2024-2025学年新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦正切课时素养检测含解析新人教B版必修第三册

PAGE课时素养检测十八两角和与差的正弦、正切(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.计算sin8°cos38°-sin82°sin38°等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.逆用两角差的正弦公式,得sin8°cos38°-sin82°sin38°=sin8°cos38°-cos8°sin38°=sin(8°-38°)=sin(-30°)=-sin30°=-QUOTE.2.sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.逆用两角和的正弦公式,得sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=QUOTE.3.QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选A.QUOTE=tan(82°-22°)=tan60°=QUOTE.4.已知cosQUOTE=2cos(π-α),则tanQUOTE=()A.-4 B.4 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为cosQUOTE=2cos(π-α),所以-sinα=-2cosα,所以tanα=QUOTE=2,所以tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.5.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定【解析】选A.因为tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则tanA+tanB=QUOTE,tanAtanB=QUOTE,所以tan(A+B)=QUOTE=QUOTE,所以0<A+B<QUOTE,得QUOTE<C<π,所以△ABC是钝角三角形.【补偿训练】在△ABC中,∠C=120°,tanA+tanB=QUOTE,则tanAtanB的值为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.因为∠C=120°,所以∠A+∠B=60°,所以tan(A+B)=QUOTE=QUOTE,所以tanA+tanB=QUOTE(1-tanAtanB)=QUOTE,解得tanAtanB=QUOTE.6.(多选题)下列叙述正确的为 ()A.对于随意θ∈R,总有sinQUOTE=cosθB.存在α、β,满意sin(α―β)=sinα―sinβC.不存在α、β,满意sin(α+β)=sinα+sinβD.对随意α、β,sin(α+β)=sinα+sinβ【解析】选AB.sinQUOTE=sinQUOTEcosθ+cosQUOTEsinθ=cosθ,A正确.存在α=π、β=π,满意sin(α―β)=sinα―sinβ,B正确.存在α=0、β=QUOTE,满意sin(α+β)=sinα+sinβ,C不正确.对随意α、β,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,D不正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,则tanQUOTE=.

【解析】由题意得tanα=-2,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.已知α、β均为锐角,且tanβ=QUOTE,则tan(α+β)=.

【解析】已知α、β均为锐角,且tanβ=QUOTE,则tanβ=QUOTE,得tanα+tanβ=1-tanαtanβ,tan(α+β)=QUOTE=1.答案:1三、解答题(每小题14分,共28分)9.求下列各式的值:(1)sin245°sin125°+sin155°sin35°;(2)(1-tan59°)(1-tan76°).【解析】(1)sin245°sin125°+sin155°sin35°=-sin65°cos35°+cos65°sin35°=sin(35°-65°)=sin(-30°)=-QUOTE.(2)因为tan135°=tan(59°+76°)=QUOTE,所以tan59°+tan76°=-(1-tan59°tan76°),所以(1-tan59°)(1-tan76°)=1-(tan59°+tan76°)+tan59°tan76°=1+1-tan59°tan76°+tan59°tan76°=2.【补偿训练】已知sinα=-QUOTE,α是第四象限角,分别求sinQUOTE,cosQUOTE,tanQUOTE的值.【解析】因为sinα=-QUOTE,α是第四象限角,得cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE,tanα=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,于是有sinQUOTE=sinQUOTEcosα-cosQUOTEsinα=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.cosQUOTE=cosQUOTEcosα-sinQUOTEsinα=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-7.10.已知sinQUOTE=QUOTE,cosQUOTE=QUOTE,且0<α<QUOTE<β<QUOTE,求cos(α+β).【解析】由sinQUOTE=QUOTE,cosQUOTE=QUOTE,且0<α<QUOTE<β<QUOTE,得QUOTE<α+QUOTE<π,-QUOTE<QUOTE-β<0,所以cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,sinQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以cos(α+β)=sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE-cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.【补偿训练】如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为QUOTE,QUOTE.(1)求tan(α+β)的值.(2)求α+2β的值.【解题指南】解答本题可先由随意角三角函数定义求cosα,cosβ,再求sinα,sinβ,从而求出tanα,tanβ,然后利用公式Tα+β求tan(α+β),最终利用α+2β=(α+β)+β求tan(α+2β)得到α+2β的值.【解析】(1)由三角函数的定义可知cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE;所以sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE,所以tanα=7,tanβ=QUOTE,于是tan(α+β)=QUOTE=-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=QUOTE=QUOTE=-1.又0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,所以0<α+2β<QUOTE,由tan(α+2β)=-1,得α+2β=QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.计算cos58°sin32°+sin58°sin122°的值为 ()A.1 B.―1 C.0 B.―QUOTE【解析】选A.方法一:cos58°sin32°+sin58°sin122°=cos58°cos58°+sin58°sin(180°―58°)=cos58°cos58°+sin58°sin58°=cos(58°-58°)=cos0°=1.方法二:原式=cos258°+sin258°=1.2.已知角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,其终边经过点P(-QUOTE,1),则sinQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为角θ的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,其终边经过点P(-QUOTE,1),则|OP|=2,得sinθ=QUOTE,cosθ=-QUOTE,所以sinQUOTE=sinθcosQUOTE-cosθsinQUOTE=QUOTEsinθ-QUOTEcosθ=QUOTE+QUOTE=QUOTE.3.(2024·全国Ⅲ卷)已知sinθ+sinQUOTE=1,则sinQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意可得:sinθ+QUOTEsinθ+QUOTEcosθ=1,则QUOTEsinθ+QUOTEcosθ=1,QUOTEsinθ+QUOTEcosθ=QUOTE,从而有:sinθcosQUOTE+cosθsinQUOTE=QUOTE,即sinQUOTE=QUOTE.4.在三角形ABC中,三个内角分别是A,B,C,若sinC=2cosAsinB,则三角形ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.正三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.在三角形ABC中,A+B+C=π,由sinC=2cosAsinB,得sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=2cosAsinB,得sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,所以sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,得A-B=0,即A=B,则三角形ABC肯定是等腰三角形.二、填空题(每小题4分,共16分)5.计算cos89°cos31°-cos1°cos59°=.

【解析】cos89°cos31°-cos1°cos59°=sin1°cos31°-cos1°sin31°=sin(1°-31°)=sin(-30°)=―QUOTE.答案:―QUOTE6.已知tanQUOTE=2,则QUOTE的值为.

【解析】因为tanQUOTE=2,所以QUOTE=2,解得tanα=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知tanQUOTE=-3,则tanQUOTE=.

【解析】tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE【补偿训练】计算QUOTE的值是.

【解析】因为sin68°=sin60°cos8°+cos60°sin8°,cos68°=cos60°cos8°-sin60°sin8°,所以QUOTE=QUOTE=tan60°=QUOTE.答案:QUOTE8.关于函数f(x)=sinx+QUOTEcosx,有下述三个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)在QUOTE上单调递增;③当x=θ时,函数f(x)取得最大值,则cosθ=QUOTE.其中,全部正确结论的编号是.

【解析】函数f(x)=sinx+QUOTEcosx=2QUOTE=2QUOTE=2sinQUOTE,明显,f(x)不是偶函数,①不正确;由-QUOTE+2kπ≤x+QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,得-QUOTE+2kπ≤x≤QUOTE+2kπ,所以f(x)在QUOTE上单调递增,从而f(x)在QUOTE上单调递增,②正确;函数f(x)的最大值为2,此时x+QUOTE=QUOTE+2kπ,x=QUOTE+2kπ,k∈Z,x=θ,所以cosθ=QUOTE,③正确.答案:②③三、解答题(共38分)9.(12分)求值: