2024江苏中考数学二轮复习：逆等线之乾坤大挪移（含解析）

2024江苏中考数学二轮专题复习逆等线之乾坤大挪移

欢型.解读

一罐hW；襁瓢薛行西丽

2022年四川省内江中考

2022滨州中考

题型二构造SAS型全等拼接线段

2022•贵州遵义•统考中考真题

2023•日照•二模

2023•咸阳•二模

2023•深圳中学联考

2023•甘肃武威中考真题拆解

2023•黄冈中考真题拆解

题型三构造相似求加权线段和

2023年成都市天府新区二模

2022•广州中考真题（7种解法）

2023•湖北黄石中考拆解

题型四取到最小值时对其它量进行计算

湖北武汉•中考真题

l^l满分•技巧

一、什么是逆等线段。

两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等

的线段称为逆等线段。

二、解题步骤：

1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。（图中本身就有的三角形，不要

添加辅助线以后构成的三角形）

2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大

小不变。

3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个

逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。

4.问题转化为将军饮马问题求最值。

【模型解读】

△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,即逆向相等，则称AD和CE为逆等

线，就是怎么别扭怎么来。

一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。

观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方

法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。

这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述

如图，在4ABC中，NABC=60°,BC=8,AC=10,点D、E分另U是AB、AC上的动点，且AD=CE,

求CD+BE的最小值。

A

分析思路：

①AD在aADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个

也叫做一边一身造全等。

②即过点C作CF〃AB,且CF=AC。(构造一边一角，得全等)

③构造出△ADCgZ\CEF(SAS),证出EF=CD

④CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接BF,则BF即为所求

此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值

⑤求BF

AB

核心.题型

""^

题型一半移，对称或构造平行四边形

2022年四川省内江中考

1.如图，矩形ABCD中，AB=E),八。=4,点E、F分别是AB、0c上的动点，EF〃BC,则

AF+CE的最小值是.

2.如图，RtZVlBC中，ZACB=90°,ZB=30°,D,E为AB边上的两个动点，且AD=BE,

连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为.

3.如图，在矩形48co中，AB=1,AD=2,点E在/。上，点F在8c上，且/E=C尸,

连结C£,DF,则CE+D尸的最小值为

2022滨州中考

4.如图，在矩形4BCD中，AB=5,AD=10,点E是边A。上的一个动点，过点E作EFLAC,

分别交对角线AC,直线BC于点O,F,则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值

为.

5.如图，在矩形ABCO中，AB=6,/。=5,点P在边/W上，点Q在边BC上，且/尸=C。，

连接CP,QD,则尸C+。。的最小值为.

6.如图，正方形48CD的边长为2,M是8c的中点，N是/”上的动点，过点N作EF

分别交AS,CD于点、E,F.

(2)EN+4F的最小值为.

题型二构造SAS型全等拼接线段

7.如图，在△ABC中，/4BC=90。，ZA=60°,AB=2,。、E分别是AC、AB上的动点，且

AD=BE,F是BC的中点，贝!IB0+EF的最小值为.

BC

8.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=3而，点、E、F分别是对角线AC和边CD上的动点,

且AE=CF,则BE+BF的最小值是.

9.如图，在矩形ABC。中，AB=2,AD=4,E为边BC上一点，AE=AD,M,N分别为线段

AE,BE上的动点，且AM=EN,连接。M、DN,则DM+DN的最小值为.

10.如图，菱形ABC。中，/ABC=60。，48=2,E、F分别是边BC和对角线8。上的动点,

且BE=DF,则AE+AF的最小值为.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,6),C(4,3),CD_Ly轴于。，连接。C,

E、F分别是线段CD、OC上的动点，且CE=OF,连接AE、AF,则AE+AF的最小值为

，此时点E的坐标为.

12.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,/ACB=30。，AB=2,将△ABC绕点A顺时针旋转30。

到△ABC,M、N分别为边AC'上的动点，且A/W=CW,连接C/W、CN,则C/W+

CN的最小值为.

2022•贵州遵义•统考中考真题

13.如图，在等腰直角三角形48C中，447=90。，点M,N分别为BC,/C上的动点,

且4N=CW,AB=42.当MW+8N的值最小时，CM的长为.

