算若干个点，比较其函数值的大小，直至找到函数值按“高-低-高”变化的单峰区间。黄金分割法的基本思想：通过不断的缩短单峰区间的长度来搜索极小点的一种有效方法。按（）缩小比较大小确定取舍区间。3.4程序框图：进退法和黄金分割法流程图如下：图3.1进退法流程图图3.2黄金分割法程序框图3.5具体程序如下：共3个M文件，文件名分别为：F13.m;JINTUI13.m;FGOLDEN13.mF13.m:%定义f(x)函数的表达式f(x)=(t+1)(t-2)^2functiony13=F13(t)y13=t^3-3*t^2+4;JINTUI13.m:%用进退法找到合适的初始区间function[x1,x2]=JINTUI13(a0,h)a=a0;b=a0+h;while1ifF13(a)<F13(b)h=-h;a=a+h;b=a-h;ifF13(b)<F13(b-h)&F13(b)<F13(a)break;endelsea=b;b=a+h;ifF13(a)<F13(b)&F13(a)<F13(a-h)break;endendendx1=a;x2=b;FGOLDEN13.m%定义黄金分割法函数模块function[t,minF13]=FGOLDEN13(precision,a0,h)%初始区间[a,b],精度precision,为区间的多少分之一%a0为初始区间，h为步长[a,b]=JINTUI13(a0,h);A=a;B=b;n=1;while0.618^(n-1)>=precisionC=A+0.312*(B-A);D=A+0.618*(B-A);%以上黄金分割法赋值ifC<DifF13(C)<F13(D)B=D;elseA=C;end%判断1,取区间AD，将D点值赋给B或是取区间CBelseifF13(C)<F13(D)A=C;elseB=D;endend%判断2n=n+1;%循环加1endt=A;minF13=F13(2);3.6计算运行结果如下：二无约束优化问题1.1题目：1.2最优解：1.3采用的算法及其算法的基本思想：将f(x)在x(k)点作泰勒展开，取二次函数式Φ(x)作为近似函数,以Φ(x)的极小值点作为f(x)的近似极小值点。求二次函数的极值1.4程序框图：牛顿法程图如下：程序：共一个main21.m文件:main21.m具体程序如下：clc;clearall;symsx1x2tpmaxnprecision;%定义变量f21=4*x1^2+x2^2-40*x1-12*x2+136;%定义函数fx1=diff(f21,x1);%对f求x1偏导求的一阶导数;diff(函数,n),求的n阶导数(n是具体整数);%diff(函数,变量名),求对的偏导数;diff(函数,变量名,n)fx2=diff(f21,x2);%对f求x2偏导p=0;g=1;disp('用梯度法求二元二次目标函数f(X)=4*x1^2+x2^2-40*x1-12*x2+136的最优解');fori=1:5%fori=1:5if(p==0)%if(p==0)x1=input('Pleaseentertheinitialstartingpointx1：');x2=input('Pleaseentertheinitialstartingpointx2：');maxn=input('Pleaseenterthemaxmumnumberofinterationsmaxn：');precision=input('Pleaseentertheminimumofthesearchingdirectionprecision：');g=input('Outputtheresultofeachinteration,ifyouwantEnter1,ornot：');fora=1:maxn%fora=1：2：8，则每次取值为1，3，5，7.其中2是步长%但步长为1时可省略即原式为forn=1:1:100f0=subs(f21);%subs(函数名)将函数里的变量用已知量代换对f中的变量带入已知量f1=subs(fx1);%subs(函数名)将函数里的变量用已知量代换对fx1中的变量带入已知量f2=subs(fx2);%subs(函数名)将函数里的变量用已知量代换对fx2中的变量带入已知量if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=precision)%计算梯度模值进行比较%以下为输出函数disp('*************************************************************************');disp('Theresult：');disp('Thetotalnumberofinterationsa:');disp('Thevalueofextremumx1：');vpa(x1,5)%vpa函数来实现数值精确到小数点后某一位vpa会根据精度要求去掉末尾的数位%或者补0vpa(x1,7)%vpa的结果是符号数值，可以用于初等运算，不可用于关系运算以小数形式表示disp('Thevalueofextremumx2：');vpa(x2,5)disp('Thefunctionofextremumvalue：');vpa(f0)p=1;break;elseFF=F21(x1-t*f1,x2-t*f2);%最优解为tFFt=diff(FF,t);tt=solve(FFt,'t');%solve命令主要是用来求