2024年高考数学一轮复习（新高考版） 直线的方程

第八章直线和圆、圆锥曲线

§8.1直线的方程

【考试要求】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2根据确

定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般

式).

・落实主干知识

【知识梳理】

1.直线的方向向量

设A,B为直线上的两点，则还就是这条直线的方向向量.

2,直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与X轴相交时，我们以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所成

的角a叫做直线/的倾斜角.

(2)范围：直线的倾斜角a的取值范围为(TWa<180。.

3.直线的斜率

(1)定义：把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母左表示，

即%=tana(aW90°).

(2)过两点的直线的斜率公式

如果直线经过两点Pi(xi，yi),P2H2,>2)(XIWX2),其斜率左=看三;

4.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-yo=-x—xo)不含直线X=Xo

斜截式不含垂直于X轴的直线

y-yix-x\

两点式—(xiWx2，yiWvz)不含直线x=xi和直线y=y

>2>1X2Xl

截距式a+b=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式Ar+By+C=O(A2+B2w0)平面直角坐标系内的直线都适用

【常用结论】

1.直线的斜率上与倾斜角a之间的关系

a0°0°<a<90°90°90°<cc<180°

k0Z>0不存在k<0

牢记口诀：“斜率变化分两段，90。是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个

非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.

3.直线Ax+By+C=0(A2+)W0)的一个方向向量a=(—B,A).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(X)

(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.(X)

(3)若直线的倾斜角为a,则斜率为tana.(X)

(4)直线>=履一2恒过定点(0,-2).(V)

【教材改编题】

1.已知点A(2,0),8(3,小)，则直线A8的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

答案B

解析由题意得直线的斜率左=坐/=小，

设直线AB的倾斜角为a,则tana=小,VO^cKlSO0,

，a=60°.

2.己知直线/过点(1,1),且倾斜角为90。，则直线/的方程为()

A.x+y=lB.x~y=l

C.y=lD.x—1

答案D

解析因为直线/的倾斜角为90°,

所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线/过点(1,1),

所以直线/的方程为x=l.

3.过点尸(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

答案3x—2y=0或x+y—5=0

解析当截距为0时，直线方程为3x—2y=0；

当截距不为0时，

设直线方程为

23

则一+一=1,

aa

解得a=5.

所以直线方程为x+y—5=0.

■探究核心题型

题型一直线的倾斜角与斜率

例1(1)若直线/过点尸(1,0),且与以4(2,1),2(0,小)为端点的线段有公共点，则直线/的

斜率的取值范围是()

A.[-^3,1]B.(一8,-^/3]U[1,+8)

C.一乎,1D.1—8,一乎]U[l,+°0)

答案B

解析如图，当直线/过点8时，设直线/的斜率为％1,则由=右手=—小；当直线/过点

1—0

A时，设直线/的斜率为左2,则左2=「=1,所以要使直线/与线段AB有公共点，则直线

/的斜率的取值范围是(一8,-^/3]U[1,+CO).

斗

\31.

(2)直线2xcosa一厂3=0(。£*W)的倾斜角的变化范围是()

7171712兀~|

C•叵2_D憧"J

答案B

解析直线2xcosa—y—3=0的斜率％=2cosa.

由于不§,所以iWcosaWS-,

因此攵=2cos]£[1,小].

设直线的倾斜角为仇则有tan8£[l,小].

由于。£[0,71),

所以ee,,I],即倾斜角的变化范围是,，f.

思维升华直线倾斜角的范围是[0,兀)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜

率求倾斜角的范围时，要分0,g与仔，兀)两种情况讨论.

跟踪训练1(1)(2023•温州模拟)直线x+(源+l)y+优2=0(mGR)的倾斜角的最小值是

答案T

1机2

解析直线可化为y=一蔗针—而•

*.*m2^0,.*.m2+1^1,

则。，＜1,

则所求倾斜角的最小值是手.

