高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）数列的概念与简单表示法

田-H-

第一"P数列的概念与简单表示法

1基础部1R委打牢强双基］固本源|得基础分|掌握程度

［知识能否忆起］

1.数列的定义、分类与通项公式

（1）数列的定义：

①数列：按照一定顺序排列的一列数.

②数列的项：数列中的每一个数.

⑵数列的分类：

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列Q-n+1>Hn

项与项间的其中

递减数列<3/7+1〈a?

大小关系/7EN*

常数列<3〃+1--<3/7

（3）数列的通项公式：

如果数列｛&｝的第A项与座号二之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通

项公式.

2.数列的递推公式

如果已知数列｛aj的首项（或前几项），且任一项Z与它的前一项（〃22）（或前几项）间的关系可用

一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式.

［小题能否全取］

2345

1.（教材习题改编）数列1,Q,7,75…的一个通项公式是（）

Oi

nn

A.a=~~~B.a-----

n2/7+1n2/7-1

nn

C-an=2n-3D,a"=2/7+3

答案：B

2.设数列｛a｝的前〃项和S=则为的值为（）

A.15B.16

C.49D.64

解析：选Aa二国一S二64—49=15.

3.已知数列｛&｝的通项公式为为二后，则这个数列是（）

A,递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

/?+1n77+12-n刀+21

解析：选Aa„+1-a„=---=—————=―丁丁〉6

f2-3-1〃为偶数,

4.（教材习题改编）已知数列｛aj的通项公式是a=Lr斗大物则&飞=_________.

[2〃-5〃为奇数，

解析：&•a=2X33•（2X3-5）=54.

答案:54

5.已知数列｛aj的通项公式为a„=pn+且a?=|,

3,

&贝Ua=.

'q3（-1

2^+2=2'n~~

乙乙P一A，

解析：由已知得《。解得14

q3c

4/?+-=-,[g=2.

,12d9

贝=F故a=].

答案.

1.对数列概念的理解

（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”

的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么

它们就是不同的两个数列.

（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数.集的区别.

2,数列的函数特征

数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝）的特殊函数，数列的通项公式也就

是相应的函数解析式，即/'（a）=%（〃GN*）.

区高频考点要通关

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由数列的前几项求数列的通项公式

典题导入

［例1］（•天津南开中学月考）下列公式可作为数列仿〃}：1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是（）

-1"+1

A.a=1B.劣=-----------

-177-1+3

C.an-2-sin—D.劣—■Q

n兀

［自主解答］由&=2-sirry可得国=1,a2=2,

a3=1,&=2,….

［答案］C

»>一题多变

若本例中数列变为：0,1,0,1,…，贝Na“}的一个通项公式为

答案：

f0n为奇数,（1+-1"1+cos〃吟

&=11〃为偶数.［或&=-2—或&=-2—J

由题悟法

1,根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、

规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化，可用

（-1）”或（-1）小来调整.

2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

以题试法

1,写出下面数列的一个通项公式.

.（1）3,5,7,9,-；

137531

2)2-4-8-6-3-2-

(3)3,33,333,3333,…；

31313

I

X2-----6-

3)4?5)

解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a0=2〃+1.

2n-1

(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列2122,2'2\…，所以为二三L.

9QQQQ99999

⑶将数列各项改写为予y,—,丁，…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104

-1,….

所以a〃=1(10"T).

(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…；

而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,

2+-10

所以为=(-1)〃-------——,也可写为

〃为正奇数,

a-<

n3

〃为正偶数.

由a与S的关系求通项为

典题导入

［例2］已知数列｛aj的前n项和S,根据下列条件分别求它们的通项员.

.(1)S=2/+3A；(2)S=3"+1.

［自主解一答］(1)由题可知，当〃=1时，a=S=2Xl2+3Xl=5,

当G2时，a„=S„-S„-I=(2步+3〃)-［2(/7-1)2+3(/?-1)］=4/?+1,

当〃=1时，4X1+1=5=a,故a=4〃+1.

(2)当〃=1时，a=5=3+1=4,

当G2时，

a尸Sn-Sn八=(3"+1)-(3"7+1)=2X3"T.

当77=1时，2X3-1=2W&,

4,n-1,

故为=

2X3"',启2.

由题悟法

已知数列｛&｝的前n项和跖求数列的通项公式，其求解过程分为三步：

(1)先利用ai=Si求出a；

(2)用〃-1替换S中的a得到一个新的关系，利用a〃=S-S-l(A22)便可求出当A22时为的表达式；

(3)对〃=1时的结果进行检验，看是否符合时2的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公

式合写；如果不符合，则应该分〃=1与G2两段来写.

