金版教程物理2025高考科学复习解决方案第五章 万有引力与宇宙航行第1讲 万有引力定律及其应用含答案

《金版教程(物理）》2025高考科学复习解决方案第五章万有引力与宇宙航行《金版教程(物理）》2025高考科学复习解决方案第五章万有引力与宇宙航行第讲万有引力定律及其应用[教材阅读指导](对应人教版必修第二册相关内容及问题)第七章第1节阅读“开普勒定律”的有关内容，写出开普勒行星运动定律的表述。提示：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。第七章第1节阅读“行星轨道简化为圆轨道”的有关内容，写出对行星运动轨道简化为圆轨道后的开普勒三个定律的表述。提示：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。(3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。第七章第1节[练习与应用]T2。提示：近地点的速度较大。第七章第2节阅读“行星与太阳间的引力”这一部分内容，太阳与行星间引力的公式是依据什么推导出来的？提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式及牛顿第三定律推导出来的。第七章第2节阅读“月—地检验”这一部分内容，什么是月—地检验？提示：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。第七章第2节阅读“引力常量”这部分内容及后面的[拓展学习]，引力常量是如何测得的？数值为多少？提示：英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置测得G＝6.67×10－11N·m2/kg2。第七章第3节，万有引力理论的成就有哪些？提示：“称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体、预言哈雷彗星回归。第七章[复习与提高]B组T2；T3。提示：T2：将行星看作球体，设半径为R，质量为m星，则行星的密度为ρ＝eq\f(m星,V)＝eq\f(m星,\f(4πR3,3))。卫星贴近行星表面运行时，运动半径为R，由万有引力提供向心力可知eq\f(Gm星m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，即m星＝eq\f(4π2R3,GT2)。由此可以解得ρT2＝eq\f(3π,G)，式中G为引力常量，可见ρT2是一个对任何行星都相同的常数。温馨提示：当卫星贴着行星表面飞行时，只要有一个计时工具就可以知道行星的密度。T3：eq\f(7Gmm′,36R2)。质量分布均匀的球体之间的万有引力可以等效为质量集中在两球心的两个质点之间的万有引力，直接代公式可求。本题采用先填补成完整的球体，再减去补上的小球部分产生的引力的方法来求解。必备知识梳理与回顾一、开普勒定律1．定律内容(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是eq\x(\s\up1(01))椭圆，太阳处在椭圆的一个eq\x(\s\up1(02))焦点上。(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的eq\x(\s\up1(03))面积相等。(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的eq\x(\s\up1(04))半长轴的三次方跟它的eq\x(\s\up1(05))公转周期的二次方的比都相等，即eq\x(\s\up1(06))eq\f(a3,T2)＝k。2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。二、万有引力定律及应用1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与eq\x(\s\up1(01))物体的质量m1和m2的乘积成正比，与eq\x(\s\up1(02))它们之间距离r的二次方成反比。2．公式：F＝eq\x(\s\up1(03))Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。3．公式的适用条件：计算两个eq\x(\s\up1(04))质点间的万有引力。4．万有引力理论的主要成就(1)发现未知天体。(2)计算天体质量。一、堵点疏通1．只有天体之间才存在万有引力。()2．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。()答案1.×2.√二、对点激活1．关于万有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是()A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C．两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的答案C解析万有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看作质点，故F＝Geq\f(m1m2,r2)已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，D错误。2．(人教版必修第二册·第七章第3节[练习与应用]T4节选)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示，天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。答案17.8解析设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，由题意可知T＝2061年－1986年＝75年，根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，有eq\f(a3,T2)＝eq\f(Req\o\al(3,0),Teq\o\al(2,0))，则eq\f(a,R0)＝eq\r(3,\f(T2,Teq\o\al(2,0)))≈17.8。关键能力发展与提升考点一开普勒定律的理解与应用深化理解1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知eq\f(1,2)va·Δt·a＝eq\f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq\f(vbb,a)。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。4．开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。例1(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A．从P到M所用的时间等于eq\f(T0,4)B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功[答案]CD[解析]由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。绕太阳沿椭圆轨道运行的行星越靠近近日点线速度越大，在近日点线速度最大。例2(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m[答案]C[解析]设沿火星表面运动的卫星的绕行周期为T0，则有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))eq\s\up12(2)R，在火星表面处有eq\f(GMm,R2)＝mg，联立可得T0＝2πeq\r(\f(R,g))；设“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最近距离为d1，最远距离为d2，则停泊轨道的半长轴为a＝eq\f(d1＋d2＋2R,2)，由开普勒第三定律可知eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,0))，由以上各式联立，可得d2＝2eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－d1－2R≈6×107m，故C正确。考点二万有引力定律及其应用拓展延伸1．万有引力的“两点理解”和“三个推论”(1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。②万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)适用于计算质点间的万有引力。当物体不能看成质点时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。(2)三个推论①推论1：两个质量分布均匀的球体之间的万有引力，等于位于两球心处、质量分别与两球体相等的质点间的万有引力。②推论2：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。③推论3：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。2．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。3．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由eq\f(GMm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空的重力加速度设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(（R＋h）2,R2)。考向1万有引力定律的应用例3(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5[答案]B[解析]设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝Geq\f(M火m,Req\o\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq\f(M地m,Req\o\al(2,地))，由题意知eq\f(M火,M地)＝eq\f(1,10)，eq\f(R火,R地)＝eq\f(1,2)。联立以上各式可得eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火,M地)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,10)×eq\f(4,1)＝0.4，故B正确。例4(2022·全国乙卷)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们()A．所受地球引力的大小近似为零B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小[答案]C[解析]航天员在空间站中可以自由地漂浮，表明飞船对其作用力几乎等于零，航天员随飞船做圆周运动的向心力完全由所受地球引力提供，故A、B错误，C正确；根据万有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，可知在地球表面上所受地球引力的大小大于在飞船上所受地球引力的大小，因此在地球表面所受引力的大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。例5理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是()[答案]A[解析]根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以F＝Geq\f(ρ·\f(4πx3,3)·m,x2)＝Geq\f(\a\vs4\al(4πρm),3)x，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝Geq\f(Mm,x2)，其中M为地球的质量。综上所述，当x<R时，F与x成正比，当x≥R后，F与x的平方成反比，所以A正确。考向2万有引力与重力的关系例6某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为()A.eq\r(\f(GM,10R3)) B.eq\r(\f(GM,11R3))C.eq\r(\f(1.1GM,R3)) D.eq\r(\f(GM,R3))[答案]B[解析]设该行星“赤道”上某处的重力加速度大小为g，该行星自转的角速度为ω，物体的质量为m，物体在“两极”处所受行星的万有引力大小等于重力大小，即Geq\f(Mm,R2)＝1.1mg，物体在“赤道”上某处时所受行星的万有引力大小等于重力和物体随行星转动所需的向心力的合力大小，即Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，联立解得ω＝eq\r(\f(GM,11R3))，故选B。考向3星体表面及上空的重力加速度例7(2023·浙江省温州市高三下第二次适应性考试)《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为2.5kg的物体重力为16N。已知地球半径为6371km，不考虑地球自转，则此时太空电梯距离地面的高度约为()A．