(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为

答案|-3

解析如图，在正方形。ABC中，对角线。2所在直线的斜率为2,建立如图所示的平面直

角坐标系.设对角线所在直线的倾斜角为6,则tan0=2,由正方形的性质可知，直线

OA的倾斜角为6—45。，直线OC的倾斜角为0+45。,

tan8-tan45°

故％A=tan(6»—45°)=

1+tan仇an45。

tan8+tan45°2+1

%oc=tan(9+45°)=3.

1—tan仇an45°1-2

题型二求直线的方程

例2求符合下列条件的直线方程:

⑴直线过点A(T,—3),且斜率为一；；

(2)直线过点(2,1),且横截距为纵截距的两倍；

(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5.

解(1)：所求直线过点A(—l,-3),且斜率为一：，

；.y+3=—即x+4y+13=0.

(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y=kx,

又直线过点(2』)，

.•.1=2鼠解得太=g,

二直线方程为y=%,即x—2y=0；

当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为2+5=1,

~+7=1,[a=4,

由题意可得"b解得

6=2,

〔〃一2。，

直线方程为1+2=1,即尤+2y-4=0；

综上，所求直线方程为x—2y=0或x+2y—4=0.

(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x—5=0,满足题意;

当直线的斜率存在时，设斜率为鼠

则所求直线方程为y-10=k(x-5),

即fcc—y+10—5%=0.

\10-5k\

.•.原点到直线的距离4=WT=5

3

解得仁不

・••所求直线方程为3%—4^+25=0.

综上，所求直线方程为x—5=0或3x—4y+25=0.

思维升华求直线方程的两种方法

⑴直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.

(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件

求出待定系数.

跟踪训练2(1)在△ABC中，已知点4(5,-2),8(7,3),且AC边的中点M在y轴上，BC

边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为()

A.5x—2y—5=0B.2x—5y—5=0

C.5x—2y+5=0D.2x—5y+5=0

答案A

解析设C(x,y),M(0,m)，N(n,0),

因为A(5,-2),2(7,3),

x+5(x+7

2=0,2=n,

且]

2y+3

y~2~_mI2一0'

解得X=-5,y=—3,m=—I，n=l,

即C(—5,-3),q。，-|j,N(l,0),

,5

y+ir

所以MN所在直线的方程为*=卡

2

即5x—2y—5=0.

(2)已知直线/的一个方向向量为〃=(2,3),若/过点A(—4,3),则直线/的方程为()

3

A.厂3=一声+4)

3

B.>+3=声-4)

3

C.y—3=](%+4)

D.y+3=一条―4)

答案C

解析方法一因为直线/的一个方向向量为

〃=(2,3),

3

所以直线/的斜率上=》

3

故直线I的方程为y—3=](x+4).

方法二设尸(%,y)是直线/上的任意一点(不同于A),则泰=(x+4,y—3),

因为直线/的一个方向向量为打=(2,3),

所以3(x+4)—2。-3)=0,

3

故直线/的方程为y—3=](尤+4).

题型三直线方程的综合应用

例3已知直线/过点”(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,8两点，。为

原点，当△A0B面积最小时，求直线/的方程.

解方法一设直线/的方程为

厂1=总—2)(%<0),

则A(2一卷0),8(0,1—2给，

SAAOB=/1—2局(2—

=；4+(—4左)+(一/>|x(4+4)=4,

当且仅当一必=—£即左=—；时，等号成立.

K乙

故直线/的方程为y—l=—^x—2),

即x+2y—4—0.

方法二设直线

且。>0,b>0,

因为直线/过点”(2,1),

21

所见+厂1，

则1[+念2点，故e8,

故SZ\AOB的最小值为:X〃/?=T><8=4,

当且仅当»21衬1取等号，

此时〃=4,b=2,故直线/的方程为今+]=1,

即x+2y—4=0.

延伸探究

1.在本例条件下，当|0川+|。5|取最小值时，求直线/的方程.

