高中数学 平面向量的数量积及应用 专项训练

专题平面向量的数量积及应用

一、题型全归纳

题型一平面向量数量积的运算

【题型要点】求向量，，b的数量积“4的两种方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即〃仍=回回cos<«,b).

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若Q=gyi),b=(xi,歹2),则〃6=xi%2+yU2.

当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解.

【例1】在四边形/BCD中，AD//BC,4B=2\H，AD=5,N/=30。，点E在线段C2的延长线上，且/£

=BE,则肪就=.

【解析】法一：在等腰△N8E中，易得NBAE=/ABE=30。,故3£=2,则过)・就=(疝—林)•(盛+前)

=力履+力就一谓一瓶被=5x25cos30°+5x2xCos1800-12-2^3x2xCOs150°=15—10—12+6=

-1.

法二：在中，由余弦定理可得&)=725+12—2x5x23xcos30o=y7,

所以cos/ABD=12+；―上=_画,则sin//AD=8^设尻)与基■的夹角为仇则cos6»=cos(180。-N4B。

2X2A/3XA/71414

+30°)=-COS(Z^BD-30°)=-COSZJBD-COS30°-sinZ^£>sin30°=--,在&4BE中，易得

JJ14

_-(斤

AE=BE=2,故就•就=V7x2x----=-1.

I14J

【例2】(2020•湖南省五市十校联考)在直角三角形48c中，/C=143=4,AC=2,若历=5瓦则⑦无

=()

A.-18B.一63C.18D.63

【解析】：通解：由NC=1,/B=4,/C=2,得CB=20已.注=0疝0=©+仙逸=近0+用F

=|(C^-C3)-CS=|C^2=18,故选C.

优解一：如图，以C为坐标原点，CA,C8所在的直线分别为X,y轴，建立平面直角坐标系，则C(0,0),

4(2,0),8(0,2^3).由题意得/。8/=支，又花=加，所以。=(—1,3侪则也•功=(—1,35(0,

62

23)=18,故选C.

优解二：因为/C=&,AB=4,NC=2,所以C2=23，所以成在国上的投影为23，又万)=球,所以历

22

在团上的投影为:、23=33，则设)在为上的投影为33，所以劭•国=|国Ha)|cos[ct),Ci}=2^3^3

=18,故选C.

题型二平面向量数量积的应用

命题角度一平面向量的模

【题型要点】求向量模长的方法

利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

(r)fl2=<z-a=|a|2§Jc|a|=J<ra；(2)\a±b\=ylQa±b)2=\)a2±2a-b+b2；(3)若a=(x,y),则同=也2+产.

【例1】(2020•唐山市摸底考试)已知ei,e2是两个单位向量，且©+e2|=3，则同一e2尸

【答案】1

【解析】法—*|ei+e2|=3，两边平方，得e?+2e[e2+&=3,又ei，e2是单位向量，所以2ere2=l，所以

同一《2产=«彳-2«1«2+«5=1，所以©-«2|=1.

法二：如图，设施=ei,显)=e2,又ei,e2是单位向量，所以|焉|=|彳臼=1,以48,40为邻边作平行四边

形/BCD,连接NC,BD,所以就=ei+e2,D^=ei-e2,因为|ei+e2|=3,即|就|=加，所以//8C=120°,

则4048=60。，所以|仍|=1,即同一02|=1.

【例2].已知同=2,回=3,a与6的夹角为望，且a+6+c=0,贝心尸.

【解析】因为a+A+c=0,所以c=—a—b,所以c2=a2+62+2a.b=22+32+2x2x3xcos"=4+9—6=7.

3

所以|c|=S.

命题角度二平面向量的夹角

【题型要点】求向量夹角问题的方法

(1)当。，b是非坐标形式时，求。与b的夹角仇需求出。力及同，回或得出它们之间的关系.

(2)若已知a=(xi,y。与5=(x2,yi)>贝!Jcos〈a,b}=7,

【例3】(2019•高考全国卷I)已知非零向量a,♦满足同=2例,且(Q—5)，在则。与6的夹角为()

A兀n兀八2兀65兀

A-B-C.—D.——

6336

22

【解析】⑴法一：由题意得,(a-b)b=0=>ab=\b\f所以同1♦cosva">=|臼2,因为同=2|〃，所以2|*|cos<a,

1JT

b>=\b\2=>cos<a,b>=~,所以<a,b>=~,故选B.

23

法二：如图，设稹=〃，Oh=b,则旗=4一"所以5=]|稹|=2|仍所以N/O5=:,即〈用〃>=：,

【例4】.已知向量〃=(九-6),6=(-1,2),若。与〃的夹角为钝角，贝版的取值范围是.

