2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性第1课时函数的奇偶性考点1函数奇偶性概念的理解1.奇函数y=f(x)(x∈R)的图像必定经过点()。A.(a,f(-a))B.(-a,f(a))C.(-a,-f(a)) D.a答案:C解析:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-a)=-f(a)。故选C。2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)的值为()。A.-1 B.0C.1 D.无法确定答案:B解析:∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(0)=-f(0),∴f(0)=0。3.下列说法正确的是()。A.偶函数的图像肯定与y轴相交B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.奇函数y=f(x)的图像肯定过原点D.图像过原点的奇函数必是单调函数答案:B解析:A项,若定义域不包含0,则图像与y轴不相交;C项,若定义域不包含0,则图像不过原点;D项,奇函数不肯定是单调函数。故选B。4.下列说法中错误的个数为()。①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数;②图像关于y轴对称的函数是偶函数;③奇函数的图像肯定过坐标原点;④偶函数的图像肯定与y轴相交。A.4B.3C.2D.1答案:C解析:由奇函数、偶函数的性质,知①②说法正确;对于③,如f(x)=1x,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是奇函数,但它的图像不过原点,所以③说法错误;对于④,如f(x)=1x2,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是偶函数,但它的图像不与y轴相交,所以④5.下列函数不具备奇偶性的是()。A.y=-x B.y=-1C.y=x-1x+1 D.y答案:C解析:y=-x与y=-1x都是奇函数,y=x2+2是偶函数,y=x-1x+1的定义域为{x∈R|x≠-1},不关于原点对称,故y=x6.函数f(x)=1x-x的图像()A.关于y轴对称B.关于直线y=x对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y=-x对称答案:C解析:∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=-1x-(-x)=x-1x=-f(x),∴f(x)是奇函数7.偶函数y=f(x)的定义域为[t-4,t],则t=。

答案:2解析:偶函数的定义域关于原点对称,故t-4=-t,得t=2。8.下面三个结论:①假如一个函数的定义域关于原点对称,则这个函数为奇函数;②假如一个函数为偶函数,则它的定义域关于原点对称;③假如一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数只能为偶函数。其中正确的个数是。答案:1解析:一个函数的定义域关于原点对称,不肯定是奇函数,还必需要看f(-x)与-f(x)是否相等,所以①是错误的;②正确;f(x)=0(x∈R)的图像关于y轴对称,f(x)既是奇函数又是偶函数,③不正确。考点2函数奇偶性的推断9.(2024·北京海淀外国语试验中学高一期中)下列函数为偶函数的是()。A.f(x)=x4-1 B.f(x)=x2(-1<x<3)C.f(x)=x+1x D.f(x)=答案:A解析:选项A中,f(-x)=x4-1=f(x),且定义域为R,故该函数为偶函数;选项B中的函数定义域不关于原点对称,故该函数为非奇非偶函数;选项C中,f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x),又定义域关于原点对称,故该函数为奇函数;选项D中,f(-x)=-x4x=-f(x10.函数f(x)=1|x|-x2的图像关于(A.y轴对称 B.直线y=-x对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称答案:A解析:函数f(x)=1|x|-x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=1|-x|-(-x)2=1|x|-x2=f(x),所以11.(2024·辽宁凌源高一期末调考)下列函数中,既是奇函数,又在(0,1)上是增函数的是()。A.y=x(x-1) B.y=1x2C.y=x(x2-1) D.y=2x-1答案:D解析:A.y=x(x-1)=x2-x的对称轴为x=12,所以在0,12上单调递减,且为非奇非偶函数,不符合;B.y=1x2-x在(0,1)上为减函数,不符合;C.y=x(x2-1),当x=12时,y=-38=-2464,当x=14时,y=-1564,所以函数在(0,1)上必定不是增函数,不符合;D.y=212.(2024·广东中山一中统测)下列函数是奇函数,且在区间(0,1)上为减函数的是()。A.f(x)=x+1x B.f(x)=x+1x2C.f(x)=x2+1 D.f答案:A解析:对于A,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=(-x)+1-x=-x+1x=-f(x),则f(x)为奇函数,且在(0,1)上为减函数,所以A符合;对于B,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,而f(-x)=-x+1x2≠-f(x),所以B不符合;对于C,f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=x2+1=f(x),则f(x)为偶函数,所以C不符合;对于D,f(x)的定义域R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),则f(x)为奇函数,但在(0,1)13.