解代数方程（即多项式）的解即求解满足此中默认FFt=0;x1=x1-tt*f1;x2=x2-tt*f2;if(g==1)disp('Thenumberofinterationsa：');disp('Thevalueofx1：');x1=vpa(x1,5)%vpa函数来实现数值精确到小数点后某一位vpa会根据精度要求去掉末尾的数位或者补0vpa(x1,5)%vpa的结果是符号数值，可以用于初等运算，不可用于关系运算以小数形式表示disp('Thevalueofx2：');x2=vpa(x2,5);disp('Thevalueoffunctionf0：');f0=vpa(f0,5)disp('*************************************************************************');endend%对if进行结束end%对for进行结束if(p==0)disp('PLEASETRYAGAIN');end%if(p==0)end%if(p==0)头一个end%fori=1:5计算输出结果：2.1题目：2.2最优解：2.3采用的算法及其算法的基本思想：将f(x)在x(k)点作泰勒展开，取二次函数式Φ(x)作为近似函数,以Φ(x)的极小值点作为f(x)的近似极小值点。求二次函数的极值2.4程序框图：(牛顿法程图如下)2.5具体程序：Main22具体程序如下：%用牛顿法求目标函数f(x)=(x1^2+x2-11)^2+(x1+x2^2-7)^2的最优解clc;symsx1x2precision;f=(x1^2+x2-11)^2+(x1+x2^2-7)^2;v=[x1x2];df=jacobian(f,v);df=df.';H=jacobian(df,v);disp('**********************************************************');disp('用牛顿法求目标函数f(x)=(x1^2+x2-11)^2+(x1+x2^2-7)^2的最优解');disp('**********************************************************');disp('请输入初始位置点以及精度要求');fprintf('\n');x1=input('选取的初始点坐标点x1:');x2=input('选取的初始点坐标点x2:');precision=input('计算所要求迭代精度为:');x0=[x1,x2]';g0=subs(df,v,x0);H0=subs(H,v,x0);H0=inv(H0);k=0;s=-H0*g0;while(subs(sqrt(s(1,1)^2+s(2,1)^2))>precision)s=-H0*g0;x0=x0+s;g0=subs(df,v,x0);H0=subs(H,v,x0);H0=inv(H0);k=k+1;enddisp('');disp('计算结果如下：');fprintf('迭代的总次数：\nk=%d\n',k);fprintf('最优点坐标:\nx1=%3.4f\n',x0(1));fprintf('最优点坐标:\nx2=%3.4f\n',x0(2))f=subs(f,v,x0);fprintf('函数的极值：\nf=%3.4f\n',f);disp('*************************************************');disp('*************************************************');2.6计算和输出结果：3.1题目：3.2最优解：3.3采用的算法及其算法的基本思想：将f(x)在x(k)点作泰勒展开，取二次函数式Φ(x)作为近似函数,以Φ(x)的极小值点作为f(x)的近似极小值点。求二次函数的极值3.4程序框图：3.5程序：共一个M文件：main23.m：%用牛顿法求目标函数f(x)=(x1^2+10*x2)^2+5*(x3-x4^2)^2+(x2-2*x3)^2+10*(x1-x4)^4最优解clc;symsx1x2x3x4precision;f=(x1^2+10*x2)^2+5*(x3-x4^2)^2+(x2-2*x3)^2+10*(x1-x4)^4;%目标函数v=[x1x2x3x4];%变量向量df=jacobian(f,v);%梯度df=df.';%非共轭转置H=jacobian(df,v);%海森矩阵disp('************************************************************************');disp('用牛顿法求目标函数f(x)=(x1^2+10*x2)^2+5*(x3-x4^2)^2+(x2-2*x3)^2+10*(x1-x4)^4的最优解');disp('***********************************************************************');disp('请输入初始位置点以及精度要求');fprintf('\n');x1=input('选取的初始点坐标点x1:');x2=input('选取的初始点坐标点x2:');x3=input('选取的初始点坐标点x3:');x4=input('选取的初始点坐标点x4:');precision=input('计算所要求迭代精度要求:');x