以题试法

2.(•聊城模拟)已知数列｛a｝的前〃项和为S,且S=则±二()

56

A，6B，5

1

C.—D.30

nn—1111

解析：选D当后2时，^=Sn-Sn-i=---=nn+i,贝睡=热=而

数列的性质

2

典题导入

［例3］已知数列｛&｝的通项公式为为=〃2-21〃+20.

(1)〃为何值时，a〃有最小值？并求出最小值；

(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？

［自主解答］(1)因.为a.=772-2177+20=(^72-2］、36］,可知对称轴方程为A=32"］=10.5.又因77GN*,

故〃=10或〃=11时，a〃有最小值，其最小值为112-21X11+20=-90.

(2)设数列的前A项和最小,则有晶W0,由1-2"+20<0,解得1W〃W2O,故数列｛晶｝从第21项

开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小.

»>一题多变

在本例条件下，设4=三，则〃为何值时，4取得最小值？并求出最小值.

2

.3，n77-21/7+2020

解：bn-~­〃+了-21,

n

令/U)=x+：-21(x>0)，则f'(x)=1-总由f'(x)=0解得x=2乖或x=-2^5(舍)而4<275

<5,故当〃W4时，数列依｝单调递减；当心5时，数列间单调递增.而4=4+丁-21=-12,k=5

+-T-21=-12,所以当〃=4或〃=5时，4取得最小值，最小值为-12.

U

由题悟法

1.数列中项的最值的求法

根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数z=/■(〃)，利用求解函数最值的方法求解，但要注

意自变量的取值.

2.前〃项和最值的求法

(1)先求出数列的前n项和S,根据S的表达式求解最值；

⑵根据数列的通项公式，若为20,且为+《0,则&最大；若&W0,且&+〉0,则S,最小，这样便

可直接利用各项的符号确定最值.

以题试法

3.(•江西七校联考)数列面｝的通项&，则数列｛&｝中的最大值是()

A.3^/10B.19

1D迎

C

-W60

解析：选C劣-,由基本不寺式行，90(2领’由于〃CN,易知当〃-9或10时，a,-

yQun19

n十一

n"+n

最大.

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油级全员必做题

1.已知数列｛a｝的前刀项和为S,且S=2(a-1),贝IJ勿等于()

A.4B,2

C.1D.-2

解析：选A由题可知5=2(2-1),

所以S二a二2(4-1),解得ai-2.

又£=&+及=2(/-1),解得&二&+2=4.

2.按数列的排列规律猜想数列奈I，-*…的第10项是()

OUIU

解析：选C.所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：

符号、分母、分子.很容易归纳出数列｛&｝的通项公式，a.=（-1产|万口，故"。=.

3.数列｛&｝的前A项积为那么当〃22时，2=（）

A.2/7-1B.n

解析：选D设数列射的前n项积为T“,则Tn=氏

丁yj2

当刀22时，an=3—=-----------_2.

—

In-1Z?1

3-n+11

4.已知数列｛aj满足国〉0,-贝।擞列｛@〃｝是（）

an乙

A,递增数列B.递减数列

C.常数列D.不确定

为+11

解析：选B又a>0,则a>0,

an乙

「.｛a｝是递减数列.

5.（•北京高考）某棵果树前刀年的总产量S与刀之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前加

年的年平均产量最高，力的值为（）

Sn

011234567891011n

A.5B..7

C.9D.11

SS

解析：选c依题意蓝表示图象上的点（亿S）与原点连线的斜率，由图象可知，当〃=9时，清大，

故勿二9.

6.（•江西八校联考）将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的

构成，此数列的第2012项与5的差，即功。12-5二（）

A.2018X2012B.2018X2011

C.1009X2012D,1009X2011

77+6n-1

解析选D因为a一品一产刀+2(〃22),所以4=5+-----------------,所以52012-5=1009X2011.

7.已知数列®｝满足数二区a(s,tEN*),且&=2,贝IJ为二.

解析：令s=方二2,贝IJa=2X/二4,

令s=2,t=4,贝IJa=/义包=8.

答案：8

,__<3/2-1

8.已知数列｛a｝满足劭=1,改=2,且为二--(刀23),则/012=________________.

a?-2

11

,,**3，n-1____2故

为

-当

解析：将2二1,为二2代入为二---得当二一二2,同理可得&二1,备二-2--4->

5/7-22)

数列｛aj是周期数列，周期为6,故0-2012=<9335X6+2二z2=2.

答案：2

9.已知｛aj的前A项和为S,且满足logz(S+1)=〃+1,贝lja〃=.

解析：由已知条件可得S+1=2小

贝1=当〃=1时，ai=S=3,

,f3,〃=1,

当时，a〃=S-S-i=2f-l-2"+l=2；A=1时不适合a〃，故为=<“、

10.数列｛aj的通项公式是a„=n-7/2+6.

⑴这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

解：(1)当〃=4时，a=42-4X7+6=-6.

