人教版九年级数学上册《点和圆、直线和圆的位置关系（第6课时）》示范教学设计

点和圆、直线和圆的位置关系（第6课时）教学目标1．了解切线长的概念．2．探索并证明切线长定理．3．理解三角形内切圆、内心的概念，通过与三角形的外接圆进行比较，明确“切”和“接”的含义，在对比中加深理解．教学重点切线长定理的探索及推导．教学难点三角形的内切圆的概念．教学准备2～3张半透明的纸．教学过程新知探究一、探究学习【问题】过圆外一点可以作圆的几条切线？【师生活动】学生独立作答：经过圆外一点可以作两条直线与圆相切．教师引导学生在草稿纸上画出两条切线，并引出切线长的定义．【新知】经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．【设计意图】复习切线这个知识点的同时，引出切线长的概念．【思考】切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别呢？【师生活动】学生分组讨论，老师让3～4位同学回答这个问题，然后得出结论：（1）切线是一条与圆相切的直线，不能度量；（2）切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．【思考】如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？【师生活动】学生拿出准备好的半透明纸，按照要求操作，小组讨论后初步得出结论：PA＝PB，∠APO＝∠BPO．教师展示动图，学生通过观看动图进一步验证结论．【问题】你会证明吗？【答案】证明：如图，连接OA和OB．∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP．又OA＝OB，OP＝OP．∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）．∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO．【新知】切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．几何语言：PA，PB分别切⊙O于点A，B【追问】（1）若连接两切点A，B，AB交OP于点M．你能得出什么新的结论?【答案】OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB．∴△PAB是等腰三角形．PM为顶角的平分线，∴OP垂直平分AB．【追问】（2）若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?【答案】CA＝CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB．又∵PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴AC＝BC．【归纳】在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形．（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆上一点．【设计意图】利用“思考”中的基本图形和动图，让学生独立探究切线长定理及其证明，并能解决有关圆的切线长的问题．【练习】PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C．（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中与∠OAC相等的角；（3）写出图中所有的全等三角形；（4）写出图中所有的等腰三角形．【答案】（1）OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP；（2）∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC；（3）△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP；（4）△ABP，△AOB．【设计意图】应用切线长定理解决“练习”中的问题，让学生明确切线长定理体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．【思考】如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？【师生活动】教师假设符合条件的圆作出，引导学生分析画圆需满足的条件：（1）圆心到三边的距离相等，所以圆心是三角形三条角平分线的交点；（2）半径即圆心到三边的距离．学生根据分析的结果作图：（1）分别作∠B，∠C的角平分线BM，CN，交点记为I；（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D；（3）以点I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求的圆．【新知】与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．【设计意图】通过解决在三角形铁皮中截取内切圆的实际问题，引导学生探究内切圆的概念和作图方法．【思考】对比三角形的外接圆和内切圆，你发现了什么？【师生活动】学生独立画出三角形的外接圆和内切圆，教师引导学生得出结论．外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点．内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点．“接”或“切”是说明多边形的顶点或边与圆的位置关系：多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”．【设计意图】通过对照图形，明确“接”或“切”的含义，在对比中加深理解．二、典例精讲【例1】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长．【师生活动】学生独立思考，弄清解题思路，教师适时点拨，归纳解题方法，规范解题步骤．【答案】解：设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x．由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14．解得x＝4．∴AF＝4，BD＝5，CE＝9．【设计意图】通过例题，让学生理解切线长定理以及三角形内切圆的应用，得到三角形内切圆半径与三边长之间的数量关系．【例2】如图，已知四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA与⊙O分别相切于点L，M，N，P．求证：AD＋BC＝AB＋CD．【师生活动】学生独立完成，然后教师进行讲解．【答案】证明：由切线长定理，得AL＝AP，LB＝MB，NC＝MC，DN＝DP．∴AL＋LB＋NC＋DN＝AP＋MB＋MC＋DP，即AB＋CD＝AD