0=[x1,x2,x3,x4]';g0=subs(df,v,x0);H0=subs(H,v,x0);H0=inv(H0);%海森矩阵的逆k=0;s=-H0*g0;while(subs(sqrt(s(1,1)^2+s(2,1)^2)+s(3,1)^2+s(4,1)^2)>precision)s=-H0*g0;x0=x0+s;g0=subs(df,v,x0);%求梯度的值H0=subs(H,v,x0);%求海森矩阵的值H0=inv(H0);k=k+1;enddisp('');disp('计算结果如下：');fprintf('迭代的总次数：\nk=%d\n',k);fprintf('最优点坐标:\nx1=%3.4f\n',x0(1));fprintf('最优点坐标:\nx2=%3.4f\n',x0(2));fprintf('最优点坐标:\nx3=%3.4f\n',x0(3));fprintf('最优点坐标:\nx4=%3.4f\n',x0(4));f=subs(f,v,x0);fprintf('函数的极值：\nf=%3.4f\n',f);disp('*************************************************');disp('*************************************************');3.6计算结果如下：三约束优化问题1.1题目：1.2最优解：1.3采用的算法及其算法的基本思想：采用的为外点法来进行计算。其基本思想：外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。构造函数进行计算。1.4程序框图：1.5程序：共2个M文件，分别为：main31.m和fdd31.m.main31.m具体如下：%用外点法求多维有约束目标函数f(x)=(x1-2)^2+(x2-1)^2极值clc;k=0;M=1;c=10;symsx1x2precision1precision2a1av=[x1x2];%变量向量f=(x1-2)^2+(x2-1)^2;%目标函数g1=-x1^2-x2;g2=x1+x2-2;disp('****************************************************');disp('用外点法求多维有约束目标函数f(x)=(x1-2)^2+(x2-1)^2极值');disp('****************************************************');disp('请输入初始位置点以及精度要求');fprintf('\n');a1=input('选取的初始点坐标点a1:');a2=input('选取的初始点坐标点a2:');precision1=input('计算所要求迭代精度要求precision1:');precision2=input('计算所要求迭代精度要求precision2:');X0=[a1,a2]';while(k<100)q=f+M*((g1)^2+(g2)^2);X1=fdd31(q,x1,x2,X0);norm=subs(sqrt((X1(1)-X0(1))^2+(X1(2)-X0(2))^2));ff0=subs(subs(q,v,X0));ff1=subs(subs(q,v,X1));if(norm<=precision1)&(abs((ff0-ff1)/ff0)<=precision2)break;endX0=X1;M=c*M;k=k+1;enddisp('');disp('计算结果如下：');fprintf('迭代的总次数：\nk=%d\n',k);fprintf('最优点坐标:\nx1=%3.4f\n',X0(1));fprintf('最优点坐标:\nx2=%3.4f\n',X0(2));f=subs(f,v,X0);fprintf('函数的极值：\nf=%3.4f\n',f);disp('********************************************************************');disp('********************************************************************');fdd31.m具体如下：functionsc=fdd31(f,x1,x2,X0)symsv;v=[x1,x2];%变量向量df=jacobian(f,v);%梯度df=df.';G=jacobian(df,v);%海森矩阵eps=0.000001;%精度g1=subs(df,v,X0);G1=subs(G,v,X0);G1=inv(G1);%海森矩阵的逆k=0;s=-G1*g1;s1=subs(sqrt(s(1)^2+s(2)^2));%求初始梯度值while(s1>eps)s=-G1*g1;X0=X0+s;g1=subs(df,v,X0);%求梯度的值G1=subs(G,v,X0);%求海森矩阵的值G1=inv(G1);s1=subs(sqrt(s(1)^2+s(2)^2));k=k+1;end;sc=X0;1.6运算结果：2.1题目：2.2最优解：2.3采用的算法及其算法的基本思想：采用的为外点法来进行计算。其基本思想：外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。构造函数进行计算。