人教版九年级数学上册《解一元二次方程（第6课时）》示范教学课件

解一元二次方程（第6课时）解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过配方、因式分解等，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

具体地，根据平方根的意义，可得出方程x2＝p和(x＋n)2＝p的解；通过配方，可将一元二次方程转化为(x＋n)2＝p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)配方后得出的．若能将ax2＋bx＋c分解为两个一次因式的乘积，则可令每个因式为0来解．本节课，主要对这几种解方程的方法进行复习巩固，进一步提高同学们对一元二次方程的求解能力．本章学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根．当然，也要根据方程的具体特点选择适当的解法．类型一、直接开平方法解方程1．用直接开平方法解下列方程：（1）x2－9＝0；（2）3x2－54＝0；解：（1）移项，得x2＝9．根据平方根的意义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3．（2）移项，得3x2＝54．两边同除以3，得x2＝18．

根据平方根的意义，得x＝±3

，即x1＝3

，x2＝－3

．类型一、直接开平方法解方程1．用直接开平方法解下列方程：（3）(x＋2)2＝9；（4）(2y＋3)2＝16；解：（3）根据平方根的意义，得x＋2＝±3，即x＋2＝3或x＋2＝－3，所以x1＝1，x2＝－5．（4）根据平方根的意义，得2y＋3＝±4，即2y＋3＝4或2y＋3＝－4，所以y1＝，y2＝－．类型一、直接开平方法解方程1．用直接开平方法解下列方程：（5）9x2＋12x＋4＝9；（6）x2－6x＋9＝(5－2x)2．解：（5）方程可化为(3x＋2)2＝9，所以3x＋2＝±3，所以3x＋2＝3或3x＋2＝－3．解得x1＝，x2＝－．（6）方程可化为(x－3)2＝(5－2x)2，所以x－3＝±(5－2x)，所以x－3＝5－2x或x－3＝－(5－2x)，解得x1＝

，x2＝2．归纳（1）解形如(ax＋b)2＝c(a≠0，c≥0)的一元二次方程，应运用整体思想，把ax＋b看做一个整体，两边直接开平方．（2）利用平方根的意义解一元二次方程时，容易漏掉负值而丢根．

用直接开平方法解方程的一般步骤第1步：移项，使方程左边是完全平方式，右边是非负数的形式；第2步：开平方，注意右边的非负数开平方后必须取正负两个平方根．类型二、配方法解方程2．用配方法解方程：2x2－5x＋3＝0．解：移项，得2x2－5x＝－3．二次项系数化为1，得x2－x＝－．配方，得x2－x＋＝－＋，即＝．由此可得x－＝±，所以x1＝1，x2＝．总结配方法的一般步骤：移项化二次项系数为1

配方开平方解方程一般使用配方法需具备的条件：方程二次项系数为1，一次项系数为偶数．用配方法解一元二次方程的关键步骤是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

3．用配方法证明：不论x

取何值，代数式x2－4x＋12的值总不小于8．证明：因为x2－4x＋12＝(x2－4x＋4)＋8＝(x－

2)2＋8，且(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋8≥8，即x2－4x＋12≥8．所以不论x

取何值，代数式x2－4x＋12的值总不小于8．总结运用配方法确定代数式的取值范围分两步走第1步：将代数式化为a(x＋m)2＋h的形式；第2步：根据非负数的性质进行讨论解决．类型三、公式法解方程4．用公式法解下列方程：（1）x2－4x－3＝0；（2）y2－2y＝－．解：（1）因为a＝1，b＝－4，c＝－3，所以b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－3)＝28＞0，所以x＝＝，所以x1＝2＋，x2＝2－．类型三、公式法解方程解：（2）原方程变形为3y2－4y＋1＝0．因为a＝3，b＝－4，c＝1，所以b2－4ac＝(－4)2－4×3×1＝4＞0，所以y＝＝＝，所以y1＝1，y2＝．4．用公式法解下列方程：（1）x2－4x－3＝0；（2）y2－2y＝－．总结公式法的一般步骤：把方程化为一般形式确定a，b，c的值计算b2－4ac

代入求根公式运用求根公式的三点注意（1）在方程变形时将二次项系数变为正数；（2）各项系数应尽量避免小数或分数；（3）将a，b，c代入求根公式时，不要漏掉前面的符号．5．用公式法解关于x的一元二次方程(m2－n2)x2－4mnx＝m2－n2．解：将方程化为一般形式，得(m2－n2)x2－4mnx＋n2－m2＝0．这里a＝m2－n2，b＝－4mn，c＝n2－m2．因为b2－4ac＝(－4mn)2－4(m2－n2)(n2－m2)＝16m2n2＋4m4－8m2n2＋4n4＝(2m2＋2n2)2≥0．所以x＝

＝＝．即x1＝，x2＝．总结（1）求根公式适用于所有有解的一元二次方程，所以也被称为“万能公式”．求根公式使用的前提条件是一元二次方程有实数根．（2）利用公式法解一元二次方程时，应严格遵循其解答步骤，不能急于求成，避免出现不符合运算规范的错误．解含有字母参数的一元二次方程时，一定要注意区分哪个是未知数，哪个是字母参数．类型四、因式分解法解方程6．用因式分解法解下列方程：（1）2y2＋4y＝y＋2；（2）3x(x－2)＝2(2－x)．解：（1）将原方程变形为2y(y＋2)＝y＋2．移项，得2y(y＋2)－(y＋2)＝0．因式分解，得(y＋2)(2y－1)＝0．于是得y＋2＝0或2y－1＝0，解得y1＝－2，y2＝

．类型四、因式分解法解方程解：（2）将原方程移项变形为3x(x－2)＋2(x－2)＝0．因式分解，得(x－2)(3x＋2)＝0．于是得x－2＝0或3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝－．6．用因式分解法解下列方程：（1）2y2＋4y＝y＋2；（2）3x(x－2)＝2(2－x)．当一元二次方程的右边化成0后，方程左边的多项式含有公因式（可能是单项式，也可能是多项式），可利用提公因式法分解因式求解．7．用因式分解法解下列方程：（1）(x－1)2－4(x＋2)2＝0；

（2）3(x－4)2＝16－x2．解：（1）原方程可化为(x－1)2－[2(x＋2)]2＝0．因式分解，得[(x－1)＋2(x＋2)][(x－1)－2(x＋2)]＝0．整理，得3(x＋1)·(－x－5)＝0，于是得x＋1＝0或－x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝－5．解：（2）整理，得3(x－4)2－(16－x2)＝0，即3(x－4)2＋(x2－16)＝0．因式分解，得3(x－4)2＋(x＋4)(x－4)＝0，即(x－4)[3(x－4)＋(x＋4)]＝0．整理，得(x－4)(4x－8)＝0，于是得x－4＝0或4x－8＝0，所以x1＝4，x2＝2．7．用因式分解法解下列方程：（1）(x－1)2－4(x＋2)2＝0；

（2）3(x－4)2＝16－x2．总结因式分解法的一般步骤：移项