【解析】•.•向量〃与方的夹角为钝角，力=（九—6）*（—1,2）=-2—12<0,解得2>—12.当〃与〃共线时，

_7=k,入=3,

设〃=例左〈0）,可得，解得•即当入=3时，向量〃与〃共线且反向，此时〃仍<0,但〃

.—6=2k,K=-3,

与〃的夹角不是钝角.综上，丸的取值范围是（一12,3）U（3,+oo）.

【例3】已知向量彳§=（x,l）（x>0）,就=（1,2）,\Bt\=^5,则港，就的夹角为（）

A.-B.-C.-D.-

3643

【解析】因为此=就一叁=（l-x,1）,

所以|比|2=（1一疗+1=5,即N-2x—3=0,解得x=3或X=—1（舍）.设刀，就的夹角为仇则cos。=

湎就|

=也，所以。=匹

24

命题角度三两向量垂直问题

【题型要点】（1）当向量。与b是坐标形式时，若证明a_Lb,则只需证明。力=0OxiX2+yiy2=0.

（2）当向量a,b是非坐标形式时，要把♦,。用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道

其模与夹角，进行运算证明。6=0.

（3）数量积的运算a?=0=a_L〃是对非零向量而言的，若a=0,虽然有“力=0,但不能说a_LZ>.

【例5】已知向量静与就的夹角为120。，且|成|=3,|就|=2.若#=*§+就，且N_L斑，则实数力的值

为.

【解析】因为成_L设，所以#•发'=0.又#+就，鼠=就一曲,

所以就）•（就一静）=0,即（2—1）就•痛一痴於+就2=o,

所以Q—l）|Jt||Z&|cos120。-92+4=0.所以。-I）x3x2x（一；）—94+4=0.解得；1='.

【例6】（2020•华南师大附中一模）已知向量|力|=3,|彷|=2,虎'=（〃?一"）川+（2〃一加一1）彷，若为与加

的夹角为60。，且求，静，则实数%的值为（）

A8

A-cD-6

7-t

【解析】由题意得，求=仍+瑟=(加一几)为十(2〃一加)仍，Ah=oh~O^,况•仍=3x2xcos60o=3.又因

为次J1成,所以力=[(m—n)O^4~\-(2n—rn)O^](O^—次)=—(m—w)O^2+(2m—3n)O^,S&+(2n—

m)-O^2=—9(m—n)-\~3(2m—3〃)+4(2〃-⑼=0,整理得7冽-8〃=0,故a=8.

n7

题型三向量数量积的综合应用

命题角度一平面向量在平面几何中的应用

【题型要点】向量与平面几何综合问题的解法

（1）坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向

量运算，从而使问题得到解决.

⑵基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.

【例1】（2020•开封模拟）已知成，就是非零向量，且满足（静一2就）_L刀，（就一2静），就，则△/BC的

形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【解析】:,用一2g工部n避—2g碇=0,即方・前一2就•港=0,（就一2励），就=（就一2施）•就

=0,即就•就一2就♦就=0,.,.盛丞=充充=2值次,即|成|=|就则coM=就就=1,

|砌就|2

，//=60。，.♦.△48C为等边三角形.

【例2】已知。是平面上的一定点，A,B,。是平面上不共线的三个动点，若动点尸满足分静+

Ab）,^e（0,+oo）,则点尸的轨迹一定通过△48。的（）

A.内心B.夕卜心C.重心D.垂心

【解析】由原等式，得存一勿=2(差+就)，即/=〃彳§+就)，根据平行四边形法则，知■+就=20(。

为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△/3C的重心.故选C.

命题角度二平面向量与函数、不等式的综合应用

【题型要点】通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时

也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用.

【例3】已知向量°,力为单位向量，且。0=一/向量c与6共线，则|a+c|的最小值为.

【解析】法一：因为向量C与〃+〃共线，所以可设C+R)，所以〃+c=«+1)q+力，所以(〃+c)2

=(t+l)2a2+2z(?+l)ab+t2b2,因为向量〃，5为单位向量，且优〃=一；,所以(a+c)2=(%+1＞一1)+修

=»+%+1工，所以所以|〃+c|的最小值为日.

法二：因为向量4,8为单位向量，且优。=一A所以向量4,〃的夹角为120。，在平面直角坐标系中，不

2

(1勿ri5

妨设向量〃=(1,0),b-,--，则〃+〃=一,，因为向量c与。+〃共线，所以可设。=

122J”2J

、

'1旧(/GR),所以"+c=1+；,*/,所以|a+c|=-^―=[»+/+1之曰,所以m+d

t——,---

22

\77

的最小值为？

命题角度三平面向量与解三角形的综合应用

【题型要点】(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将

其转化为三角函数中的有关问题解决.