2.4程序框图：1。.5程序：2.5程序共2个M文件，分别为：main32.m和fdd32.m.Main32.m具体程序：%用外点法求多维有约束目标函数第二大题第二小题f(x)=(x2^3*((x1-3)^2-9))/(27*sqrt(3))极值clc;k=0;M=1;c=8;symsx1x2precision1precision2a1av=[x1x2];%变量向量f=(x2^3*((x1-3)^2-9))/(27*sqrt(3));%目标函数g1=x2-x1/sqrt(3);g2=-x1+x2/sqrt(3);g3=x1+x2/sqrt(3)-6;g4=-x1;g5=-x2;h1=x1^2+x2^2+x3^2-25;h2=8*x1+14*x2+7*x3-56;disp('*******************************************************************');disp('用外点法求多维有约束目标函数f(x)=(x2^3*((x1-3)^2-9))/(27*sqrt(3))极值');disp('*******************************************************************');disp('请输入初始位置点以及精度要求');fprintf('\n');a1=input('选取的初始点坐标点a1:');a2=input('选取的初始点坐标点a2:');precision1=input('计算所要求迭代精度要求precision1:');precision2=input('计算所要求迭代精度要求precision2:');X0=[a1,a2]';while(k<100)q=f+M*((g1)^2+(g2)^2+(g3)^2+(g4)^2+(g5)^2);X1=fdd32(q,x1,x2,X0);norm=subs(sqrt((X1(1)-X0(1))^2+(X1(2)-X0(2))^2));ff0=subs(subs(q,v,X0));ff1=subs(subs(q,v,X1));if(norm<=precision1)&(abs((ff0-ff1)/ff0)<=precision2)break;endX0=X1;M=c*M;k=k+1;enddisp('');disp('计算结果如下：');fprintf('迭代的总次数：\nk=%d\n',k);fprintf('最优点坐标:\nx1=%3.4f\n',X0(1));fprintf('最优点坐标:\nx2=%3.4f\n',X0(2));f=subs(f,v,X0);fprintf('函数的极值：\nf=%3.4f\n',f);disp('********************************************************************');disp('********************************************************************');fdd32.m的程序具体为：functionsc=fdd32(f,x1,x2,X0)symsv;v=[x1,x2];%变量向量df=jacobian(f,v);%梯度df=df.';%非共轭转置G=jacobian(df,v);%海森矩阵eps=0.000001;%精度g1=subs(df,v,X0);G1=subs(G,v,X0);G1=inv(G1);%海森矩阵的逆k=0;s=-G1*g1;s1=subs(sqrt(s(1)^2+s(2)^2));%求初始梯度值while(s1>eps)s=-G1*g1;X0=X0+s;g1=subs(df,v,X0);%求梯度的值G1=subs(G,v,X0);%求海森矩阵的值G1=inv(G1);s1=subs(sqrt(s(1)^2+s(2)^2));k=k+1;end;sc=X0;2.6运算结果如下：3.1题目：3.2最优解：3.3采用的算法及其算法的基本思想：采用的为外点法来进行计算。其基本思想：外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。构造函数进行计算。3.4程序框图：3.5程序共2个M文件，分别为：main33.m和fdd33.m.main33.m具体程序：%用外点法求多维有约束目标函数f(x)=1000-x1^2-2*x2^2-x3^2-x1*x2-x1*x3极值clc;k=0;M=1;c=8;symsx1x2x3precision1precision2a1av=[x1x2x3];f=1000-x1^2-2*x2^2-x3^2-x1*x2-x1*x3;g1=-x1;g2=-x2;g3=-x3;h1=x1^2+x2^2+x3^2-25;h2=8*x1+14*x2+7*x3-56;disp('********************************************************************');disp('用外点法求多维有约束目标函数f(x)=1000-x1^2-2*x2^2-x3^2-x1*x2-x1*x3极值');disp('********************************************************************');disp('请输入初始位置点以及精度要求:');fprintf('\n'