1593km B．3584kmC．7964km D．9955km[答案]A[解析]设地球的质量为M，此时太空电梯距离地面的高度为h，太空电梯所在位置处的重力加速度为g′，不考虑地球自转，则物体所受重力等于地球的引力，根据万有引力公式，物体在地球表面时，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，物体在太空电梯中距地面h高度处，有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝mg′，两式相比可得eq\f(R2,（R＋h）2)＝eq\f(mg′,mg)，由题意知，mg′＝16N，又mg＝2.5×10N＝25N，解得h＝eq\f(1,4)R＝1593km，故选A。考点三天体质量和密度的估算拓展延伸1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(v2r,G)。若已知v、T，可先求出r＝eq\f(vT,2π)，再利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r求M。若已知ω、T则不能求出M。考向1利用“重力加速度法”计算天体的质量和密度例8宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)月球的密度ρ。[答案](1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)[解析](1)羽毛和铁锤在月球表面附近做自由落体运动，有h＝eq\f(1,2)g月t2解得g月＝eq\f(2h,t2)。(2)不考虑月球自转的影响，对在月球表面上质量为m的物体，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月解得M＝eq\f(2hR2,Gt2)。(3)假设月球为均匀球体，则其体积V＝eq\f(4,3)πR3根据密度公式可知，ρ＝eq\f(M,V)解得ρ＝eq\f(3h,2πRGt2)。考向2利用环绕法估算天体的质量和密度例9(2021·广东高考)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是()A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径[答案]D[解析]根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，则M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(ω2r3,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知要计算地球的质量M，除引力常量G外，还要知道核心舱的绕地半径r及绕地线速度v、绕地角速度ω或绕地周期T中的一个。所以若已知核心舱的质量和绕地半径或已知核心舱的质量和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，不能计算出核心舱的绕地半径，也不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，可由M＝eq\f(v2r,G)计算出地球的质量。故D正确，A、B、C错误。例10(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M[答案]B[解析]设中心天体的质量为M中，绕中心天体做匀速圆周运动的环绕天体的质量为m，轨道半径为r，周期为T，由万有引力提供向心力有Geq\f(M中m,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，解得M中＝eq\f(4π2r3,GT2)。由开普勒第三定律知，绕该黑洞做匀速圆周运动的轨道半径为1000AU的环绕天体的公转周期与S2的公转周期相同，为T＝2×(2002年－1994年)＝16年，根据M中＝eq\f(4π2r3,GT2)，则eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(（1000AU）3,（1AU）3)×eq\f(（1年）2,（16年）2)≈4×106，即M黑洞≈4×106M，故选B。例11(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为()A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)C.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))eq\s\up12(2) D.eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)[答案]D[解析]设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力，可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，由题图中几何关系可知eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)，由题意可知R地＝kR月，又地球的平均密度ρ地＝eq\f(m地,\f(4,3)πReq\o\al(3,地))，太阳的平均密度ρ日＝eq\f(m日,\f(4,3)πReq\o\al(3,日))，联立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)，故选D。估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有eq\f(GMm,R2)＝mg。【跟进训练】1.利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案D解析根据Geq\f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及v＝eq\f(2πR,T)可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。2.(2022·山东省济宁市高三下二模)某兴趣小组想利用小孔成像实验估测太阳的密度。设计如图所示的装置，不透明的圆桶一端密封，中央有一小孔，另一端为半透明纸。将圆桶轴线正对太阳方向，可观察到太阳的像的直径为d。已知圆桶长为L，地球绕太阳公转周期为T。