2023-日照•二模

14.如图，在平面直角坐标系中，等腰RtaABC三个顶点在坐标轴上，/&4C=90°,点。,

E分别为BC,NC上的两个动点，S.AE=CD,AC=2^2.当4。+BE的值最小时，则

点D的坐标为.

2023•咸阳•二模

15.如图，在RtZX/BC中，/C=2,8c=1,N/3C=90。，点P是边BC上的动点，在边NC

上截取CQ=BP,连接AP.BQ,则AP+BQ的最小值为.

2023•深圳中学联考

16.如图，点E是正方形48co内部一个动点，且NO=E8=8,BF=2,则DE+C尸的最

小值为（）

C.7A/2D.V97

17.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,48=6,BC=4,D,E分别是AC,AB上的动点,

且AD=BE,连结BO,CE,则BO+CE的最小值为.

BC

18.如图，菱形ABCD中，ZABC=&0°,AB=2,E、F分别是边BC和对角线B。上的动点,

2023•甘肃武威中考真题拆解

19.如图1,抛物线/=*+&与x轴交于点A,,与直线歹=-%交于点8(4,-4),点C(0,-4)

在了轴上.点尸从点B出发，沿线段60方向匀速运动，运动到点。时停止.

(1)求抛物线、=--+云的表达式;

(2)如图2,点尸从点8开始运动时，点。从点。同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方

向匀速运动，点P停止运动时点。也停止运动.连接8。，PC,求。尸+8。的最小值.

2023•黄冈中考真题拆解

13

20.已知抛物线＞=-万/+万X+2与x轴交于43(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2),点P为

如图2,点。在y轴负半轴上，点Q为抛物线上一点，NQBD=90。，点、E,F

分别为△3D。的边上的动点，QE=DF,记BE+。尸的最小值为m.

①求m的值；

②设尸CB的面积为S,若S=；机,一左，请直接写出k的取值范围.

4

题型三构造相似求加权线段和

2023年成都市天府新区二模

21.如图，在中，ZBAC=90°,AB=l,AC=2.D,E分别是边48,NC上的

动点，且CE=2/。，则8E+2C。的最小值为.

22.如图，已知%BC=AB=3,片为雨边上一动点，连接〃点在Z6延

长线上，旦CE=2BD,则2E+2C?的最小值为

23.如图，菱形ABCD的边长为1,ZABC=60°.E,F分别是BC,BD上的动点，且CE=

DF,则AE+AF的最小值为o

24.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=4J3,E,F分别是BD,BC上的一动点，且BF

=2DE,则AF+2AE的最小值是.

25.如图，等腰直角AABC中，斜边BC=2,点D、E分别为线段AB和BC上的动点,

BE=y[2AD，求AE+0CD的最小值.

2022•广州中考真题（7种解法）

26.如图，在菱形4BCD中，ZBAD=120°,AB=6,连接BD.

⑴求BD的长；

（2）点E为线段BD上一动点（不与点B,D重合），点F在边4D上，且BE=6DF,当四边

形ABEF的面积取得最小值时，CE+y/jCF的值是否也最小？如果是，求CE+^CF的最小值;

如果不是，请说明理由.

2023•湖北黄石中考拆解

27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线片-；f+gx+4与x轴交于两点/（-3,0）,8（4,0）,

与y轴交于点。（0,4）.若点。，E分别是线段/C,上的动点，且NE=2CD,求

CE+28。的最小值.

题型四取到最小值时对其它量进行计算

28.如图，为等边/3C的高，M、N分别为线段40、NC上的动点，更AM=BN,当

3M+CN取得最小值时，ZANC=.

29.如图，已知RtAABC,ZC=90°,ZC4B=30°,BC=2,点M,N分别为CB,CA上的动

点，且始终保持BM=CN,则当AM+BN取最小值时，CN=

30.如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点4c处各有一只电子乌龟P和Q同时

起步以相同的速度分别沿AH,CA向前匀速爬动.确定当两只电子乌龟到B点距离之和

PB+QB最小时，ZPBQ的度数为

C

BH

31.如图，已知直线AB：y=455x+A/五分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3,0）,D、

3

E分别为线段40和线段AC上一动点，BE交y轴于点从且A0=CE.当BD+BE的值最

小时，则H点的坐标为

湖北武汉•中考真题

32.如图（1）,在中，AB=AC,Z8ZC=90。，边48上的点。从顶点A出发，向

顶点3运动，同时，边3c上的点£从顶点3出发，向顶点C运动，D,£两点运动速

度的大小相等，设x=y=AE+CD,V关于尤的函数图象如图（2）,图象过点（0,2）,

则图象最低点的横坐标是.

