2024年高考数学试题分类汇编：不等式与不等关系

不等式与不等关系

一、单选题

1.(2024•全国1卷)已知函数为/*)的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时

〃x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2024•全国1卷)已知函数为〃X)」丁:在R上单调递增，则。取值的

[e+ln(x+l),x>0

范围是()

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

3.(2024•全国2卷)已知命题p：VXGR,|X+1|>1；命题g3x>0,/=、，贝ij()

A.p和q都是真命题B.F和q都是真命题

c.p和「4都是真命题D.r7和都是真命题

4.(2024•全国2卷)设函数/(x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,则/+〃的最小值为()

,111

A.一B.—C.-D.1

842

4x-3歹一320

5.(2024•全国甲卷文)若实数'J满足约束条件卜-2y-2«0,贝”=x-5y的最小值为

2x+6y-9<0

()

A.5B.gC.—2D.—

22

6.(2024•北京)已知集合屈=,TV={x|-1<x<3},则()

A.{x|-4<x<3}B.{x|-l<x<l!

C.{0,1,2}D.{x|-l<x<4}

7.(2024・北京)记水的质量为d=》，并且d越大，水质量越好,若S不变，且4=2.1,

Inn

%=2.2,则々与〃2的关系为()

A.nx<n2

1

B.勺〉%

C.若S<1,则若S>1,则勺〉%；

D.若S<1,则勺>%；若S>1,则勺<〃2；

8.（2024•北京）已知（尤"J,（乙，%）是函数>=2、图象上不同的两点，则下列正确的是（）

A.log,五匹〉山B.log22i±A<^

C.log"；也>+xD.log%<x+x

22212

03

9.（2024•天津）若。=4.2弋/,=4.2,c=log420.2,则％b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

二、填空题

10.（2024・上海）已矢口xeR,贝（］不等式/一2x-3<0的解集为.

三、解答题

11.（2024•全国甲卷文）已知函数/（x）=a（x—l）-lnx+l.

⑴求的单调区间；

（2）若时，证明：当x>l时，/（x）<e-恒成立.

12.（2024•全国甲卷理）已知函数〃x）=（l-ax）ln（l+x）-K.

⑴当a=-2时，求的极值；

（2）当尤20时，/（x）20恒成立，求a的取值范围.

2

参考答案：

1.B

【分析】代入得到〃1)=1J(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断

【解析】因为当x<3时〃x)=x,所以/⑴=1,〃2)=2,

又因为/(x)>/(xT)+〃x-2),

则/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知/'(20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(x)>/(x-l)+/(^-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

2.B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【解析】因为13在R上单调递增，且北0时，f(x)=e'+ln(x+l)单调递增，

――^—>0

则需满足2x(-1),解得一IV.40,

-a<e°+lnl

即。的范围是[TO].

故选：B.

3.B

【分析】对于两个命题而言，可分别取工=-1、x=l,再结合命题及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】对于夕而言，取尸-1,则有卜+1|=0<1,故夕是假命题，「夕是真命题，

对于9而言，取X=l,则有％3=]3=[=X，故乡是真命题，[9是假命题，

综上，r7和9都是真命题.

3

故选：B.

4.C

【分析】解法一：由题意可知：“刈的定义域为(-a+e),分类讨论-。与-6,1-b的大小关

系，结合符号分析判断，即可得6=a+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分

析ln(x+6)的符号，进而可得x+a的符号，即可得b=a+l,代入可得最值.

【解析】解法一：由题意可知：的定义域为(-4+e),

令x+a=0解得％=；令ln(x+6)=0角军得x=l—6；

若一aV—b,当—时，可知x+a>0,ln(x+b)<0,

此时/(幻<0,不合题意;

若一6<—。<1一6,当x£(—a,l—b)时，可知X+Q>0,ln(x+Z))<0,

此时/(x)v0,不合题意;

若一4二1一6,当(一"1—Z?)时，可知x+〃<0,ln(x+b)<0,此时/(x)>0；

当不£[1一仇+8)时，可知x+Q〉0,ln(x+6)20,止匕时/(x)20；

可知若_“=1一6,符合题意；

若一。>1一6,当x£(l—b,—Q)时，可知x+Q(0,ln(x+b>0,

此时/(x)<0,不合题意；

综上所述：一。二1一6,即6=0+1,

贝IJQ2+62=。2+(。+])2=21q+J_]+1>1,当且仅当〃=一’,6=，时，等号成立，

v7{2J2222

所以/+〃的最小值为g；

解法二：由题意可知：/(%)的定义域为(-4+8),

令X+Q=0解得％=—。；令ln(x+6)=0解得x=l—6；

则当x£(—b,l—b)时，ln(x+Z?)<0,故％+〃W0,所以1-b+aWO；

XE(1—仇+8)时，ln(x+/?)>0,故X+QNO,所以1—6+Q20；

故1-6+〃=0,则/+/=/+(a+])2=2[4++—>—,

4

当且仅当。=-1,6=］时，等号成立，

22

所以a2+〃的最小值为

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=o、ln(x+b)=o的根，以根和函数定义域为临界，比较

大小分类讨论，结合符号性分析判断.