(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、

正、余弦定理等知识.

【例4】(2020•石家庄模拟)已知4,B,C分别为△45。的三边q,b,c所对的角，向量m=(sin4,sinB),

n=(cosB,cosA),mn=sin2C.

(1)求角C的大小;

(2)若sin/,sinC,sinB成等差数列，且方•(港一就)=18,求边c的长.

【解析】：（1）由已知得mn=sinAcosB+cosAsmB=sin（24+B）,

因为4+5+。=兀，所以sin（^4+B）=sin（7i—C）=sinC,所以mn=smC,又mn=sin2C,

所以sin2C=sinC,所以cosC=1.又0<。<无，所以C=匹.

23

⑵由已知及正弦定理得2c=a+6.因为EK静一就)=B•国=18,所以仍cosC=18,所以a6=36.

由余弦定理得。2=层+62—2obcosC=(Q+6)2—3ab,所以。2=4,一3x36,所以c?=36,所以。=6.

命题角度四平面向量与解析几何的综合应用

【题型要点】向量在解析几何中的2个作用

向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向

载体

量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解

作用

决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题

利用0_1_办。。6=0(<1,6为非零向量)，。〃方(厚0)可解决垂直、平行问

工具

题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行

作用

问题是一种比较简捷的方法

【例6】若点。和点尸分别为椭圆^+芷=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则办•用的最大

43

值为.

【答案】6

22

【解析】由椭圆;+：=1可得网一1,0),点。(0,0),设P(x,或一2WXW2),

(2\

则旅•用=X2+X+V=X2+X+31-L=-x2+x+3=-(x+2)2+2,-2<x<2,

当且仅当x=2时，肉•赤取得最大值6.

【例7】已知尸为双曲线三一6>0)的左焦点，定点/为双曲线虚轴的一个端点，过尸，/两点的

直线与双曲线的一条渐近线在〉轴右侧的交点为2,若前=3成，则此双曲线的离心率为.

【解析】由尸(一。，0),A(0,b),得直线N厂的方程为夕=々+8

C

_bI，

y=-x-vbi

c

be

根据题意知，直线/尸与渐近线相交，联立得b消去x得,yB=~

ay=~x,c-a

【a

由差=3成，得性=46,所以"J=46,化简得3c=4Q,所以离心率e=±

c-a3

题型四平面向量与三角函数

【题型要点】平面向量与三角函数的综合问题

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的

关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的

运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

【例1】(2020•江西上饶重点中学六校联考)在△/8C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,向量〃?=(cos(N

-3

—B),sin(4—5)),n=(cosB,—sinB),且/«・〃=—'.

(1)求sin4的值；

(2)若。=4/，b=5,求角2的大小及向量晶在求方向上的投影.

【解析】：(1)由=得cos(A~B)cosB-sin(A—B)sinB=-所以cosZ=一5.因为0<A<TI,

所以sin/=1—cos2^==y.

.Sx-r

(2)由正弦定理二上，得$m5=如退===也，

sinAsinBa八八2

因为q>b,所以则5=由余弦定理得(4仍)=52+/—2x5cx[-1],解得。=1.

故向量福在炭(方向上的投影为|居|cosB=ccos5=lx§=§.

【例2】已知两个不共线的向量〃，8满足〃=(1,3)，〃=(cosasin。)，6GR.

⑴若2a~b与a—7b垂直,求|〃+”的值；

(2)当。£O,^时，若存在两个不同的仇使得|〃+^3臼=|冽M成立，求正数次的取值范围.

【解析】(1)由条件知同=2,=又2a一1与〃一7〃垂直,所以(2〃一A)6—78)=8—154仍+7=0,所

以1.所以+砰=|砰+2〃协+回2=4+2+1=7,故|4+〃|=A/^.

(2)由|〃+加。|=|加0,得|〃+3肝=|加砰.即同2+2加°++3网2=加2同2,

即4+2品力+3=4加2,7+23际0+岳出。)=4足所以4凤11[，+7]=4加2—7.

由61e0,—，得。+&e,

L2j6[63」

因为存在两个不同的。满足题意，所以数形结合知4岳in,+[6,4a即6W4/—7<川3,即小？

<1±生8,又m>o,所以逗机<上8.即实数机的取值范围为

422

二、高效训练突破

一、选择题

1.设a=(l,2),6=(1,1),c=a+防.若虹c,则实数后的值等于()

3553

A.--B.--C.-D.-

2332

【解析】：c=a+kb=(l,2)+左(1,1)=(1+匕2+左)，因为〃_Lc,所以"c=0,bc=(l91)-(1+i,2+k)=

.一a

1+左+2+左=3+2左=0,所以左=—.

