河南省开封市2024届高三年级下册第二次质量检测数学试卷(含答案)

河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知抛物线的标准方程是V=4%,则它的准线方程是（）

A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=l

2.已知集合A=｛,.〃兀』},

x\x=sm——,nGz1,5={0则下列命题正确的是（

2

A.A=BB.BcAC.AB={0,-1}D©8={1}

"I”<°是奇函数,则实数a

3.若函数〃x）==()

x+a,x>Q

A.OB.-lC.lD.±l

4.已知数列｛4｝的前〃项和为=3n-l,贝1]%=()

A.81B.162C.243D.486

5.若(2光一1)4=,贝!]%+(

22+%=()

A.-40B.40C.41D.82

6.已知函数〃司=2',则函数/（%）的图象在点（0,/（0））处的切线方程为（）

A.x-y-l=OB.x-y+l=OC.x-ln2-y-l=0D.xln2-y+l=0

7.若直线/」+2=l（a〉0,b>0）经过点（1,2）,则直线/在x轴和y轴上的截距

ab

之和取最小值时，-=（）

b

A.2B.-C.V2D.—

22

8.已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两

部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的

体积之比是（）

A.l:8B.l:9C.l:26D.l:27

二、多项选择题

9.已知复数Z1=〃+i,z2=1+Z?i（其中i是虚数单位，a,Z?eR）,若为纯虚

数，则（）

A.a-/?=OB.a+/?=0C.ab^-1D.ab^l

10.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年

收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是()

A.该地农户家庭年收入的极差为12

B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9

C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元

11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为

/(%)=国，国表示不超过x的最大整数，例如[-3.5]=T,[2』=2.下列命题中正确

的有()

A.HxeR,=

B.VXGR,HeZ>+=+〃

C.Vx,y>0,/(1gx)+/(1gy)=/(1g(xy))

D.BneN*,/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lg«)=92

三、双空题

12.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长

为L贝!J(a+/?)・c=；a-b=.

四、填空题

13.袋中有4个红球，加个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为

J,若取出的两个球都是红球的概率为g,则石(9=.

22

14.已知过双曲线C:=-[=1(a>0,/?>0)左焦点耳且倾斜角为60。的直线与C

ab

交于点A,与y轴交于点3,且A是8耳的中点，则C的离心率为..

五、解答题

22

15.已知椭圆C:工+2=1(。〉6〉0)的左，右焦点分别为月，F2,上顶点为A,且

ab

AFl-AF2=0.

(1)求C的离心率；

(2)射线A耳与C交于点3,且创=|,求△口鸟的周长.

16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知。以)574=也。5垣8.

(1)求sinA.

(2)若a=6,再从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使三角形有

唯一解，并求△ABC的面积.

条件①：b=瓜<:；条件②：&=V6；条件③：sinC=L

3

17.在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD,BD±AP.

(1)6。LAC是否一定成立？若是，请证明，若不是，请给出理由；

(2)若△PAC是正三角形，且尸-是正三棱锥，AB=2,求平面PA。与平面

PBC夹角的余弦值.

18.已知函数/(x)=lnx-4.

(1)讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

(2)函数g(x)=^^—；若方程/(x)=/(g(x))在上存在实根，试比较

2

/(/)与的大小.

19.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法

中的应用.设p,q是两个正整数，若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意

正整数小欧拉函数是不超过〃且与“互素的正整数的个数，记为0(〃).

(1)试求0⑶，以9),0⑺，0(21)的值；

(2)设〃是一个正整数，p,q是两个不同的素数.试求o(3"),姒夕q)与°(p)和0(q)

的关系；

(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体

而言：

①准备两个不同的、足够大的素数p,q-

②计算〃=pq,欧拉函数0(〃)；

③求正整数左，使得句除以研〃)的余数是1;

④其中(〃应)称为公钥，(〃㈤称为私钥.

已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数左

从小到大排列得到一列数记为数列也,},数列{%}满足80g=2+47,求数列

{tancjtanq+J的前〃项和却

参考答案

1.答案：A

解析：因为2夕=4,所以p=2,所以抛物线V=4x的准线方程为x=-々

故选：A.

2.答案：B

解析：因为A={x|x=sinT，〃ez1,所以A={—1,0,1},5={0,1},

对A：B,故错误；

对B：B^A,故正确；

对C：A5={0,1},故错误；

对D：^5={-1},故错误;

故选：B.

3.答案：C

解析：当x>0时一％<0,则/（一%）=。2（—%）—l=-x-a=-/（x）,

―/=—1

则解得〃=1,

—a二—1

x-l,x<0

止匕时/(%)=

x+l,x>0

当x<0时一%>0,所以/(一九)二一1+1二一(1一1)=-/(%),符合题意.

所以〃=1.

故选：C.

4.答案：B

解析：数列{风}的前〃项和为S〃=3〃—1,所以的;以一邑二寸―34=162.

故选：B.

5.答案：C

432

解析：因为（2尤一1）4-a4x+a3x+a2x+%%+%,

令x=l,可得%+/+。2+〃i+〃o=（2xl-l）4=1,

令'龙=-1,可%—%+4—q+00=(—2x1-1)=81,

1IQ1

两式相加可得a。+a2+a4=---=41.