5.D

【分析】画出可行域后，利用2的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【解析】实数x，y满足x-2y-2Vo,作出可行域如图:

2%+6y一9<0

由z=x-5y可得y=卜_卜,

即z的几何意义为y=的截距的一：,

则该直线截距取最大值时，2有最小值，

此时直线yugx-gz过点A,

4x-3y-3=0

联立

2x+6y-9=0

37

贝1Jz向nMg—Sxl：一,

故选：D.

6.A

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【解析】由题意得MDN=(-4,3),

故选：A.

7.C

5

s-i

【分析】根据题意分析可得,讨论s与1的大小关系，结合指数函数单调性分析

22

n2=e

判断

7S—I。1

4=-------2.1S-1

In=尹

【解析】由题意可得，解得<

5-1

4="=2.2=声

Inn2

5,—1S—1_5-15-1

1rZPInn

若S>1,贝可得e^T〉e三，即〃1>%；

2.12.2c

C_1C_1

若S=l,则万7=万了二0'可得〃L"=1；

1

若S<1,贝可得e*<e雪，即〃1<"2；

2.12.2cy

结合选项可知C正确，ABD错误;

故选：C.

8.A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即

可.

【解析】由题意不妨设无1<工2，因为函数了=2才是增函数，所以0<2*<2"2,即

22

对于选项AB：可得3十二>"-2巧=2，即>0,

22

国+%2.

根据函数y=log?x是增函数，所以10反匕产〉1。&2丁=三生，故A正确，B错误;

对于选项C：例如玉=0,9=1，则必=L%=2,

可得log?七匹=log?|e(0,1),gplog2^±A<l=x1+x2,故C错误；

对于选项D：例如%=-1,%=-2,贝ij%=；,%=；,

可得log?我妥=log2]=log”-3e(-2,T),即log?看上>一3=%+/,故D错误，

故选：A.

9.B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.

【解析】因为>=4.2、在R上递增，且一0.3<0<0.3,

6

所以0<4.2《3<4.2°<4.2°3,

所以0<4.243<1<4,2°3,即0<.<1<6,

因为y=log42X在(0,+co)上递增，且0<0.2<1,

所以loggOZvlogapl=。，即c<0,

所以6>a>c,

故选：B

10.{尤|-l<x<3}

【分析】求出方程一一2》-3=0的解后可求不等式的解集.

【解析】方程x2-2x-3=0的解为x=-l或x=3,

故不等式/一2x-3<0的解集为{划-1(尤<3},

故答案为：{x|-l<x<3}.

11.(1)见解析

⑵见解析

【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性;

(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x>l时，e，T-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)〃x)定义域为(0,+功，f\x)=a--=—

XX

z/Y—1

当aWO时，/'(%)=——<0,故在(0,+8)上单调递减；

x

当a>0时，X时，/'(x)>0,/(x)单调递增，

当xe/J时，/'(x)<0,/(X)单调递减.

综上所述，当aVO时，/(x)在(0,+8)上单调递减；

Q>0时，/(%)在［―,+勿］上单调递增，在［。，一)上单调递减.

(2)a<2,且x>l时，ex-1-/(%)=Qx~l-a(^x-1)+Inx-1>ex-1-2x+1+Inx,

令g(x)---2x+1+Inx(x>1),下证g(%)>0即可.

g'(x)=e、T-2+L再令从x)=g'(x),贝I]h'(x)=e1-4，

XX

7

显然”(x)在(1,+8)上递增,贝I]〃(x)>/⑴=e°-1=0,

即g'(x)=Mx)在(1,+8)上递增,

故g'(x)>g,(l)=e°-2+1=0,即g(x)在(1,+⑹上单调递增,

故8。)>86=6°-2+1+山1=0,问题得证

12.(1)极小值为0,无极大值.

1

(2)a<--

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就--<a<0,。上0分类讨论后可得参数的取值范围.

22

【解析】(1)当〃=-2时,f(x)=(1+2x)ln(l+x)—x,

故/(x)=21n(l+x)+H^-l=21n(l+x)-一—+1,

1+x1+x

因为>=2111(1+%)/=-」一+1在(一1,+8)上为增函数，

1+x

故/'(