等差数列专题(有答案)

一、等差数列选择题1．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（）A．60 B．11 C．50 D．552．等差数列中，，公差，则=（）A．200 B．100 C．90 D．803．在等差数列{an}中，a3+a7＝4，则必有（）A．a5＝4 B．a6＝4 C．a5＝2 D．a6＝24．数列为等差数列，，，则通项公式是（）A． B． C． D．5．已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．6．若两个等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A． B． C． D．7．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．168．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺A． B． C． D．9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（）A．161 B．155 C．141 D．13910．在等差数列中，，，则中最大的是（）A． B． C． D．11．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，则xn等于（）A．()n－1 B．()n C． D．12．等差数列的前项和为，已知，，则的值是（）A．48 B．60 C．72 D．2413．已知等差数列的前项和为，且.定义数列如下：是使不等式成立的所有中的最小值，则（）A．25 B．50 C．75 D．10014．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（）A．103 B．107 C．109 D．10515．在等差数列的中，若，则等于（）A．25 B．11 C．10 D．916．已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（）A．18 B．19 C．20 D．2117．已知数列是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前项和为.若且，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．18．记为等差数列的前项和，若，，则等于（）A．6 B．7 C．8 D．1019．已知等差数列中，，，则的值是（）A．15 B．30 C．3 D．6420．设等差数列、的前项和分别是、.若，则的值为（）A． B． C．1 D．2二、多选题21．已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（）A．最小 B． C． D．22．已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是（）A． B．数列为递增数列C． D．数列为周期数列23．题目文件丢失！24．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（）A．－4 B．－2 C．0 D．225．若数列满足，，则数列中的项的值可能为（）A． B． C． D．26．是等差数列，公差为d，前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．27．在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（）A．（，为常数，）； B．（为常数，）；C．； D．的前项和（）.28．已知数列满足：，当时，，则关于数列说法正确的是（）A． B．数列为递增数列C．数列为周期数列 D．29．已知数列是递增的等差数列，，．，数列的前项和为，下列结论正确的是（）A． B．C．当时，取最小值 D．当时，取最小值30．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（）A． B． C． D．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题1．D【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：D.2．C【分析】先求得，然后求得.【详解】依题意，所以.故选：C3．C【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a3+a7＝2a5＝4，所以a5＝2.故选：C4．C【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式.【详解】因为数列为等差数列，，，则公差为，因此通项公式为.故选：C.5．D【分析】由等差数列前项和性质得，，，构成等差数列，结合已知条件得和计算得结果.【详解】已知等差数列的前项和为，，，，构成等差数列，所以，且，化简解得.又，，从而.故选：D【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前项和性质得，，，构成等差数列，（2），且，化简解得，（3），化简解得.6．C【分析】可设，，进而求得与的关系式，即可求得结果．【详解】因为，是等差数列，且，所以可设，，又当时，有，，，故选：．7．A【分析】将变形为，由等差数列的定义得出，从而得出，求出的最值，即可得出答案.【详解】因为时，，所以，而所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.又因为恒成立，即恒成立，所以.由得所以，所以，即实数的最小值是2故选：A8．D【分析】设该妇子织布每天增加尺，由等差数列的前项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得．故该女子织布每天增加尺．故选：D9．B【分析】画出图形分析即可列出式子求解.【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：，解得.故选：B.10．B【分析】设等差数列的公差为d.由已知得，可得关系.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.【详解】设等差数列的公差为d.由得，，整理得，.又，所以，因此，所以最大.故选：B.11．C【分析】由已知可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列是等差数列，且，故公差则，故故选：C12．A【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据，代入求值.【详解】由条件可知，解得：，.故选：A13．B【分析】先求得，根据，求得，进而得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列的前项和为，且，可得，因为，即，解得，当，（）时，，即，即，从而.故选：B.14．B【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案.【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，，.故选：B.15．D【分析】利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为，，故选：D．16．B【分析】由已知判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得.【详解】，且，数列是以为首项，以为公差的等差数列，通项公式为，，故选：B.17．D【分析】利用等差数列的求和公式可判断A选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B选项的正误；利用结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由于，故选项A错误；对于B选项，由于，则，故选项B错误；对于C选项，由于，故选项C错误；对于D选项，设，则，从而，由于，故.，故.，由此，故选项D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示、，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.18．D【分析】由等差数列的通项公式及前项和公式求出和，即可求得.【详解】解：设数列的首项为，公差为，则由，，得：，即，解得：，.故选：D.19．A【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式列方程组，求出和的值，，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，即解得：，所以，所以的值是，故选：A20．C【分析】令，，求出，，进而求出，，则可得．【详解】令，，可得当时，，，当，，符合，故，，故.【点睛】由求时，，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解．二、多选题21．BCD【分析】由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列的公差为.由有，即所以,则选项D正确.选项A.,无法判断其是否有最小值，故A错误.选项B.,故B正确.选项C.,所以，故C正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件得到，即，然后由等差数列的性质和前项和公式判断,属于中档题.22．ABC【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断.【详解】当时，由，得，即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，故C正确；所以，故A正确；，所以为递增数列，故正确；数列不具有周期性，故D错误；故选：ABC23．无24．AB【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.25．ABC【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.26．ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；又，所以，故C不正确；又因为等差数列是单调递减数列，且，所以，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式，及，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.27．AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B选项中（为常数，），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C选项中，对于数列符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D选项的前项和（），不符合，所以不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．28．ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，所以易知ABD正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.29．AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．【详解