人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程（第1课时）》示范教学设计

实际问题与一元二次方程（第1课时）教学目标1．能利用一元二次方程解决简单的传播问题，规范书写解题过程．2．提高从相关的实际问题中抽象并表达出相等关系的能力．教学重点利用一元二次方程解决相关问题．教学难点在相关实际问题中准确表达相等关系．教学过程新课导入我们已经学过列一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，回忆一下，列一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤是什么？列方程（组）解决实际问题的一般步骤：同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中的数量关系的数学模型．本节继续讨论如何运用一元二次方程解决实际问题．新知探究一、探究学习【问题】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【师生活动】教师引导学生思考，如何理解“两轮传染”？带领学生交流讨论后得到如下结论：“两轮传染”中，两轮是指两个传染周期．例如，开始有1个人（不妨记为a）患流感，第一轮中a传染给b，c，d，这时有(1＋3)个人患流感；第二轮中这4个人每人又传染了3个人，这一轮新患流感的人数为3×(1＋3)＝12．所以，第二轮后患流感的总人数为3×(1＋3)＋(1＋3)＝16．【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有(1＋x)个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有[1＋x＋x(1＋x)]个人患了流感．【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．于是有1＋x＋x(1＋x)＝121．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）．答：平均一个人传染了10个人．【追问】如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【师生活动】教师引导学生借助前面列方程解出的答案，代入求值．【答案】两轮传染之后共有121个人患了流感，第三轮的传染源也正是这121人，所以第三轮新患流感的人数为121×10＝1210．三轮传染后患流感的总人数为121＋1210＝1331．【归纳】传播问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式，要注意传播的基数、每轮传播的人数以及轮数．【设计意图】将实际问题转化成数学问题，总结解决传播问题的方法．【问题】按照“1传10”的传染速度，n轮之后共有多少个人患流感？【师生活动】教师引导学生对已经求出的前三轮患流感的人数进行列式观察，总结规律，从而得出答案．【答案】第一轮后患流感的总人数：1＋10＝11；第二轮后患流感的总人数：11＋10×11＝121；第三轮后患流感的总人数：121＋10×121＝1331．变形后得到：第一轮后患流感的总人数：1＋10＝11；第二轮后患流感的总人数：11＋10×11＝11×(1＋10)＝112；第三轮后患流感的总人数：121＋10×121＝121×(1＋10)＝113．所以，n轮之后共有11n人患流感．【追问】如果最初有两个人患了流感，按照“1传10”的传染速度，第一轮、第二轮传染之后分别共有多少人患流感？【答案】第一轮后患流感的总人数：2＋20＝22＝2×11；第二轮后患流感的总人数：22＋10×22＝22×(1＋10)＝2×112．【追问】1．根据前面的探究结果，如果最初有a个人患了流感，按照“1传10”的传染速度，n轮传染后共有多少个人患流感？2．如果最初有a个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给x个人，那么n轮传染后共有多少个人患流感？【师生活动】教师引导学生进行思考，初始感染人数变为a，传播速度变为x，按照前面解决问题的思路进行分析，得出答案．【答案】1．n轮传染后共有a(1＋10)n人患流感．2．n轮传染后共有a(1＋x)n人患流感．【设计意图】通过改变前提条件逐步分析，最终得到解决传播问题的计算方法，即如何找到题目中的相等关系列出方程．【新知】传播问题：若a表示传播之前的人数，x表示每轮每人传播的人数，n表示传播的轮数，b表示最终的总人数，则a(1＋x)n＝b．二、典例精讲【例题】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【师生活动】教师引导学生对题目进行分析，得出解题思路：设每轮感染中一台电脑会感染x台电脑．开始有一台电脑感染了病毒，第一轮中它感染了x台电脑，则第一轮后共有(1＋x)台电脑感染病毒；第二轮感染中，这些被感染的电脑中的每一台又感染了x台电脑，则第二轮后共有[1＋x＋x(1＋x)]台电脑感染病毒．求出感染速度后，便可以判断三轮感染后共有多少台电脑被感染．【答案】解：①设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程，得1＋x＋x(1＋x)＝81．解方程，得x1＝8，x2＝－10（不合题意，舍去）．每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．②∵第三轮感染的电脑数量为81×8＝648，∴三轮感染后，被感染的电脑总数量为81＋648＝729，∴三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【归纳】传播问题中，原传染源的数量算在感染总数中．若原传染源的数量为1，每个传染源传染x个个体，则第一次传染后感染个体总数为1＋x，第二次传染后感染个体总数为(1＋x)2．传播问题需要找清：（1）每一轮传播的传播源的数量；（2）每一个传播源每轮传播的数量．【设计意图】提高学生解