(2)令a=150,即一一7〃+6=150,

解得77=16或n=-9(舍去),

即150是这个数列的第16项.

(3)令&=〃2-7〃+6>0,解得〃>6或(舍).

故从第7项起各项都是正数.

11.已知数列｛aj的前〃项和S„-2n+2n,数列｛4｝的前n项和T„=2-b„.求数列｛aj与伍｝的通项公

式.

2

解：•.・当〃三2时，an=Sn-Sn-i{2n+27?)-[2(/7-I)+2(/7-1)]=4/?,

当〃二1时，a=S=4也适合，

｛品｝的通项公式是品=4刀(刀EN*).

,：Tn-2-bn,

「•当〃=1时，61=2—hbi=1.

当〃22时，bn=Tn-Tn-x=(2-&)-(2-^-1),

：.2bn=bn-\.

数列｛"｝是公比为?首项为1的等比数列.

12.(•福州质检)数列｛a｝中，已知a=2,an+i=an+cn(nEK,常数cWO),且为，血功成等比数

列.

⑴求。的值；

(2)求数列｛a｝的通项公式.

解：(1)由题知，出=2,d2=2+c,&=2+3c,

因为四改、功成等比数列，所以因+C)2=2(2+3C),

解得。=。或。=2,又cWO,故。=2.

(2)当时，由an+i-an+c〃得

出一ai=c,

&一&二2c,

an-&-1=(77-1)c,

n77-1

以上各式相加，得为一包=[1+2+…+(刀-1)]c=-c,

又劭=2,c=2,故a=772一刀+2(77三2),

当〃二1时，上式也成立，

所以数列｛4｝的通项公式为为二方-刀+2(〃£“).

B级重点选做题

1.(•嘉兴质检)已知数列｛4｝满足国=1,a〃+iz=2"(〃eN*),则为。=()

A.64B.32

C.16D.8

「a?+2

解析：选B因为31n+13，n-2,所以3，n+1a+2=2,两式相除得=2.又3,13,2—2,51—1,所以&二2,

则詈•注4即团。=2'-

2.数列｛&｝中，S为｛劣｝的前〃项和，刀(品+i-2)=2(刀£10,且a二兀，则tanS等于()

A.

3

C.邛

解析：选B法一：由刀(a+1-a)二为得

+1=(7?+1)an,

4

可得32二4&,已知为=兀，贝Ua二可兀.

0

/2

又由2&二3期得&二鼻兀，

0

ji10

由石2=2石1,31=—,故&=乃1+32+8+国二丁兀，

OJ

101~

tanS=tan-Ji=yj3.

法二：:由〃(a+i-4)=an,

//、2+1Q

得na\-(刀+D为即一二二一n,

n+77+1n

3，n&-13，n-2&兀

==

•••3=7?_]=x—2二・••~3~3'

JI

•*•a,n--n,

兀/、1010r-

W=4+82+a+&=彳(1+2+3+4)=~n,tan2=tan-兀二73.

2a+3a+m.

3.(•甘肃模拟)已知数列｛aj中，a=l,且满足递推关系为+户——n—n—(〃EN*).

Oyj-r1

⑴当m=1时，求数列｛aj的通项公式为；

(2)当〃EN*时，数列｛4｝满足不等式为+奇为恒成立，求力的取值范围.

2an+3a+1*

解：(1),：m-1,由4+1=-----------------------------(〃EN),得

a?十

2劣+1&7+1

a+i=----------:--------=2a+],

an+l

an+i+1=2(a+1),

数歹Ha+D是以2为首项，公比也是2的等比数列.

n

于是a+1=2•2"：an=2-1.

(2)...a+12③，而勒=1,知421,

2奇+3劣+/2

•,1三a?,即勿》—&?—2&7,

3.n'1

依题意，有(&+1)?+1恒成立.

•••/2-2?+1=-3,即满足题意的力的取值范围是［-3,+°°).

I备选题I

1.下列说法中，正确的是()

A.数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7)

B.数列1,0,「1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列

［刀+1］1

C.数列［丁］的第4项为1+7

D.数列0,2,4,6,8,…可记为｛2加

\n+1172+111

解析：选c•.•数列匕滔的通项公式为为二丁=1+方故C正确；由数列的定义可知

A、B均错；D应记作｛2(〃-1)｝.

2.数列｛a｝满足a+a+i=;(〃GN*),由=2、S是数列｛4｝的前〃项和，贝1］£1为()

7

A.5B.—

9

C-2

1111

知

故

222222必

解析：选B劭=T-色二为

---&---a-的-&-----

2->2>>A-2>2

17

^i=5+--2=-

3.如图关于星星的图案中，第刀个图案中星星的个数为则数列｛&｝的一个通项公式是()