2024年中考数学突破二次函数中的最值问题（原卷版）

专题2一7二次函数中的最值问题

H■/题型•解读/

一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问

题型一【铅垂高系列】

2023•四川凉山•中考真题

2022・天津・中考真题

2022•湖北襄阳•统考中考真题

2023•湖南娄底•中考真题

2023•湖南中考真题

2023•青海西宁•中考真题

2023・四川广安•中考真题

2023•湖南永州•中考真题

2022・四川广元•中考真题

题型二【线段和差最值篇】

2023•湖南张家界中考真题

2022•山东淄博•统考中考真题

2022•四川遂宁中考真题

题型三【构造二次函数模型求最值】

2023•山东东营•中考真题

2023•四川巴中•中考真题

2023•湖南张家界中考真题

2023•山东聊城•中考真题

2022•湖北襄阳中考真题

2023•湖北荆州中考真题

2022•江苏连云港中考真题

2022•湖南岳阳•中考真题

2023•宁夏・中考真题

2023•湖北襄阳中考真题

题型四【加权线段最值】

2023・四川内江•中考真题

2023•黑龙江绥化•中考真题

题型五【几何构造最值篇】

2022・天津•统考中考真题

*W满分•技巧/

一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问

母题：如图，已知抛物线过/(4,0)、B(0,4)、C(-2,0)三点，尸是抛物线上一点

(1)求抛物线解析式

,,1,

【答案】y=—x~+x+4

2

【铅垂高系列】

本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来

(2)(☆)若尸在直线上方，求四边形阳C4面积最大值，

【思路分析】先分离出面积为定值的△ZEC4/6C面积为12

1,、

设P(m,——"+加+4),H(m,-m+4)

PH=--nr+2m(上面的点减去下面的点)

2

当加=__L=2时，阴取最大值2,此时△力由面积为：S=-PH-AO=4^O^/\PBH,XPAH

2a2

两个三角形高之和)

(3)(☆)若尸在直线力6上方，作尸£1/8,尸在线段Z6上，求尸尸最大值

【思路分析】过户作物平行V轴，〃在48上

导角可知△所八为等腰直角三角形，尸〃取最大时，尸尸也取到最大

(4)(★)若尸在直线46上方，作尸£1/8,交线段46于片作尸勿y轴交于£求WEF

周长和面积的最大值

【答案】2+2行和1

也

【思路分析】△尸£尸形状固定，PF=FE=-PE

2

PD

(5)若尸在直线Z6上方，连接。尸，交AB于D,求而■的最大值

y

【答案】

【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换£2=里

ODB0

(6)(★☆)若尸在直线26上方，连接。尸，文AB干D,△尸。4面积为S，△CD4面积为

邑

S,求不的最小值

【思路分析】化斜为自

第一步：面积比转换为共线的边之比邑=生

S]PD

第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比£2=空=工

PDPHPH

(7)(★☆)点。是点E关于关于x轴的对称点，连接CD,点尸是第一象限上一点，求KPCD

面积最大值

【答案】12

【思路分析】

过动点尸作y轴平行线交对边(延长)于点H

1125

SNPCD=SNPCH—SLNXPiLDJlMVl=—2P2H,CO='PH=2—加？+3m+84—

推导过程如下：以尸〃为底，设△阴。的高为例，△尸。〃的高为与

gpH.h「；PM.h=gpH•(%—瓦)=%H.CO

【几何构造最值篇】

(8)(☆)点£是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线/,(点8。分别在直线/的异侧),

设。、E两点到直线/的距离分别为n,求〃的最大值

【答案】275

【思路分析】m+n>BC

特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况

(9)(☆)已知线段EC上有两点且1,3),83,1),试在x,y轴上有两动点•和/V,使得四

边形WWE周长最小。

【答案】26

【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，EM+MN+FN=E'M+MN+NF'>E'F'

(10)(★)若y轴上有两点M(0,a)和A/(0,a+2),求△CM/V周长的最小值

y

【答案】2+2石

【思路分析】造桥选址问题，。点向上平移2个单位，得到平行四边形CC'TW,

故CM+CN=C'N+CN,接下来就是常规的将军饮马了

(11)(★☆)点。为抛物线顶点,直线力。上有一点Q,连接6Q,将△60Q沿6Q折叠得△&7Q,

11)求的最小值

②连接例是线段”的中点，求4U的最小值

【思路分析】（1）。轨迹为圆（2）把力点变为中点，则4U是中位线，点圆最值问题

（12）（★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点。，满足。2=3,过。作。

轴于点£,设△/!，£的内心为/,试求6/的最小值.