估测太阳密度的表达式为()A.eq\f(24πL3,GT2d3) B.eq\f(3πL3,GT2d3)C.eq\f(3πd3,GT2L3) D.eq\f(6πd3,GT2L3)答案A解析设太阳的半径为R，太阳到地球的距离为r，由题图，根据相似三角形可得eq\f(R,r)＝eq\f(\f(d,2),L)，解得R＝eq\f(dr,2L)；地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为M，地球质量为m，则有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，又太阳体积为V＝eq\f(4,3)πR3，太阳密度为ρ＝eq\f(M,V)，联立可解得ρ＝eq\f(24πL3,GT2d3)，A正确，B、C、D错误。课时作业[A组基础巩固练]1.(2023·吉林省延边州高三下教学质量检测)假如某天地球加速绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R(R为加速前地球绕太阳做圆周运动时与太阳间的距离)，地球的公转周期变为8年，则在该椭圆轨道上地球距太阳的最远距离为()A．2R B．4RC．7R D．8R答案C解析根据题意可知，加速前地球绕太阳做圆周运动的周期T0＝1年，设在该椭圆轨道上地球距太阳的最远距离为r，则其半长轴为a＝eq\f(R＋r,2)，根据开普勒第三定律，可得eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,0))，其中T＝8年，解得r＝7R，故选C。2．(2023·广东省佛山市高三下教学质量检测二)中国空间站轨道高度为400～450千米，地球半径约为6370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的()A．0.9倍 B．0.25倍C．0.1倍 D．0.01倍答案A解析设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为m，地球质量为M，航天员在地球表面时所受地球的引力F1＝eq\f(GMm,R2)，在空间站舱外作业时所受地球的引力F2＝eq\f(GMm,（R＋h）2)，可得eq\f(F2,F1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R＋h)))eq\s\up12(2)≈0.9，故选A。3．(2023·山东省济宁市高三下二模)如图甲所示，太空电梯的原理是，在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，“绳索”会绷紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空。如图乙所示，有一太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，相对地球静止。已知地球半径为R、质量为M、自转周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是()A．太空电梯上各点均处于完全失重状态B．太空电梯上各点线速度大小与该点到地心的距离成反比C．升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，升降舱的向心加速度大小为eq\f(GM,9R2)D．升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，升降舱的向心加速度大小为eq\f(12π2R,T2)答案D解析太空电梯上各点随地球一起做匀速圆周运动，各点角速度相等，大小为地球自转角速度，由v＝ωr可知，太空电梯上各点线速度大小与该点到地心的距离成正比，故B错误；太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动，由B项分析结合a＝rω2可知，越靠近地心，向心加速度越小，而根据a引＝eq\f(GM,r2)可知，越靠近地心，地球引力提供的加速度越大，在同步空间站处，a＝a引，则只有处于同步空间站的点才处于完全失重状态，不是各点都处于完全失重状态，故A错误；升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，由A项分析可知，升降舱受到“绳索”的支持力F，此时做匀速圆周运动的轨道半径为r′＝2R＋R＝3R，对升降舱，由牛顿第二定律有eq\f(GMm,req\o\al(2,1))－F＝ma1，解得升降舱的加速度大小为a1＝eq\f(GM,9R2)－eq\f(F,m)，故C错误；由题意知，地球自转的角速度ω＝eq\f(2π,T)，而升降舱停在距地球表面高度为2R的站点时，向心加速度大小为a1＝ω2r1，可解得a1＝eq\f(12π2R,T2)，故D正确。4.(2024·辽宁省鞍山市高三上第一次质量检测)如图所示，地球资源卫星“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，根据上述信息可推断地球质量为()A.eq\f(g3T2sin6\f(θ,2),16π4G) B.eq\f(g3T4sin6\f(θ,2),16π4G)C.eq\f(g3T4sin2\f(θ,2),16π4G) D.eq\f(g3T4sin4\f(θ,2),16π4G)答案B解析设“04星”绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，地球的半径为R，地球质量为M，“04星”质量为m，由万有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，根据地球表面质量为m′的物体所受重力近似等于地球对它的万有引力，有m′g＝eq\f(GMm′,R2)，由几何关系有eq\f(R,r)＝sineq\f(θ,2)，联立解得M＝eq\f(g3T4sin6\f(θ,2),16π4G)，故选B。[B组综合提升练]5.(2022·河北省秦皇岛市高三下三模)2022年4月16日，我国在太原卫星发射中心发射了一颗大气环境监测卫星，该卫星将推动我国在生态环境、气象、农业农村等领域的遥感应用。若用F表示该卫星在发射过程中到地心距离为x处时所受万有引力的大小，则下列图像中，可能正确的是()答案D解析该卫星在与地心距离为x处时所受万有引力的大小F＝eq\f(GMm,x2)，则F­x图像为曲线，故A、B错误；上式两边取对数，可得lnF＝ln(GMm)－2lnx，则lnF­lnx图像是斜率为负数的倾斜直线，故C错误，D正确。6．(2023·东北三省四城市暨沈阳市高三下二模)(多选)2021年2月，我国执行火星探测任务的“天问一号”火星探测卫星顺利实施近火制动，完成火星捕获，正式进入环绕火星轨道。假设火星可视为半径为R的均匀球体，“天问一号”沿椭圆轨道绕火星运动，周期为T。如图所示，椭圆轨道的近火点P离火星表面的距离为2R，远火点Q离火星表面的距离为4R，引力常量为G。下列说法正确的是()A．根据以上条件，可以求出火星的质量B．根据以上条件，可以求出“天问一号”的质量C．根据以上条件，可以求出近火卫星的周期D．