(2024·安徽安庆一中高三上月考)若定义在R上的函数f(x)满意:对随意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法正确的是()。A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.g(x)=f(x)+1为奇函数D.g(x)=f(x)+1为偶函数答案:C解析:∵对随意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,∴令x1=x2=0,得f(0)=-1;令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,∴g(x)=f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]=-g(-x),∴g(x)=f(x)+1为奇函数。故选C。14.函数f(x)=x(1-x),x答案:奇函数 解析:定义域关于原点对称,且f(-x)=-x(1+x),-x<0,-x(115.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,给出下列函数:①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x,其中的奇函数为。(填序号)

答案:②④ 解析:∵f(|-x|)=f(|x|),∴①为偶函数;∵f(-x)=-f(x),令g(x)=-f(x),则g(-x)=-f(-x)=f(x)=-g(x),∴②为奇函数;令F(x)=xf(x),则F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函数;令h(x)=f(x)+x,则h(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-h(x),故④是奇函数。考点3函数奇偶性的应用16.(2024·四川绵阳南山中学高一期中)函数f(x)=x+2a+3x2+8为奇函数,A.-1 B.1 C.-32 D.答案:C解析:f(x)为奇函数,则f(0)=0,即0+2a+3=0,∴a=-32,此时,f(x)=x17.(2024·黑龙江大庆中学高一期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且有f(3)>f(1),则下列各式中肯定成立的是()。A.f(-1)<f(3) B.f(0)<f(5)C.f(3)>f(2) D.f(2)>f(0)答案:A解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(-1)=f(1)。又f(3)>f(1),∴f(3)>f(-1)。故选A。18.(2024·浙江台州高一上期中考试)已知f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=()A.1 B.2 C.-1 D.-2答案:D解析:因为函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,所以f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2。故选D19.函数f(x)=ax2+bx+2a-b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则a+b=()。 A.-13 B.13 C.0答案:B解析:由偶函数的定义,知[a-1,2a]关于原点对称,所以2a=1-a,解得a=13。又f(x)为偶函数,所以b=0,所以a+b=120.(2024·河南濮阳高一上期末考试)对于定义域为R的奇函数f(x),下列结论肯定成立的是()。A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0答案:C解析:∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)-f(-x)=2f(x),其值与f(x)的取值有关,f(x)·f(-x)=-f2(x)≤0,故选C。21.若奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(3)=0,则不等式f(x)-f(-xA.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)答案:A解析:∵f(x)为奇函数,f(3)=0,∴f(-3)=0。∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0)上为增函数,∴f(x)-f(-x)2=f(x)>0。当x>0时,f(x)>f(3),∴x>3;当x<0时,f(x)>f(-3),∴-3<x22.(2024·云南昆明官渡一中高一期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上为增函数,且f(-3)=0,则不等式f(2x-1)<0的解集为()。A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-1,+∞)答案:A解析:因为f(-3)=0,且该函数为偶函数,所以f(3)=f(-3)=0,所以不等式f(2x-1)<0等价于f(|2x-1|)<f(3)。又因为f(x)在[0,+∞)上为增函数,由题意得|2x-1|<3,所以-1<x<2,故选A。23.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解析式为。