参考答案与试题解析

题型一平移，对称或构造平行四边形

2022年四川省内江中考

33..

【答案】10

【分析】延长3C到G,使CG=EF,连接尸G,证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE

=FG,得出当点N、F、G三点共线时，NF+CE的值最小，根据勾股定理求出NG即可.

【详解】解：延长5C到G,使CG=EF,连接尸G,

；EF〃CG,EF=CG,

：.四边形EFGC是平行四边形，

:.CE=FG,

：.AF+CE^AF+FG,

当点/、F、G三点共线时，/b+CE的值最小为NG,

由勾股定理得，AG=ylAB2+BG2=后+(4+4)2=需,

尸+CE的最小值为10

34..

【答案】4

解：如图：

A..................................."尸

构造矩形ACBF,连接DF,EF,CF交AB于点O,

则OF=OC,OA=OB,AB=CF,

VAD=BF,.,.OD=OE,四边形CEFD为平行四边形,

；.DF=CE,CD+CE=CD+DFCF,

：RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,

；.AB=2AC=4,ACD+CE^4,故答案为：4.

35..

【答案】2A/2

【分析】证BAE咨DCF得CE+DF^CE+BE,作点5关于AD的对称点B',则

CE+BE^CE+B'E>CB',据此即可求解.

【详解】解：连接5E,作点3关于/。的对称点B',连接C8',EB'

由题意得：AB=CD,ABAE=DCF=90°

AE=CF

BAE^DCF

：.BE=DF,CE+DF^CE+BE

•；BE=B'E,

：.CE+BE=CE+B'E>CB'

CB'=^JCB2+BB'2=V22+22=2V2

CE+O尸的最小值为2J5

2022滨州中考

36..

［答案］25+5—

2

【解析】•；AB=5,AD=10,.*.AC=752+102=575.

VEF±AC,二由矩形内十字架模型可知，

EFABEF5575

——=—,=一，,\EF=—.

ACAD5j5102

以EF,EC为邻边作OEFGC,则EC=FG,CG=EF=上叵，

2

ZACG=ZEOC=90°.

在RtaACG中，AG=^AC2+CG2=~，

AF+FE+EC=AF+FG+FE》AG+FE=25+5—

2

AAF+FE+EC的最小值为25+5、.

2

37..

【答案】13

【分析】连接8尸，在8/的延长线上截取4E=N5=6,连接尸E,CE,PC+QD=PC+PB,则

PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在A4的延长线上截取AE=AB=6,则

PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,根据勾股定理可得结果.

【详解】解：如图，连接3P,

在矩形/BCD中，AD//BC,AD=BC,

■：AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

：.四边形DPBQ是平行四边形，

J.PB//DQ,PB=DQ,

则PC+QD=PC+PB,则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值,

在BA的延长线上截取AE=AB=6,连接PE,

'：PA±BE,

:.PA是BE的垂直平分线，

：.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

连接CE,则PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,

,:BE=2AB=12,BC=AD=5,

:-CE=y)BE2+BC2=A/122+52=13.

J.PC+PB的最小值为13

38..

［答案］VsM

【分析】(1)根据正方形的性质求得48与无攸，再由勾股定理求得ZM；

(2)过户作FG-LAB于G,证明畦4BM咨AFGE得AM=EF,再将所沿方向平移至MH,

连接小，当/、F、X三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时

的AH的值便可.

【详解】解：(1)：正方形A8CD的边长为2,

：.AB=BC=2,ZABC=90°,

是BC的中点，

：.BM=-BC=1,

AM=^AB2+BM2=V?,

故答案为：5

(2)过F作FGLAB于G,则FG=BC=AB,ZABM=ZFGE=90°,

"：EF±AM,

：.NBAM+NAEN=ZAEN+ZGFE=90°,

：.NBAM=NGFE,

：./\ABM咨△FGE(ASA),

：.AM=EF,

将M沿EN方向平移至连接FH,则EF=MH,N4MH=90°,EM=FH,

当/、尸、〃三点共线时，EM+4F=FH+4F=4H的值最小,

此时EM+AF=AH=yjAM2+MH2=4s+5=V10,**•EM+AF的最小值为V10

题型二构造SAS型全等拼接线段

39.如图，.

【答案】V13

提示：作BG//AC且BG=AB,连接GE,作GH±BC于H

则NG5〃=NC=30。，GH=l,HB=^

BF=®HF=2®GF=J13

/XABD^/XBGE(SAS),BD=GE

BD+EF=GE+EF、GF=\Ki,最小值为行

40.如图，.

【答案】3s

提示：作/G-L/C且/G=8C,连接8G、EG

则BF=GE

BE+BF=BE+GE，BG

解AABG得BG=3由,8E+8尸的最小值是3s

41.如图_________

【答案】4仍

提示：连接4V

由题意，AD=AE,NDAM=NAEN=3Q°,AM=EN

:.工ADM沿/\EAN,:.DM=AN

延长48至点使⑷B=4B,连接/'N、A'D

则AN=A'N,:.DM+DN=AN+DN=A'N+DNNA'D

当/'、N、。三点共线时。M+ZW的值最小

此时A'N=DN,：.AN=；AD=DN

...点N在线段ND的垂直平分线上

:.BN=十BC=2,.XN=/A8=2也

DM+DN^A'D-2AN=4^2

即DM+ZW的最小值为4也

42..

【答案】2仍

提示：作且5G=/2,连接NG、EG

则AD=BG,NADF=NGBE=30°

文,：DF=BE,：./\ADF^AGBE,：.AF=EG

：.AE+AF=AE+EG^AG=yj2AB=2\l2

即4B+/P的最小值为2仍

43..

【答案】(―,0)

13

NACE=NOCE=ZBOF

又,：CE=OF,：./\ACE^/\BOF(SAS),:.AE=BF

,：A(0,6),B(5,0),:

：.AE+AF^AF+BF^AB^\l61,即/£+//的最小值为M

此时点尸落在线段43上，即直线与OC的交点

易求直线45:y=---；%+6,直线。C:y—x

可得/（--，团-）,CE=OF=DE=CD-CE=4-包-=工

1313131313

7

J此时点E的坐标为（——,0）

44..

【答案】4/

提示：连接AN

由题意，AM=C'N,NC'=NACB=NC4C'=3Q°,AC^AC

：./\ACM^/\C'AN,:.CM=AN

延长48'至点使4'B'=AB',连接/'N、A'C

则AN=A'N,：.CM+CN=AN+CN=AW+CN^A'C

当N'、N、。三点共线时CA/+CN的值最小

此时A'N=CN,：.AN=-A'C=CN

:.点N在线段NC的垂直平分线上

：.B'N=AC=AB=AB',:.AN=@4B，=\^AB=2出

：.CM+CN^A，C=2AN=4/

即CM+CN的最小值为4/

2022•贵州遵义•统考中考真题

45..

【答案】2-V2

【分析】过点八作40〃8。，且力c,证明△4ND咨ACMA,可得AM=DN,当B,N,D

三点共线时，5N+/"取得最小值，证明=即可求解.

【详解】如图，过点A作且仞=/。，连接DN,如图1所示，

ZDAN=ZACM,

又AN=CM,

/.AND沿CMA,

AM=DN,

BN+AM=BN+DN>BD,

当氏N,Z）三点共线时，BN+力M取得最小值，

此时如图2所示，

在等腰直角三角形45C中，ABAC=90°,AB=42

BC=6AB=2,

△AND94CMA,

/.ZADN=ZCAM,

AD=AC=AB,

ZADN=/ABN,

AD〃BC,

:"ADN=/MBN,

/.AABN=/MBN,

设NM/C=a,

/.ZBAM=ZBAC-a=90°-a,

/./ABM=ZABN+ZNBM=2a=45°,

/.a=22.5°,

/.ZAMB=180。—NBAM-/ABM=180。—90。+a—45。=67.5。，ZBAM=90°-22.5°=67.5°,

AB=BM=6,

:.CM=BC-BM=2-y[l,

即8N+ZM取得最小值时，CM的长为2-亚，

故答案为：2-血.

图1

图2

2023•日照,二模

46..

【答案】(2V2-2,0)/(-2+2V2,0)

【分析】如图：过点。作C5'J_8C使C8'=A8,连接B'。；证C8Z)(SAS)可得

DB'=BE,/8=CS';将NO+BE■最小值可转化成4D+CB最小值，则当在同一

直线上时，4D+BE最小，即48,长度；；再根据/C=2后求得48=C3'=/C=2j5、

OA=OC=^x2y/2=2,即/(0,2),"(2,-2后)；再运用待定系数法求得直线/夕表达式，

最后将＞=0代入表达式求得x的值即可解答.

【详解】解：如图：过点C作CB'，6c使C3'=/B,连接9。，

在ABE和ACB'D中，

AB=CB'

＜ABAE=ZB'CD,

AE=CD

：.ABE=CB'D(SAS),

：.DB'=BE,AB=CB',

，NO+BE最小值可转化成4D+CB'最小值，

当A、D、B在同一直线上时，4D+BE最小，即4夕长度;

AC=2y/2,

AB=CB'=AC=2y[2,OA=OC=^—X242=2

2

/(0,2),8”,-20)

设N8'表达式为：y=Ax+6(左＜0),由题意可得:

b=2

2k+b=-2y/2)

b=2

解得:

k=-41-X'

AB'表达式为:y=—^A/2+1）x+2,

将y=0代入得：0=-（V2+l）x+2,

解得：x=2&-2,

点坐标为（2行一2,0）.

故答案为：（2后-2,0）.

2023•咸阳•二模

47..

【答案】近

【分析】由“SAS”可证ABP沿DCQ,可得AP=DQ,则N尸+8。的最小值为8。，由勾

股定理可求解.

【详解】解：过点C作CD_L/C,并截取CD=4B,连接BD,设BD交AC于点、E,

■：AC^2,BC=LZABC=90°,

AB=y）AC2-BC2=V4-1=V3,cosZACB=1,

ZACB=60°,

VAB=CD=^3,ZABP=ZDCQ=90°,BP=CQ,

：.ABP出DCQ（SAS）,

：.AP=DQ,

AP+BQ=DQ+BQ,

在△B。。中，BQ+DQ>BD,

：.4P+8。的最小值为3。，

如图，过点、B作BFLCD于F,

:.BF//AC,

：./FBC=/ACB=60°,

BCF=3。。,

ii同

:・BF=—BC=—,CF=—,

222

2

/.BD=yjBF2+FD2=

2023•深圳中学联考

48.()

【答案】A

【分析】取BG=5尸=2,贝ICG=8-2=6,证明BGEqBFC得出/BEG=/BCF,进而证

明"CE=NGEC,即可证明FCE会GEC,得出EG=CF,则当E,G,Z)三点共线时，

DE+Cb取得最小值，最小值为。G的长，勾股定理即可求解.

【详解】解：如图所示，取8G=B尸=2,则CG=8-2=6,连接EG,

,:AD=EB=8,BF=2,

...点£在以3为圆心8为半径的圆上运动，点户在以3为圆心2为半径的圆上运动,

在BGE,BFC中，

BF=BG

<ZEBG=ZCBF,

BE=BC

：.BGE出BFC,

：.ZBEG=NBCF,ZBGE=ABFC

，ZFGC=ZCFE,

•/BE=BC=8,

：.ZBEC=ZBCE,

即ZFEC=ZGCE,

ZFCE=ZGEC,

又CG=£F=6,ZFGC=ZCFE,

：.FCE出GEC,

：.EG=FC,

当EG=FC时，则当E,G,。三点共线时，DE+CF取得最小值，最小值为。G的长,

在RtZXCDG中，DG=ylDC2+CG2=10

49..

解：过B作8F〃AC,在平行线上取8F=AB,连接EF,如图:

：.ZEBF=ZA,

VBF=AB,BE=AD,

:.ABEF咨dADB(SAS),：.EF=BD,：.BD+CE=EF+CE,

当C,E,F共线时，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即为CF的长度,

VBF//AC,ZACB=90°,

；./FBC=90°,

/.CF=NBe?+BF?=2VT3,

••.BD+CE最小为2屈，故答案为：25.

50..

【答案】272

【详解】解：如图，BC的下方作/CB7=30°,在87■上截取BT,使得BT=AO,连接ET,

AT.

：.ZADC=ZABC=60°，ZADF=-ZADC=30°,

2

'：AD=BT,NADF=NTBE=30°,DF=BE,

:.AADF与ATBE(SAS),：.AF=ET,

VZABT^ZABC+ZCBT^60°+30°=90°,AB=AD=BT^2,

：.AT=yjAB2+BT2=2V2,：.AE+AF=AE+ET,'：AE+ET^AT,：.AE+AF^272,

.♦.AE+AF的最小值为20,故答案为20.

2023•甘肃武威中考真题拆解

51..

【答案】⑴)=-丁+3%

(2)473

【分析】(1)用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)由题意得，BP=OQ,连接3c.在。/上方作OMQ,使得/MOQ=45。，OM=BC,

证明△CAPg/\M9Q(SAS),根据"+5。=河0+5。之班得出。尸+8。的最小值为班，

利用勾股定理求得出，即可得解.

【详解】(1)解：,抛物线歹=*+反过点8(4,-4),

・•・—16+46=—4,

:・6=3,

y=-x2+3x;

(2)如图2,由题意得，BP=OQ,连接3C.

在。4上方作OMQ,使得/儿。。=45。，OM=BC,

•：OC=BC=4,BCLOC,

：.ZCBP=45°,

/.ACBP=AMOQ,

,:BP=OQ,ZCBP=ZMOQ,BC=OM,

：.△CB尸之△/O0（SAS）,

：.CP=MQ,

：.CP+BQ=MQ+BQ>MB（当M,Q,3三点共线时最短）,

CP+3。的最小值为Affi,

ZMOB=ZMOQ+ZBOQ=45°+45°=90°,

MB=yiOM2+OB2=,+（4⑹2=4百,

即CP+8。的最小值为4JL

2023•黄冈中考真题拆解

52.连接C4c

【答案】m=2岳,134人<17

【分析】①作。且使DH=BQ,连接FH.根据SAS证明BQE^HDF,可得

BE+QF=FH+QF>QH,即。，F,〃共线时，8E+。尸的值最小.作QGL48于点G,

设G(",0),则+根据。G=BG求出点。的坐标，燃然后利用勾股定理

求解即可；

②作尸T〃y轴，交3c于点7,求出3c解析式，设—+P^a,——a2+—a+2^j,

利用三角形面积公式表示出S,利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可

求解.

【详解】解：①如图2,DHVDQ,且使DH=BQ,连接FH.

•：ZBQD+ZBDQ=90°,ZHDF+ZBDQ=90°,

ZQD=ZHDF,

QE=DF,DH=BQ,

：.BQE沿HDF(SAS),

BE=FH,

：.BE+QF=FH+QF>QH,

：.Q,F,H共线时，BE+Q厂的值最小.作。G_L/B于点G,

VOB=OD,/BOD=90。,

：.NOBD=45。,

・.・/QBD=90。,

：./QBG=45。,

JQG=BG.

设G(”,0),则。+[”+2),

i3

«2+—n+2=4—H,解得〃=1或〃=4(舍去),

・・・。(2,3),

0G=5G=4—1=3,

BQ=DH=3V2,QD=5亚,

m=QH=J(3码2+(5匈2=2V17；

②如图3,作PT〃》轴，交BC于点、T,待定系数法可求解析式为y=—gx+2,

设T(。,一5Q+2),尸a2+5q+2),

则s=+|.Q+2+；Q_2]X4=_("2/+4,

.*.0<5<4,

19,

0<—JTI—左44,

4

・・・0<17—左<4,

A13<A:<17.

题型三构造相似求加权线段和

2023年成都市天府新区二模

53.最小值为.

【答案】V29

【分析】过C作CFL/C于尸，使CF=2/C=4,连接跖、BF,即可得到£尸2CD,

BE+2CD=BE+EF>BF,即最小值为3月的长.

【详解】方法一：过C作CF_L/C于尸，<CF=2AC=4,连接所、BF,

：CE=2AD,

.CECF

•万一就一

；ZDAC=ZFAC=90°,

DACECF,

•・乌="=空=2,即EF=2CD,

ADACCD

•・BE+2CD=BE+EF2BF,

,•当AE、尸三点共线时8E+2CQ有最小值，最小值为5尸的长

・・ZDAC=ZFAC=90°

・.ABCF,

.OBOAAB

，9~OF~OC~CF9

VAB=\,AC=2,CF=2AC=4

.OBOAAB

548

.・.BF=-OF,OC=-AC=-,

455

•••OF=y/0C2+CF2+42=1^29,

BF=-OF=429

4

BE+2CD的最小值为庄

方法二：AD=x,则CE=2/£>=2x,AE=AC-CE=2-2x,

••BE=-\lAE2+AB~—J（2—2x）+『，CD=yjAD2+AC2=ylx2+22

设2y=BE+2CD,

?.y=^BE+CD=^（2-2X）2+12+VX2+22=^（X-1J+1+&+4

=j（x_l）2+（0_J+J（x-0）2+（0+2）2

...y可以看成点M（x,0）到点A",m和B（0,-2）的距离之和，

当M（x,0）、/"，曰、5（0,-2）三点共线时V最小，最小值

y="=J（o-1『+卜2-£|=与

54.为________

【答案】3皿

解：作CF_LCB,且使得CF=6,连接EF

过点A做AG-LCF,交FC延长线于点G

•.•空=空=2,

.,.△FCE^ACBD,EF=2CD

；.AE+2CD=AE+EF

当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF

易知：四边形ABCG为正方形AG=3,CG=3

FG=9在RtAFAG中，由勾股定理得AF=3vT0

AE+2CD的最小值为3\W

55.为o

【答案】V2

【解答】解：如图，连接AC,过点C作CT_LCA,使得CT=AD=1,连接AT.

•.•四边形ABCD是菱形,

，AB=CB=CD=AD,ZABC=ZADC=60°,ZADB=-ZADC=30°,

2

/.AABC是等边三角形，

NACB=60°,AC=AB=1,

VAC±CT,

AZECT=30°,

/.NADF=NECT,

VCE=DF,CT=DA,

.♦.△ADF四△TCE(SAS),

；.AF=ET,

，AE+AF=AE+ET丁AT,

VZACT=90°,AC=CT=1,

二AT=7^C2+CT2=Vl2+12=6'

AE+AF》J],AE+AF的最小值为J].

56.是o

【答案】4V13

【解答】解：连接DF,延长AB到T,使得BT=AB,连接DT.

•四边形ABCD是矩形，

ZBAD=ZABC=90°,BC/7AD,

ADV3

.".tanZDBA=——,NADE=NDBF,

AB3

AZDBA=30°,

；.BD=2AD,

：BF=2DE,

.•.△DBF^AADE,

.\DF=2AE,

；.AF+2AE=AF+DF,

VFB±AT,BA=BT,

；.FA=FT,

AF+2AE=DF+FT》DT,

'­,DT=1AT?+AD?=4V13

AF+2AE24屈，

.'.AF+2AE的最小值为4713

57.值.

【答案】JR)

解：作BF_LBC并且使得BF=2,连接EF

......MEFSAADC

，EF=OCD；.AE+、/2CD=AE+EF

当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF

反向延长BF,过点A作AH_LBF于点H

在RtAAHF中，由勾股定理易得：AF=vIo

...AE+v^CD的最小值为、诃

2022•广州中考真题（7种解法）

58.BD.

【答案】（1）8。=66；（2）最小值为12

【分析】（1）证明△4BC是等边三角形，可得8。=36，即可求解；

（2）过点E作/。的垂线，分别交和2C于点W,N,根据菱形的面积可求出MN=36,

]1

设BE=x,则EN=-X,从而得到EM=MN-EN=343一一x,再由BEfDF,可得DF=—x,

223

从而得到四边形ABEF的面积S=S/AD-S40EF=^1（X-3V3）2+岑1,作CH_L4D于氏

可得当点E和尸分别到达点。和点〃位置时，CF和CE分别达到最小值；再由

s=^|（x-3百丫+^^,可得当》=3百，即3£=36时，s达到最小值，从而得到此时

点E恰好在点。的位置，而点F也恰好在点H位置,即可求解.