“天问一号”在近火点P和远火点Q的加速度大小之比为4∶1答案AC解析根据题意可知，椭圆轨道的半长轴为a＝eq\f(2R＋2R＋4R,2)＝4R，由开普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,Teq\o\al(2,1))，解得近火卫星的周期为T1＝eq\r(\f(R3,a3))T＝eq\f(1,8)T，设火星质量为M，对于质量为m的近火卫星，由万有引力提供向心力，有eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))R，解得M＝eq\f(4π2R3,GTeq\o\al(2,1))＝eq\f(256π2R3,GT2)，即根据题中条件，可以求出火星的质量和近火卫星的周期，故A、C正确；设“天问一号”质量为m天，如果“天问一号”绕火星以r0＝a＝4R的半径做匀速圆周运动，由开普勒第三定律知其周期也为T，对“天问一号”，由万有引力提供向心力，有eq\f(GMm天,req\o\al(2,0))＝m天eq\f(4π2,T2)r0，可知“天问一号”的质量被消掉，则不可以求出“天问一号”的质量，故B错误；对“天问一号”，由牛顿第二定律知eq\f(GMm天,r2)＝m天a加，解得加速度大小a加＝eq\f(GM,r2)，“天问一号”在近火点P和远火点Q到火星球心的距离之比为eq\f(rP,rQ)＝eq\f(2R＋R,4R＋R)＝eq\f(3,5)，则“天问一号”在近火点P和远火点Q的加速度大小之比eq\f(aP,aQ)＝eq\f(req\o\al(2,Q),req\o\al(2,P))＝eq\f(25,9)，故D错误。7．(2022·山东省济南市高三下二模)某气体星球的半径为R，距离星球中心2R处的P点的重力加速度大小为g。若该星球的体积均匀膨胀，膨胀过程中星球质量不变，且质量分布始终均匀。当星球半径膨胀到4R时，P点的重力加速度大小变为g′。已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，星球自转的影响可忽略。则g′与g的比值为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D．1答案A解析对于位于P点质量为m的物体，当气体星球的半径为R时，根据万有引力等于重力，可得eq\f(GMm,（2R）2)＝mg，当星球半径膨胀到4R时，设星球密度为ρ，则有M＝ρ·eq\f(4,3)π(4R)3，对于在P点处质量为m的物体，有eq\f(GM′m,（2R）2)＝mg′，其中M′＝ρ·eq\f(4,3)π(2R)3，联立以上各式可得eq\f(g′,g)＝eq\f(1,8)，A正确，B、C、D错误。8．(2022·山东省淄博市高三下三模)如图甲所示，南京紫金山天文台展示的每隔2h拍摄的某行星及其一颗卫星的照片。小齐同学取向左为正方向，在图甲照片上用刻度尺测得行星球心与卫星之间的距离L如图乙所示。已知该卫星围绕行星做匀速圆周运动，在图甲照片上测得行星的直径为2cm，引力常量为G＝6.67×10－11N·m2/kg2。下列说法正确的是()A．该卫星围绕行星运动的周期为T＝24hB．该卫星围绕行星运动的周期为T＝32hC．该行星的平均密度ρ＝5×103kg/m3D．该行星的平均密度ρ＝5×105kg/m3答案C解析由题图乙可知，从t＝0时刻到t＝24h时刻卫星绕行星转动半周，则该卫星绕行星做匀速圆周运动的周期为T＝2×24h＝48h，故A、B错误；照片上行星的半径为R′＝1cm，照片上的轨道半径r′＝10cm，设实际尺寸是照片上尺寸的k倍，则实际行星的半径为R＝kR′，轨道半径为r＝kr′，由万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，行星的体积为V＝eq\f(4,3)πR3，行星的密度为ρ＝eq\f(M,V)，联立解得ρ＝5×103kg/m3，故C正确，D错误。9．(2021·福建高考)一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由96m/s减小到0，历时80s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为7500N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的eq\f(1,2)，火星质量约为地球质量的eq\f(1,10)，地球表面重力加速度大小取10m/s2，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：(1)在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；(2)在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。答案(1)1.2m/s23840m(2)1875kg解析(1)设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为v1，末速度大小为v2，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有v2＝v1－at①代入题给数据得a＝1.2m/s2②设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有s＝v1t－eq\f(1,2)at2③联立②③式并代入题给数据得s＝3840m。④(2)设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为M火、R火和g火，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为M地、R地和g地，对星球表面质量为m的物体有eq\f(GM火m,Req\o\al(2,火))＝mg火⑤eq\f(GM地m,Req\o\al(2,地))＝mg地⑥式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为mmax，由力的平衡条件有F＝mmaxg火⑦联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得mmax＝1875kg。⑧建模提能2双星、多星模型前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看成近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。1．双星模型(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,G（m1＋m2）))。⑥双星的总质量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2．