【答案】而-2行

【思路分析】易知^AID=AA/O=135°,而04为定线段

则点/在以04为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为£连接尸。，FA,LOFA

=90°,itr=—AO=2y[2,BI>BF-r=y/lQ-272

2

【构造二次函数模型求最值】

(13)(☆)尸在第一象限，作尸Q〃x轴交抛物线于Q,过尸、。作x轴垂线交x轴于A、G两点,

求矩形尸QG〃周长的最大值

【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽

设--a2+a+4j,则PH=—+。+4,而尸和Q点到对称轴的距离为。一1,则

PQ=2a-2PQGH的周长为

2（尸0+尸〃）=4°-4一a?+2°+8=—°2+6°+4=-（a—3f+13V13

(14)(★)在线段/IC上有一点。，26上有一点£旦阿BG求△80E面积的最大值

【答案】3

【思路分析】易却XADEMACB,利用相似比得出高之比

1

设/1。=3/77,则E点到x轴的距离为2/77,ABDE的面积为:—x3m（4-2m）=3m（2-m）<3

2

(15)(★★☆)夕是第一象限上一点，线段电交9c于点。交y轴于点EXADP那XBDE

的面积分别为Si、S,求Si-$的最大值

设—2/+4+4）,E0=^.yJ+24+8=_4+4

I2Ja+2pa+2

138

2

则BE=a,S、-S?=Spa,—SR℃—SAFCC~-AC,y—8—（4—Q）=-o+4QW—

'izA/TIC△otzc△ZSC/C2JP、'23

(16)(★★☆)抛物线对称交抛物线于点。，交x轴于点EM是线段上的动点，

Mn,0)为x轴上一点，鱼BMlNM.

1,求〃的变化范围

②当〃取最大值时，将直线6A/向上平移？个单位，使线段6/V与抛物线有两个交点，求f的

取值范围.

yy

【答案】⑴-3<»<3.25,(2)—<^<2

32

【思路分析】①由勾股定理构造出关于〃的函数模型,

【详解】①设例坐标为(L777)

NM。+BM2=BN2，；.("-1)2+m2+l+(m—4)2=M2+42

整理得：n=m2-4m+l=(m-2)2-3■由0w»/w4.5可知，-3<n<3.25

ia

②y=-2x+^台设平移后：y=-2x+6.5+t

分析：向上平移当/V点落在抛物线上时，恰好有2个交点，

此时/V点坐标为(",出)，则/=袋

43232

继续向上平移，当△=€),此时只有一个交点

1

—2x+6.5+/=—x9+x+4

2

15

---X?+3xH---FZ—0

22

△=9+2(-3一。=0=>，=2

综上史<t<2

32

【加权线段最值】

(17)(★)若y轴上有一动点例求/例+的最小值及M点坐标

5

【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可

除MH1BC+H,则/河+=/G即所求

5

2cAC-RC

【法一：等面积】AG=—空也=--------,再由相似求出例点坐标

BCCB

法二：tanZSCO=2^—=2^—=，再由三角函数求例点坐标

CGAC5

法三：求出ZG解析式

(18)(★)若动点D从点Z出发先以■的速度朝x轴负方向运动到G,再以％的速度向6点

运动，且％=214,当运动时间最短时，求点G的坐标(匕为定值)

【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和

AGBGAGBG—[-AG+BG

【简析】设运动总时间为t,----1---=---1---

匕/%(2

2匕V2

以力为顶点,在x轴下方构造一个30°的角，作垂线即可进行代换，!/G=G",当。G=BO_4百

2

时取到最小值.

(19)(☆☆)将线段。。绕。点进行旋转，得线段CQ在旋转过程中，求的最

2

小值.

【答案］V26

【思路分析】通过构造子母型相似代换阿氏圆模型

2

取点。(0,1),通过S4s可知△ODCsaoc'B,相似比为2,故3台。』。。',

AC'+^BC'=AC'+DC'>AD=y/26

(20)(★☆)点。(3,4),G是x轴上一动点，求G。-，/G的最小值

2

【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角

56

如图，作GE1N3于£,易知J/G=G£，GD--AG=GD-GE<DE，

22

当G,D,£三点共线时取到最小值，此时DEL48,DG=4亚,DE=g1=孚

*■/核心•题型/

题型一【铅垂高系列】

2023•四川凉山•中考真题

1.如图，已知抛物线与x轴交于/（L0）和2（-5,0）两点，与V轴交于点C.直线y=-3x+3过抛物

线的顶点P.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若直线尤=皿（-5＜加＜0）与抛物线交于点£,与直线8C交于点尸，E尸取得最大值时，求加的值

和EF的最大值

2022-T东•统考中考真题

如图，抛物线夕=必+&+。（b,c是常数）的顶点为C,与x轴交于43两点，/（1,0）,AB=4,

点P为线段A8上的动点，过P作尸。〃8C交NC于点Q.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求ACPQ面积的最大值，并求此时P点坐标.