故选：C.

6.答案：D

解析：函数〃力=2、，求导得/'("=2,In2,则尸(0)=数2,而/(0)=1,

所以所求切线方程为y-l=ln2-(x-0),即x4n2-y+l=0.

故选：D.

7.答案：D

解析：因为直线/:二+上=1(。>0,〃>0)经过点(1,2),则工+2=1,

abab

则4+6=(。+切口+2]=3+2+网23+2四,

\ab)ab

当且仅当2=网时，即6=缶时，等号成立，

ab

所以直线/在X轴和y轴上的截距之和取最小值为3+2行，

止匕时b=缶，则4=二=也.

b-/2a2

故选：D.

8.答案：C

解析：如图，作出圆锥SO的轴截面SA5,

设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E,F,半径分别为r,R,

即OE=EG=H,EG=r,

根据题意可知△SAB为正三角形，易知SE=2r,圆锥SO的底面半径03=，

：.SO=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=6()B,

3r+2/?=3R,.R=3r,

二上部分圆锥的底面半径为也r,高为3「，

又圆锥S。的底面半径为05=加=3石厂，高为SO=3r+2R=9r,

二上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为［［=2，

27

二上、下两部分几何体的体积之比是1:26.

故选：C.

9.答案：AC

解析：因为Z］=〃+i,z2=l+bi,

所以44=(1+历)(Q+i)=Q+i+〃历+%=(〃―))+(1+他),

a_b—O

又z/z2为纯虚数，所以|,即。一/?=0且aZ?w-l.

［1+abH0

故选：AC.

10.答案：BCD

解析：观察频率分布直方图，

对于A,该地农户家庭年收入的极差约为14-3=11,A错误；

对于B,数据在［2.5,8.5)的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2+0.2=0.7,

数据在［2.5,9.5)的频率为。8,因此75%分位数以e(8.5,9.5),(m-8.5)x0.1=0.05,解

得m=9,B正确；

对于C,数据在［4.5,8.5)内的频率为。1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,C正确；

对于D,该地农户家庭年收入的平均值

%=3x0.02+4x0.04+5x0.1+6x0.14+7x0.2+8x0,2

+9x0.1+10x0.1+11x0.04+(12+13+14)x0.02=7.68(万元)，D正确.

故选：BCD.

11.答案：BD

解析：对于A,当xeZ时，f(x)=x,当时，/(x)eZ,而x-leZ,

因止匕—1,A错误;

对于B,VxeR,neZ,令f(Q=m,则zn<xv加+1,m+n<x+n<m-\-n+l,

因止匕f(x+n)=m+n=f(x)+n,B正确；

对于C,取x=g,y=2,0<lg2<l,则/(lg；)=—1,/(lg2)=0,

/(lg(1x2))=/(0)=0,

显然/(坨3)+/(坨2)//(坨(3><2))，C错误；

对于D,neN*,当时，/(Ig")=O,当10W〃W99时，/(lg〃)=l,而

/(IglOO)=2,

因此/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+…+/(lg99)+/(IglOO)=92,此时〃=100,D正确.

故选：BD.

12.答案：0；3

解析：以a,b交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则a=(2,1),b=(2,-l),c=(0,l),

a+Z?=(4,0),(a+Z?),c=4x0+0xl=0,

:.a•b=2x2+1x(—1)=3.

故答案为：0；3.

13.答案：-

9

解析：依题意机、〃为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件A,则

C21

个)=4=}

。加+〃+4。

4x3

所以—,解得加+〃=5或冽+〃=一12（舍去），

m+n+4)(m+n+3)6

所以&的可能取值为0、1、2,

2

C501015C21

则上=。)=芭=口，ND=太=鼠相=2)=云

所以E化)=0x』+lx9+2义工=§.

V718969

故答案为：

9

14.答案：1+V3/V3+1

解析：由题意心=tan60。=百，片（-c,0）,所以直线A3的方程为y=G（x+c）,

令光=0得3（0,辰），因为A是8耳的中点，所以A—£，业，

将点Ag字、］代入「J,2,2

一—1,

a4a24b2

结合b2=c2-a2化简得c4-8c2a2+4/=。,所以一8e?+4=0,

所以/=4+2^3或/=4—2月，所以e=1+6或e=A/3—1，

X-—<-a,所以e=£>2,所以e=l+石.

2a

故答案为：1+6.

（2）8

解析：（1）依题意可得上顶点A（0,b）,左，右焦点分别为片（-。,0）,耳（G。），

所以前=（一G—6），AJ^=（c,-b）,

又此=o，

所以92g=—°2+（—与2=0,即〃=,2,即/一°2=°2,

所以储=202,所以离心率e=£=正；

a2

22

（2）由（1）可得b=c,afc,则椭圆方程为二+与=1,

2c2c2

h

射线Afj的方程为y=—%+/?=x+c,

c

y=x+c

联立22整理可得3%2+4M=0,

工+匕=1

2c2c2

解得x=0或％B=_gc,则,B=_gc，即

—，解得c=^2,贝!J〃=2,

3

所以的周长C△班二|AB|+|M|+忸闾二|筋|+忸制+|盟|+忸阊=4〃=8.