21

解由本例方法二知,-+^=1,〃>0,/?>0,

=3+3+^N3+2/，

当且仅当。=2+q^,时，等号成立，

所以当|。4|+|。8|取最小值时，直线/的方程为x+y[2y=2+y[2.

2.本例中，当|跖4HM2I取得最小值时，求直线/的方程.

解方法一由本例方法一知A(2—£0),

2(0,1—2©(左<0).

所以\MA\-\MB\=yj5+1々4+4储

=2Xn^=2L(©+(-与卜

当且仅当一人=一

即k=—1时取等号.

此时直线/的方程为x+y—3=0.

21

方法二由本例方法二知A(a,0),8(0,b),a>0,b>0,"+^=1.

所以=I向H施I

=-MAMB

=一(〃一2,-l).(-2,b-l)

=2(〃-2)+Z?—l=2a~\~b—5

=(2a+b)(|+£>—5

=2(匕b.+a/、、2

当且仅当a=b=3时取等号，此时直线/的方程为x+y—3=0.

思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x,y的关系，将问题转化为关于x(或y)的

函数，借助函数的性质解决.

(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.

跟踪训练3(1)直线/的方程为(a+l)x+y+3—a=0(aGR),直线/过定点,若直线

/不经过第三象限，则实数。的取值范围是.

答案(1,-4)[3,+8)

解析直线/：(a+l)>r+y+3—。=0可化为。(尤一l)+x+y+3=0,

%—1=0,尤=1,

令,,_解得•

、元+y+3=0,)=—4

・•・直线/过定点(1,-4),

,直线/可化为y=—(〃+1)%+〃一3,

又直线/不经过第三象限，

一(〃+1)<0,

解得〃23.

a—320,

⑵已知直线/过点颇1,1),且分别与1轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点.当

|MAF+|M3|2取得最小值时，则直线I的方程为.

答案x+y—2=0

解析设直线/的方程为2+方=1(。>0,b>0),则A(a,0),8(0,b),且»1,则a+b=",

所以|MAF+|MB|2

=(6Z-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(ZJ-1)2

=4+/+〃-2(〃+/?)

=4+a2+b2—2ab

=4+(。一份2三4,

当且仅当a=b=2时取等号，此时直线I的方程为x+y~2=0.

课时精练

应基础保分练

1.(2023・阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为一2,2的直线的倾斜角为()

A.45°B.135°C.90°D.180°

答案A

解析由题意知直线过点(一2,0),(0,2),设直线斜率为鼠倾斜角为a,

2—0

则tanot=T777—1,故倾斜角a=45。.

0—(—2)

2.已知直线/i：小x+y=0与直线&fcc-y+l=0,若直线"与直线L的夹角是60。，则4

的值为()

A./或0B.一小或。

C.^3D.~y[3

答案A

解析直线/i：M5x+y=0的斜率为任=—/,

所以直线/i的倾斜角为120°.

要使直线/i与直线/2的夹角是60。，

只需直线，2的倾斜角为0°或60。，

所以上的值为0或

3.（2023•南京师范大学附中模拟）若将直线/沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方

向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，贝心的斜率是（）

,3c3〃2n2

A.~2C.—Dq

答案c

解析由题意可知直线/的斜率存在且不为0,

设直线I的方程为>=丘+6/W0）,

则平移后直线的方程为y=4x—3）+6—2=（fcc+6）+（—3Z—2）,

可得依+b=（丘+6）+（—3左一2）,

-2

即k=­y

4.若直线/的方程y=一/一£中，ab>0,ac<0,则此直线必不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析由y=一齐一东ab>0,ac<0,

知直线/的斜率4=—£<0,在y轴上的截距一£>（）,

所以此直线必不经过第三象限.

5.直线/：3x—y+2=0与无轴交于点A,把/绕点A顺时针旋转45。得直线相，根的倾斜

角为a,贝！Jcosa等于（）

A#^2-^6

A.4B4

V6+V2V6-V2

L.4"4

答案c

解析设/的倾斜角为0,贝Ijtan6=d§,...6=60。，

由题意知6（=61—45。=60。-45。，

•'.cosa=cos（60°—45°）=cos60°cos450+sin60°sin45。=与X当+坐><坐=.