三星模型(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是()A．B星球的轨道半径为eq\f(m2,m1＋m2)LB．A星球运行的周期为2πLeq\r(\f(L,G（m1＋m2）))C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1∶m2D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零[答案]B[解析]由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为ω，轨道半径分别为r1、r2，根据牛顿第二定律，对A星球有：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，对B星球有：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，得r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，得r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，A错误；根据Geq\f(m1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1，r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，解得A星球运行的周期T＝2πLeq\r(\f(L,G（m1＋m2）))，B正确；A星球和B星球的线速度大小之比eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωr1,ωr2)＝eq\f(m2,m1)，C错误；O点处质量为m的质点受到B星球的万有引力FB＝eq\f(Gm2m,req\o\al(2,2))＝eq\f(Gm2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m1,m1＋m2)L))\s\up12(2))，受到A星球的万有引力FA＝eq\f(Gm1m,req\o\al(2,1))＝eq\f(Gm1m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,m1＋m2)L))\s\up12(2))，故该质点受到两星球的引力之和不为零，D错误。【名师点睛】解决双星、多星问题，要抓住四点(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。(3)星体的角速度相等。(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。1.(2023·江苏省淮安市高三下三统模拟检测)人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则()A．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度C．其运动周期T＝eq\r(\f(4π2L3,GM))D．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大答案C解析设黑洞A、B的质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度均为ω，线速度大小分别为vA、vB，由万有引力提供向心力有eq\f(GmAmB,L2)＝mAω2RA，eq\f(GmAmB,L2)＝mBω2RB，由题意有RA＋RB＝L，mA＋mB＝M，联立可得eq\f(mA,mB)＝eq\f(RB,RA)，而RA>RB，所以mA<mB，又由v＝ωr可知，黑洞A、B的线速度大小分别为vA＝ωRA，vB＝ωRB，则vA>vB，故A、B错误；由A、B项分析可解得ω＝eq\r(\f(GM,L3))，可知当两个黑洞的总质量M一定时，L越大，则角速度越小，故D错误；根据T＝eq\f(2π,ω)，可解得两个黑洞的运动周期T＝eq\r(\f(4π2L3,GM))，故C正确。2.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星球位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是()A．每颗星球做圆周运动的半径都为eq\f(\r(3),3)RB．每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量无关C．每颗星球做圆周运动的周期都为2πReq\r(\f(R,3Gm))D．若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变答案ACD解析由几何关系知每颗星球做圆周运动的半径r＝eq\f(\r(3),3)R，故A正确；任意两颗星球之间的万有引力为F＝eq\f(Gm2,R2)，每一颗星球受到的合力F1＝eq\r(3)F，由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝ma，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，即每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量m成正比，故B错误；由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得每颗星球做圆周运动的周期T＝2πReq\r(\f(R,3Gm))，故C正确；由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(Gm,R))，若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变，故D正确。课时作业[A组基础巩固练]1.(2023·安徽省芜湖市高三下5月教学质量统测(二模))目前在轨的中国空间站“天和”核心舱是迄今为止我国发射的最大航天器，也是世界上现役航天器中最大的单体。若空间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则空间站的运行速率为()A.eq\f(gR2,2S) B.eq\f(4S2,gR2)C.eq\f(gR2,4S) D.eq\f(2S,gR2)答案A解析设空间站的轨道半径为r，质量为m，运行速率为v，地球质量为M，由扇形面积公式可知，单位时间内空间站与地心连线扫过的面积为S＝eq\f(1,2)vr，由万有引力提供向心力可知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，对于质量为m′的物体，其在地球表面受到的重力近似等于地球引力，有m′g＝Geq\f(Mm′,R2)，联立解得v＝eq\f(gR2,2S)，故B、C、D错误，A正确。