2022•天津•中考真题

2.已知抛物线y+6x+c(a,b,c是常数，«＞0)的顶点为尸，与x轴相交于点』(T,0)和点

B.

⑴若6=-2,°=-3,

①求点P的坐标；

②直线x=(加是常数，1＜机＜3)与抛物线相交于点与3尸相交于点G,当MG取得最大值时,

求点M,G的坐标

2022•湖北襄阳•统考中考真题

3.在平面直角坐标系中，直线y=与x轴，y轴分别交于4,8两点，顶点为。的抛物线y

=-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C.

(备用图)

(1)如图，当机=2时，点P是抛物线CD段上的一个动点.

①求1,B,C,。四点的坐标；

②当APAB面积最大时，求点P的坐标；

2023・湖南娄底•中考真题

4.如图，抛物线y=x2+a+c过点点8(5,0),交y轴于点C.

(1)求仇c的值.

⑵点尸(%,%)(0</<5)是抛物线上的动点，当不取何值时，APBC的面积最大？并求出APBC面积

的最大值.

2023•湖南中考真题

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+x+c经过点/(-2,0)和点3(4,0),且与直线

/:y=r-l交于。、E两点(点。在点E的右侧)，点“为直线/上的一动点，设点M的横坐标

(1)求抛物线的解析式.

⑵过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N.若0</<4,求ANED面积的最大值.

2023•青海西宁•中考真题

6.如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点/(6,0),与y轴交于点2(0,-6),抛物线经过

点aB,且对称轴是直线x=i.

(1)求直线I的解析式；(2)求抛物线的解析式；

(3)点尸是直线/下方抛物线上的一动点，过点尸作尸轴，垂足为C,交直线/于点过点尸

作尸垂足为求的最大值及此时P点的坐标.

2023•四川广安・中考真题

7.如图，二次函数^=/+瓜+。的图象交x轴于点4B,交V轴于点C,点8的坐标为(1,0),对

称轴是直线x=-l,点尸是x轴上一动点，.1尤轴，交直线NC于点交抛物线于点N.

(1)求这个二次函数的解析式.

(2)若点P在线段NO上运动(点?与点A、点。不重合)，求四边形N8CN面积的最大值，并求出此

时点尸的坐标.

2023・湖南永州•中考真题

8.如图，抛物线了=办2+乐+。(a,b,c为常数)经过点尸(。,5),顶点坐标为(2,9),点尸(士,%)

为抛物线上的动点，尸"lx轴于且国之，

(1)求抛物线的表达式;

(2)如图，直线。尸?=?》交B尸于点G,求^的最大值;

、2BOG

2022•四川广元•中考真题

9.在平面直角坐标系中，直线y=-x-2与x轴交于点/,与y轴交于点2,抛物线y=ax2+bx+c

(a>0)经过4B两点,并与x轴的正半轴交于点C.

⑴求。，6满足的关系式及c的值；

(2)当°=2时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△P/2周长的最小值；

(3)当。=1时，若点0是直线下方抛物线上的一个动点，过点。作。于点。当。D的

值最大时，求此时点。的坐标及QD的最大值.

10.已知抛物线>=-4与x轴交于4、2两点，顶点为C,连接8C,点P在线段下方的抛

4

物线上运动.

3

⑴如图1,连接P8,PC,若%.c=5，求点尸的坐标.

(2)如图2,过点P作尸。〃>轴交8C于点Q,PHLBC交BC于点、H,求△尸。8周长的最大值.

题型二【线段和差最值篇】

2023•湖南张家界中考真题

11.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数了="2+乐+。的图象与了轴交于点/(-2,0)和点

5(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点。为线段8c上的一动点.