2

2.(2020•湖南省五市十校联考)已知向量a,6满足|a|=l,步|=2,a(a-2Z>)=0,则|a+〃=()

A.^6B.贴

C.2D.3

【解析】：由题意知，«(«—2b)=a2—2ab=1—2a，b=3所以2ab=1,所以|a+b尸Na2+2a.b+Z>2=A/l+1+4

=加.故选A.

3.(2020•广州市综合检测(一))”,A为平面向量，已知a=(2,4),a—26=(0,8),则a,A夹角的余弦值等

于()

2—2x—0x=]

【解析】：设b=(x,y),则有4—26=(2,4)-(2%,2y)=(2~2x4—2y)=(0,8),所以•，解得・，

fl4~2y=8\y=~2

故〃=(1,—2),回=3，同=23，cos〈〃，b〉一、•=—3,故选B.

101AlA/5X2A/55

4.(2020•四川资阳第一次模拟)已知向量〃，〃满足〃6=0,\a+b\=m\a\f若〃与〃一〃的夹角为g,则冽

的值为()

A.2B.A/3

C.1D.-

2

【解析】：因为〃6=0,所以|〃+b|=]〃一"，因为|Q+—同,所以(仅+〃)2=优2〃2,所以〃2+〃2=冽2a2,所

以b2=(m2—l)a2.

(〃+b)•(〃一〃)2兀

又Qf的夹角为亨所以cos一,

\a~\-b\\a-b\3

所以层一，2_层_(/T)层_2—加2_

m2a2m2a2m22

解得加=2或加=一2(舍去).故选A.

5.(2020•郑州市第二次质量预测)在RtZk/5C中，ZC=90°,CB=2,C4=4,P在边4c的中线5。上，则

度•旃的最小值为()

1

A.B.0

2

C.4D.-1

【解析】：依题意，以。为坐标原点，分别以4C,5c所在的直线为％,y轴，建立如图所示的平面直角坐

标系，则5(0,2),。(2,0),所以直线助的方程为y=—x+2,因为点尸在边4C的中线AD上，所以可

设尸(f,2-?)(0</<2),所以及=«,2—。，旃=(3—。，所以舁•旃=祥一改2—。=2-—2f=2/—g

-?

当时，办•踮取得最小值一%故选A.

22

6.(2020・深河高级中学月考)已知向量。=(一2,m),6=(1,2),若向量。在向量b方向上的投影为2,则实数

"?=()

A.-4B.-6

C.4D.^5+1

【解析】ab=-2+2〃?，|a|cos0=%^=；------=2.解得〃?=3+1.

1*1*+4

7.已知平面向量。=(1,2),6=(4,2),c=ma+b(m^R),且c与。的夹角等于c与)的夹角，则加=()

A.12B.—1

C.1D.2

【解析】V«=(l,2),6=(4,2),.*.c=ma+6=(m+4,2m+2),同=韶，］臼=2/，/.a-c=5m+8,b,c=8m

cacb,5m+88m+20

+20「・,c与〃的夹角等于c与〃的夹角，.二，解得加=2.

•罔同一罔回‘…市—2七

8.（2020•河南郑州模拟）已知平面向量a,b,c满足同=|臼=同=1,若"仿=｝则（a+Z»M2/l—c）的最小值为

)

c.-iD.0

【解析】：由同=网=1,（rb=；,可得〈a,b）=；,令况=°,Oh—b,以国的方向为x轴的正方向建立

一fi5

如图所示的平面直角坐标系，则〃=稹=(1,0),b=O^=―,——，设c=^=(cos6,sin8)(0*V2兀),

(22J

贝U(〃+〃)(28-c)=2〃力一〃•c+2〃2—〃.°=3一(cos8+；cos夕+?

sin0)=3—3sin|O+—，则(a+6)-(2A—c)

3

的最小值为3—3，故选B.

9.(2020•南昌模拟)已知a=(cosa,since),6=(cos(-a),sin(—a)),那么“力=0是.=左1+：/62)的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】优》=0=cos2a—sin2a=cos2a,2a=±^+2fot(A；ez),a=fot±^(左eZ),故选B.