6.设A,2是x轴上的两点，点P的横坐标为2,且|B4|=|PB|,若直线E4的方程为x—y+1

=0,则直线PB的方程是（）

A.龙+厂5=0B.2x-j-l=0

C.2x—y—4=0D.2x+y—7=0

答案A

解析易知A(—1,0).

■：\m\=\PB\,

，点尸在AB的垂直平分线，即x=2上，

8(5,0).

,.,PA,尸8关于直线x=2对称，

".kpB——I.-'-IPB：y-0——(x-5),

即x+y—5=0.

7.(多选)下列说法正确的有()

A.若直线经过第一、二、四象限，则(七6)在第二象限

B.直线〉=办一3。+2过定点(3,2)

C.过点(2,-1),斜率为一小的直线的点斜式方程为y+l=一小(无一2)

D.斜率为一2,在y轴上截距为3的直线方程为y=-2x±3

答案ABC

解析A中，直线y=fcv+6经过第一、二、四象限，则4<0,b>0,所以&b)在第二象限,

故A正确；B中，直线可写为y—2=a(x—3),所以直线过定点(3,2),故B正确；C中，根据

直线的点斜式方程知正确；D中，由直线的斜截式方程得y=—2x+3,故D错误.

8.(多选)若直线过点A(l,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线/的方程为()

A.x—y+l=0B.x+y—3=0

C.2x—y=0D.x—y—1=0

答案ABC

2—0

解析当直线经过原点时，斜率为％=丁左=2，

所求的直线方程为y=2x,即2x—y=0；

当直线不过原点时，

设所求的直线方程为x+y=a,

把点A(l,2)代入可得1—2=a或1+2=a,

求得a=—1或a=3,故所求的直线方程为x—y+1=0或x-\-y—3=0.

综上，所求的直线方程为2x—y—0,无一y+l=0或x+y—3=0.

9.已知直线y=(3—2%)尤一6不经过第一象限，则k的取值范围为.

答案弓，+8)

解析由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，贝"6')得

[3—2左W0,

3

10.已知直线/的倾斜角为a,sina=1,且这条直线/经过点尸(3,5),则直线/的一般式方程

为.

答案3x—4y+ll=0或3x+4y—29=0

3,-----------43

解析因为sina=m，所以cosa==所以直线/的斜率为％=tana=±w，又因

33

为直线/经过点尸(3,5),所以直线/的方程为y—5=w(x—3)或y—5=-w(x—3),所以直线/

的一般式方程为3x—4y+ll=0或3x+4y-29=0.

11.已知点4(2,4),8(4,2),直线/：y^kx-2,则直线/经过定点,若直线/与线段

A2有公共点，则上的取值范围是.

答案(0,-2)[1,3]

4—f—2)

解析由题意得直线/：2过定点C(0,-2),又点A(2,4),8(4,2),kCA=2_Q=3,

=1,

要使直线/与线段A2有公共点，由图可知上

12.过点P(—1,0)且与直线/i：/x—y+2=0的夹角为袭的直线的一般式方程是

答案x+l=0或x—5y+l=0

解析直线/i的倾斜角兀)且tan片小,

则看;，

因为所求直线与直线/i的夹角为名

所以所求直线的倾斜角为概与，

o2

当所求直线的倾斜角为彳时，直线为x=-1;

当所求直线的倾斜角为袭时，直线为y=^(x+l),

故直线为彳一小y+l=O.

综上，所求直线为x+l=O或x—<§y+l=O.

D合提升练

13.(多选)下列说法正确的是()

A.不经过原点的直线都可以表示为擀+1=1

B.若直线/与x,y轴的交点分别为A,B且A8的中点为(4,1),则直线/的方程为方+4=1

C.过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=x或x+y=2

D.直线3x—2y=4的截距式方程为今十e=1

3

答案BCD