⑵选条件①，〃ABC=在；选条件②，不符合题意；选条件③，S&ABC=总

Z_Xri£>2/\V2

解析：（1）由bcosA=A/2tzsinBsinBcosA=^2sinAsinB.

而sinBwO,贝!jcosA=0sinA>O,所以A为锐角.

因为sir?A+cos2A=l,

所以sinA=3.

3

（2）若选条件①，由5由4=¥且人为锐角，

得cosA=.

3

由余弦定理。2=〃+，-2ACOS人及〃=V6c,

222

得3=6c+c—4c,解得c=1,故b=A/6.

又边c与方的夹角A已知，所以△ABC唯一确定，所以/ABc=，6csinA=受.

Z.X/1DC-22

若选条件②，由正弦定理得4=上，

sinAsinB

[7君

,6x——%

贝!jsinB=---尸工=——<1.

A/33

又b=G6=a,得B>A,所以5有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.

若选条件③，由sinA=无且A为锐角，得cosA=逅.

33

又sinA=->sinC=—,得a>c,即A>C,贝UcosC=?我.

333

因止匕51113=5111（4+。）=5111485。+85>15111。=,易知△ABC唯一确定.

g

由正弦定理得-^='一,则。=、^=1,

sinAsinCV3

T

所以ZABC=gacsinB=与.

17.答案：（1）不一定，理由见解析

⑵—

13

解析：（1）因为平面PACL底面ABCD,过点P作AC的垂线交AC于点E,

又平面PAC「底面ABCD=AC,PEu平面9C,所以PEL底面ABCD,

若AFLAC,则点A与点E重合，即AP,底面ABCD,

所以AP垂直平面ABCD内任意直线，即3。与AC无论何种位置关系，都有

BD±AP,

所以J_AC不一定成立.

（2）因为△PAC是正三角形，则点E为AC的中点，

由（1）PEL底面ABCD,又5Du底面ABCD,所以PELBD,

又PEAP=P,PE,APu平面APC,所以3D，平面ARC,

又ACu平面APC,所以又P-ABD是正三棱锥，即△板）为等边三角

形，

设3。AC=O,则。为3。的中点，gOFIIEP,则底面ABCD,

Ct，o],0(-1,0,0),

如图建立空间直角坐标系，则A（0,-6,0）,8（1,0,0）,C0,

3)

pfo,-^,2

所以AD=(—1,后,0),AP=0,空,2,BC=-1,—,0BPJi百2〕

I3JI3,

n-AD=-%++y=0

设平面PAD的法向量为n=（x,y,z）,则v2月

〃・AP=：y+2z=0

mBC-—a-\-----b-G

设平面PBC的法向量为m=（。也c）,则1取

n-BP=—a------b+2c=0

3

ni=(6,3,61

|m-n|5V65

所以|cOS"M=

I同♦同

所以平面小与平面砂夹角的余弦值为普

解析：(1)函数/(x)=lnx-0的定义域为(。，”),

又+十岁

当时，/'(司>0恒成立，所以/(X)在(0,+00)上单调递增，无极值,

当a<0时，令/(力=0,解得x=—a,

所以当xe(O,-a)时/'(X)<0,/(幻单调递减,

当xe(-a,+co)时/'(x)>0,/(x)单调递增,

所以当犬=-。时，/(%)取到极小值/(-a)=ln(-a)+l,无极大值,

综上所述，当a»0时，/(x)在(0,+co)上单调递增，无极值,

当a<0时，/(x)在(0,-a)上单调递减，在(-a,+8)上单调递增，极小值为ln(-a)+l,

无极大值.

f1

(2)因为g(x)=----,0<%<—,

1-x2

2x-(l-x)-(-l)x2Ix-x1_x(2-x)

则gfM2"2

(If(l-x)(1-x)

令g'(x)=。，解得i=2或0(舍)，

所以当时，(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(O)<g(x)<g'］,即0<g(x)<；,

令t=g(x),0<x<；,贝UOv/vg,

若方程f(x)=/(g(x))在xeK上存在实根，

则方程/(x)=/⑺在xefe［o,£|上存在实根，

当a20时/(x)在［o,g］上单调，则x=g(x)在［o,g］上有解，

即％=三应该在上有解，但是2/_%=0在上无解，不合题意,

所以/(x)在1o,£|上不单调，即a<0,

由(1)知0<—&<4，即一!<a<0,

22

所以7•(小六仙片—右—<a<0,

a2

加(〃)—21n(-Q)—,—-<Q<0,

171，|\212。+1

贝Um(a)=---+-y=———>0,

-aaa

所以m(a)在.;,0)上单调递增,

12

所以m(a)〉m=21n-+2=ln—e,

24

>ln^

所以/(/)

4

19.答案：(1)夕(3)=2,°(9)=6,。⑺=6,°(21)=12

(2)0(3")=2-3"1,0(pq)=9(p)v(q)

、tan(2"+2)

(3)n-1

tan2

解析：(1)由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1,2,则

。(3)=2,

不越过9且与9互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则。⑼