10.（2020•天津市宁河区芦台第一中学高考模拟）如图所示，等边△/8C的边长为2,。为边NC上的一点，且

Ab=ut,△/£>£也是等边三角形，若屣•炭）=个，贝!U的值是（）

B也

C-4D3

3

【解析】前协=®+或）®+就+砌=■+/港+扇动+或磊+赤+港动=22+2.2/lcos：

—2,2%+2,2%cos生+442+4%2cos'=242+4=M^n%2=4,因为%>0,所以%=2,选A.

33993

11.（2020•安徽五校联盟第二次质检）已知。是△N3C内部一点，且满足用+仍+次=0,又存就=23，

NB4c=60。,则△O8C的面积为（）

A半B.3C.1D.2

2

【解析】：由差•企=23，/BAC=60°,可得差•就=|差卜|就|cosN2/C=；|港I就|=23，所以|差||充?|

=43，所以限瓯=，成||就NinN8/C=3,又次1+彷+次=0,所以O为A4BC的重心，所以MOBC=

=1,故选C.

12.（2020•河北衡水中学期末）在四边形48CD中，已知M是48边上的点，且M4=M3=MC=M）=1,

ZCMD=U0°,若点N在线段CD（端点C,。除外）上运动，则殖•脑的取值范围是（）

A.[-1,0)B.-：,0

C.[-1,1)D.

【解析】：连接AGV.由题意得届I・柿=（就一利•（同一两=皿一扇2=|加|2-1.在△“GV中，MC=1,

NMCN=30°,所以叱=12+NC2—2xNCxlx《=NC2-3NC+1,所以MN2—I=NC2—而NC=

2

NC--------3.由MC=〃D=1,ZCMD=}20°,可得CO=3,又点N在线段CD（端点C,。除外）上运

I2J4

-3,01故选B.

动，所以OVNC<3.所以一须w2—1V0,即殖•楠的取值范围是

44)

二、填空题

1.（2020•河南郑州一模）已知ei,e2为单位向量且夹角为,，设a=3ei+2e2,b=3e?,则a在方方向上的投

影为

【解析】：根据题意得，a，6=9ere2+6e5=9xlxlx1万］+6=—3+6=}又因为|〃=3,所以。在6方向上

3

的投影为妙=2=工

步|32

2.(2020•江西临川九校3月联考)已知平面向量。=(2m一1,2),b={-2,3加-2),且a_L5,则|2°-35|=

【解析】：因为所以优〃=—2(2冽-l)+2(3m—2)=0,解得加=1,

所以”=(1,2),〃=(一2,1),所以2“-3b=(2,4)-(-6,3)=(8,1),所以=云.

3.(2020•石家庄质量检测(一))已知就与就的夹角为90。，懑|=2,|就|=1,就=/lZ§+〃就«,〃GR),且

就或=0,贝H的值为.

【解析工根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系

I

ACx

则/(0,0),5(0,2),C(l,0),所以范=(0,2),就=(1,0),虎=(1,-2).设M(x,y),则而=(x,y),

所以力f•岌=(x,—2)=x—2y=0,所以x=2y,又刀。=储为+/^正，即(x,j?)=A(O,2)+〃(1,0)=(//,

1

；~yi

2/1),所以x=〃，y—2A,所以—=Z=—.

〃x4

4.已知成=(cos23。，cos67°),病=(2cos68。，2cos22°),则△/3C的面积为.

【答案】也

2

【解析】因为焉=(cos23。，sin23°),虎=(2sin22。,2cos22°),所以cos〈油质)=

2(cos23Osin22；+sin23Ocos22。)=sin45。=也所以刀与瑟的夹角为45。,故N/2C=135。.所以

^cos223°+sin2230-V(2sin220)2+(2cos220)22

5酒=,画曲sinl35。=2ix2x?=?.

5.(2020•青岛摸底)已知向量a,b的夹角为60。，同=1,网=2,若(a+劝)〃(2«+3，贝版=；若(a

+〃b)J_(2a+6),则〃=.

【解析】因为(a+M)〃(2a+Z»),所以存在唯一实数"，使得a+&»=〃(2a+3，所以1=2"，%=〃，解得力=

:因为(。+/必)_L(2a+5),且向量a,b的夹角为60。，同=1,回=2,所以(a+〃»(2a+Z>)=202+(l+2〃)a?

+〃〃=2+1+2〃+4〃=0,解得〃=一

6.(2020•山东师大附中二模改编)已知向量a,b,其中同=弋3,回=2,且(a—则向量a和6的夹角

是，〃•(〃+〃)=.

【解析】：由题意,设向量4，〃的夹角为仇因为同=3，|〃=2,且(Q—6)_LQ,所以(〃一》)•〃=