(1)求二次函数的表达式；(2)如图，求△NOD周长的最小值;

2022•四川遂宁中考真题

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yuf+foc+c与x轴交于4、3两点，与y轴交于点C,其

中点/的坐标为(TO),点C的坐标为(0,-3).

yy

⑴求抛物线的解析式;

（2）如图1,£为。边48上的一动点，尸为2C边上的一动点，。点坐标为（0,-2）,求尸周

长的最小值

2022•山东淄博•统考中考真题

13.如图，抛物线y=-N+H+C与x轴相交于/,3两点（点/在点2的左侧），顶点。（1,4）在

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）过点P作PMLx轴于点M,PN11于点N,当1＜加＜3时，求PM+PN的最大值

题型三【构造二次函数模型求最值】

2023•山东东营•中考真题

14.如图，抛物线过点。（0,0）,£（1。,0）,矩形/BCD的边N2在线段OE上（点3在点/的左侧）,

点C,。在抛物线上，设3&0),当"2时，BC=4.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当t为何值时，矩形48co的周长有最大值？最大值是多少?

2023•四川巴中•中考真题

15.在平面直角坐标系中，抛物线了=依2+乐+以4/0)经过点4-1,0)和3(0,3),其顶点的横坐标为

(1)求抛物线的表达式.

(2)若直线x=7"与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点当加取何值时，使得/N+MN

有最大值，并求出最大值.

2023•湖南张家界中考真题

16.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-g/+2x+6的图象与x轴交于点/(-2,0)和点

8(6,0)两点，与y轴交于点点。为线段8C上的一动点.

如图，过动点。作。P〃/C交抛物线第一象限部分于点尸，连接尸4尸8,记AP4D与△网。的面积

和为S,当S取得最大值时，求点尸的坐标，并求出此时S的最大值.

2023•山东聊城•中考真题

17.如图①，抛物线y=tz?+6x_9与x轴交于点-3,0),8(6,0),与〉轴交于点C,连接/C,BC.

点尸是x轴上任意一点.

(1)求抛物线的表达式;

(2)如图②，当点尸(私0)从点N出发沿x轴向点3运动时(点P与点48不重合)，自点尸分别作

PE//BC,交/C于点E,作PD1BC,垂足为点。当机为何值时，VPEO面积最大，并求出最

大值.

2022•湖北襄阳中考真题

18.在平面直角坐标系中，直线y=与x轴，y轴分别交于/,8两点，顶点为D的抛物线y

=-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C.

7

在了轴上有一点M(0,~m),当点C在线段"5上时,

①求加的取值范围；②求线段长度的最大值.

2023•湖北荆州中考真题

a-2)尤2+(a+l)x+b.

⑴若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且。=46,则。的值是

(2)如图，若函数的图象为抛物线，与无轴有两个公共点/(-2,0),8(4,0),并与动直线

/:X=TM(0<7"<4)交于点尸，连接尸区,PB,PC,BC,其中P/交V轴于点。，交8c于点E.设

XPBE的面积为0,ACDE的面积为S2.

①当点尸为抛物线顶点时，求APBC的面积;

②探究直线/在运动过程中，百-$2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理

由.

2022•江苏连云港中考真题

20.已知二次函数>=£+(加一2)x+加一4,其中加>2.

(1)当该函数的图像经过原点0(0,0),求此时函数图像的顶点A的坐标；

(2)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=-入-2上运动，平移

后所得函数的图像与V轴的负半轴的交点为B,求。。面积的最大值.

2022・湖南岳阳•中考真题

(2)如图2,作抛物线外，使它与抛物线耳关于原点。成中心对称，请直接写出抛物线匕的解析式;

(3)如图3,将(2)中抛物线鸟向上平移2个单位，得到抛物线抛物线耳与抛物线巴相交于C,

。两点(点C在点。的左侧).

①求点C和点。的坐标；

②若点河，N分别为抛物线々和抛物线马上C,。之间的动点(点N与点C,。不重合)，

试求四边形CMDN面积的最大值.

2023•宁夏•中考真题

22.如图，抛物线了=研2+法+3(a力0)与x轴交于A,8两点，与了轴交于点C.已知点A的坐标

是(-1,0),抛物线的对称轴是直线X=L

(1)直接写出点B的坐标；

(2)在对称轴上找一点尸，使尸N+PC的值最小.求点P的坐标和尸/+PC的最小值；

⑶第一象限内的抛物线上有一动点过点M作九Wlx轴，垂足为N,连接8c交于点。.依

题意补全图形，当M0+6C0的值最大时，求点W的坐标.

在平面直角坐标系xQv中，已知抛物线7=-/+2加x+3/",点/(3,0).

(1)当抛物线过点/时，求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条