答案:f(x)=x2-解析:设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2-2·(-x)=x2+2x。又∵y=f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x)。∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x,∴f(x)=x24.已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的全部实根之和是。

答案:0解析:由题意,知函数y=f(x)的图像关于y轴对称,所以其图像与x轴的四个交点也两两成对关于y轴对称,即方程f(x)=0的实根两两互为相反数,故其全部实根之和是0。考点4函数奇偶性的综合问题25.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图像如图3-2-2-1-1所示。图3-2-2-1-1(1)补全f(x)的图像;答案:描出点(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),则可得f(x)的图像如图所示。(2)解不等式xf(x)>0。答案:结合函数f(x)的图像,可知不等式xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2)。26.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=3x·(1+x)(1)求f(27)与f(-27)的值;答案:由题意知f(27)=327×(1+27)=84∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-27)=-f(27)=-84。(2)求f(x)的解析式。答案:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0。设x<0,则-x>0,f(-x)=3-x·[1+(-x)]=-3x·(1-又∵f(-x)=-f(x),∴f(x)=3x·(1-x∴f(x)=3第2课时函数基本性质的综合问题考点1分段函数的性质及其应用1.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值,设f(x)=min{-x-2,x-4},则f(x)的最大值为()。A.-2B.-3C.-4D.-6答案:B解析:由题意知f(x)=x-4,x<1,-x-2,2.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=-A.32 B.1 C.-7 答案:B解析:f32=f-12=-4×-13.(2024·浙江绍兴一中高三期中)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1,满意f[f(a)]=12的实数a的个数为()A.2 B.4 C.6 D.8答案:D解析:当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=-(-x-1)2+1=-(x+1)2+1,令f(t)=12⇒t≥0,-(t-1)2+1=12或t<0,-(t+1)2+1=12⇒t=1±22或t=-1±22,即f(a)=1±24.设函数f(x)=-x2,x<0,g(x),x>0,A.-4 B.-2 C.2 D.4答案:D解析:g(2)=f(2)=-f(-2)=(-2)2=4。5.已知f(x)是定义在区间[-2,2]上的奇函数,它在(0,2]上的图像是一条如图3-2-2-2-1所示的线段(不含点(0,1)),则不等式f(x)-f(-x)>x的解集为。

图3-2-2-2-1答案:[-2,-1)∪(0,1)解析:由已知当0<x≤2时,f(x)=-12x+1,又因为f(x)为奇函数,所以当-2≤x<0时,f(x)=-f(-x)=--12·(-x)+1=-12x-1,f(0)=0。不等式f(x)-f(-x)>x可化为2f(x)>x,明显x=0不是它的解。当0<x≤2时,2-12x+1>x,解得0<x<1。当-2≤x<0时,2-12x-1>x,解得-26.已知函数f(x)=-(1)求f(f(f(-1)))的值;答案:f(-1)=-(-1)-1=0,f(f(-1))=f(0)=1,f(f(f(-1)))=f(1)=-12+2×1=1。(2)画出函数的图像;答案:图像如图所示。(3)指出函数的单调区间。答案:单调递减区间为(-∞,0),(1,+∞),单调递增区间为(0,1)。考点2函数单调性、奇偶性和最值的确定7.(2024·北京东城高一联考)若f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x≤0时有()。A.f(x)≤2 B.f(x)≥2C.f(x)≤-2 D.f(x)≥-2答案:B解析:当x≤0时,f(x)=f(-x),-x≥0,所以f(-x)≥2,所以当x≤0时f(x)≥2。故选B。8.(2024·湖北襄阳四校高一期中联考)f(x),g(x)都是定义在R上且不恒为0的函数,下列说法不正确的是()。A.若f(x)为奇函数,则y=|f(x)|为偶函数B.若f(x)为偶函数,则y=-f(-x)为奇函数C.若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则y=f[g(x)]为偶函数D.若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则y=f(x)+g(x)为非奇非偶函数答案:B解析:若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),令F(x)=-f(-x),则F(-x)=-f(x)=-f(-x)=F(x),所以y=-f(-x)为偶函数,所以B不正确,故选B。9.若函数y=f(x+1)是偶函数,则下列说法不正确的是()。