【详解】（1）解：连接NC,设AC与BD的交点、为O,如图，

:四边形/BCD是菱形，

C.ACLBD,OA=OC,AB//CD,/C平分/DAB,

ZBAD=120°,

：.ZCAB=60°,

：.△48C是等边三角形，

BO=AB'sm6Q°=6x=373,

2

：.BD=2BO=643；

(2)解：如图，过点E作/。的垂线，分别交4D和3c于点M,N,

:△/8C是等边三角形，

：.AC=AB=6,

由⑴得：BD=6拒;

菱形N5CD中，对角线3。平分NN3C,AB//CD,BC=AB=6,

:.MN1BC,

'：ZBAD=nO0,

：.ZABC=60°,

：.NEBN=3Q°;

：.EN=^-BE

•：%形小=-AC-BD=MNBC,

:.MN=3B

设BE=x,则£7V=；x,

EM=MN-EN=3痔gx,

StiyABCD=AD'MN=6x3A/3=18A/3,

:.SMBD=ff/ABCD=9^3,

:BEfDF,

.3军国,

A/33

：.SADEF=vDF-EM==-—x2+-x,

22312J122

记四边形48所的面积为s,

2

5=SAABD-SADEF=973-x+-x)=-(x-3^,

12212\"4

:点£在8D上，且不在端点，：.0<BE<BD,即0<x<6。；

作CHLAD于H,如图，

\'CO±BD,CHLAD,而点E和尸分别在BO和40上，

，当点E和尸分别到达点。和点〃位置时，CF和CE1分别达到最小值；

在菱形ABCD中，AB//CD,AD=CD,VZBAD=12O°,：.ZADC=60°,

...△/CD是等边三角形，：.AH=DH=3,:.CH=3日

..,5=*1-36)2+^^,•,.当x=3—，即8£=36时，s达到最小值，

;BE=#,DF,：.DF=3,此时点£恰好在点。的位置，而点歹也恰好在点〃位置，

当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，

.-.CE+V3CF的值达到最小，其最小值为CO+V3CH=3+V3X3A/3=12.

【其它几何构造方法】

法2：EE+收方核心是处理,刚好有BE=«DF,还有维和作两个动点需

要拼一起，所以考虑把△勿尸放大百倍后拼到BE处

过夕作BI：LBC,BI-BD=^CDnACDFsAiBE=CE+也CF=

<^E+IE>CI=2BC=n

法3：运D代DC,CD,跳DG=、^CDnXDCFsXBCE

3

则CE+CCF=My-CE+CF=^〈GF+CF)2也CG=\2

D

E

G

AB

法4：先把分放大G倍，再把AC空拼过来，延长〃到夕使“>=62疾■GH〃AD

交妨于H,作CO：绮且G0=AB=6nACDF〜ACGH,下略

法5：企对称转化为2E过6作夕A2区13]=13D=+AB0KCDFSMBE

由于对称性，CE=AE,所以拼在上面也可以〜这个算凑数吧

法6：先把分放大百倍，再把拼过来

延长叱到少使DG=BD,作GHIICF爻AD千H

作DO1DC,且DO=AB=gxCDFsXCDH,

DH=43DF=BE,GH=瓜F7%空△BCE,CE=OH

时有CE+也CF=OH+GH2OG=12

法7:先把延缩小放大6倍到/〃，再把△"加"拼过来

在叼上取CH=2出,过，作H!//勿交C£于/,作HCLBC,则HG=AB='CIH

s&CEB,13E=V3HI,Hl=D4&CDP^XCH10CF=CH

(反、

—CE+CF=V3(C/+G/)>V3CG=12

3

2023•湖北黄石中考拆解

59..

【答案】V233.

【分析】作/E4G=/8C。，证明且相似比为1：2,故当C、E、G共线时,

CE+2BD=CE+EG=CG为最小,进而求解.

【详解】解：作/E/G=N8CD,

设4G=28C=2x4^=872-

AE=2CD,

:./\BCD^/\GAE且相似比为1:2,

贝ijEG=2BD,

故当C、E、G共线时，CE+2BD=CE+EG=CG为最小,

在4BC中，设NC边上的高为〃，

则4/BC=gx/C.力=gx/8x