A.y=f(x)的图像关于直线x=1对称B.y=f(x+1)的图像关于y轴对称C.必有f(1+x)=f(-1-x)成立D.必有f(1+x)=f(1-x)成立答案:C解析:由题意,y=f(x+1)是偶函数,所以y=f(x+1)的图像关于y轴对称,故B正确;y=f(x+1)的图像向右平移一个单位即得函数y=f(x)的图像,故A正确;令g(x)=f(x+1),由题意g(-x)=g(x),得f(-x+1)=f(x+1),故D正确。故选C。10.已知符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,若函数f(x)在R上单调递增,g(A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]C.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgnx答案:D解析:依据函数f(x)在R上单调递增,不妨设f(x)=x,a=2,则g(x)=f(x)-f(ax)=-x,sgn[g(x)]=-sgnx,sgn[f(x)]=sgnx,所以A,B不正确;对于C,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)-f(ax)=-x,sgn[f(x)]=sgn(x+1)=1,x>-1,0,x=-1,-1,x<-11.已知f(x)是定义在R上的增函数,给出下列结论:①y=[f(x)]2是增函数;②y=1f(x)是减函数;③y=-f(x)是减函数;④y=|f(x)|是增函数答案:①②④解析:依据复合函数的单调性推断。考点3函数的单调性、奇偶性的应用12.(2024·吉林试验中学高三模拟)已知f(x)为奇函数,在区间[3,6]上是增函数,且在此区间上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=()。A.-15 B.-13 C.-5 D.5答案:A解析:因为函数在[3,6]上是增函数,所以f(6)=8,f(3)=-1,又函数f(x)为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15,故选A。13.(2024·青海西宁高一期末)设函数f(x)在定义域R上满意f(-x)+f(x)=0,若f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(-2)=0,则满意(x-1)f(x)>0的x的取值范围为()。A.(-∞,1)∪(1,2) B.(-2,0)∪(1,2)C.(-2,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:由条件知函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(-2)=0,f(2)=0,依据这些特点可以画出图像(图略),得到f(x)<0的x的取值范围为(-2,0),(2,+∞),f(x)>0的x的取值范围为(-∞,-2),(0,2)。故可求得满意(x-1)f(x)>0的x的取值范围为(-2,0)∪(1,2)。14.(2024·内蒙古包头高一期末)已知定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满意条件:对随意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是()。A.(1,+∞) B.(1,2)C.(-∞,2) D.(0,2)答案:B解析:令x=y=1,得f(1×1)=2f(1)-1,则f(1)=1,故所求不等式等价于x-1>0,f(x-1)>f(1)。又函数15.(2024·湖南益阳高一期末)已知函数f(x)是R上的奇函数,且对随意实数a,b,当a+b≠0时,都有f(a)+f(b)a+b>0。假如存在实数x∈[1,3],使得不等式f(x-c)+f(x-cA.(-3,2) B.[-3,2]C.(-2,1) D.[-2,1]答案:A解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(a)-f(b)a-b=f(a)+f(-b)a+(-b)>0,不妨设a>b,∴a-b>0,∴f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b)。∴f(x)在R上单调递增。∵f(x)为奇函数,∴f(x-c)+f(x-c2)>0等价于f(x-c)>f(c2-x),∴不等式等价于x-c>c2-x,即c2+c<2x。∵存在实数x∈[1,3]使得不等式c2+16.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,对于随意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有f(x1①f(3)=0;②直线x=-6是函数y=f(x)图像的一条对称轴;③函数y=f(x)在区间[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在区间[0,2024]上的图像与x轴有335个交点。其中真命题的序号为。

答案:①②解析:依据题意,取x=-3,有f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3),所以f(3)=0,从而f(x+6)=f(x)。因为y轴是函数图像的对称轴,所以直线x=-6也是函数图像的一条对称轴,故①②是正确的。又当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,可知函数在[0,3]上是增函数,所以函数在[-3,0]上是减函数,故函数在[-9,-6]上是减函数,故③是不正确的。因为2024=3+6×335+1,且f(3)=0,所以函数y=f(x考点4函数基本性质的综合应用17.(2024·青海师大附中高一期中)定义