2．(2023·黑龙江省齐齐哈尔市高三一模)中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统。该系统包括5颗地球同步卫星和30颗中圆轨道卫星，中圆轨道卫星的轨道半径比同步卫星的小，关于北斗卫星，下列说法中正确的是()A．中圆轨道卫星线速度比同步卫星线速度小B．中圆轨道卫星的发射速度比同步卫星发射速度小C．通过调整，可使同步卫星定点在北京上空D．同步卫星的向心加速度比地球赤道上物体随地球自转时的向心加速度小答案B解析设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径为r，线速度大小为v，对于绕地球做圆周运动的卫星，由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知轨道半径越小，卫星线速度越大，由于中圆轨道卫星的轨道半径比同步卫星的小，故中圆轨道卫星线速度比同步卫星线速度大，A错误；卫星的轨道半径越大，需要的发射速度越大，B正确；同步卫星只能定点在赤道上空，而北京不在赤道上，故同步卫星不可以定点在北京上空，C错误；同步卫星与赤道上物体随地球自转角速度相同，由a＝rω2可知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体随地球自转时的向心加速度，D错误。3．(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号”()A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间B．从P点转移到Q点的时间小于6个月C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度答案C解析“天问一号”发射后要脱离地球引力束缚，则发射速度要超过第二宇宙速度11.2km/s，故A错误；由题图可知，地火转移轨道的半长轴比地球轨道半径大，根据开普勒第三定律可知，“天问一号”在地火转移轨道上运行的周期大于地球的公转周期12个月，因此从P转移到Q的时间大于6个月，故B错误；根据开普勒第三定律，并结合停泊轨道、调相轨道的半长轴大小关系，可知“天问一号”在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；“天问一号”在P点点火加速，做离心运动进入地火转移轨道，故在地火转移轨道上P点的速度比地球环绕太阳的速度大，即v地火P>v地，“天问一号”沿地火转移轨道到达Q点之后，要加速才能进入火星轨道，即v火＞v地火Q，根据v＝eq\r(\f(GM,R))可知，地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，即v地＞v火，所以v地＞v地火Q，即“天问一号”在地火转移轨道上运动时并不是每一点的速度都比地球绕太阳的速度大，故D错误。4．(2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则()A．木卫一轨道半径为eq\f(n,16)rB．木卫二轨道半径为eq\f(n,2)rC．周期T与T0之比为neq\f(3,2)D．木星质量与地球质量之比为eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3答案D解析对环绕质量为M的行星做圆周运动的质量为m的卫星，设其轨道半径为r′，公转周期为T′，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r′2)＝meq\f(4π2,T′2)r′，可得M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)。已知木卫一、木卫二、木卫三均绕木星做圆周运动，周期之比为T1∶T2∶T3＝1∶2∶4，可得木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶eq\r(3,4)∶eq\r(3,16)，又r3＝nr，则木卫一轨道半径为r1＝eq\f(nr,\r(3,16))，木卫二轨道半径为r2＝eq\f(nr,\r(3,16))×eq\r(3,4)＝eq\f(nr,\r(3,4))，故A、B错误；由M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)得T′＝eq\r(\f(4π2r′3,GM))，则eq\f(T,T0)＝eq\r(\f(（nr）3,M木))·eq\r(\f(M地,r3))＝neq\s\up6(\f(3,2))eq\r(\f(M地,M木))，C错误；由M＝eq\f(4π2r′3,GT′2)可知，eq\f(M木,M地)＝eq\f(（nr）3,T2)·eq\f(Teq\o\al(2,0),r3)＝eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3，D正确。5．(2023·湖北高考)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出()A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前答案B解析火星和地球均绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律有eq\f(req\o\al(3,火),Teq\o\al(2,火))＝eq\f(req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))，可得火星与地球绕太阳运动的周期之比eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地)))＝eq\r(\f(27,8))，A错误；火星和地球几乎在同一平面内均沿逆时针方向绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者的相对速度最大，B正确；在星球表面，物体所受万有引力近似等于物体的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R2)，从题给条件无法求得火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝eq\f(2π,T火)，ω地＝eq\f(2π,T地)，结合A项分析知ω地>ω火，设相邻两次“火星冲日”之间的时间为t，则有(ω地－ω火)t＝2π，可得t＝eq\f(T火T地,T火－T地)＝eq\f(\r(27),\r(27)－\r(8))T地＝2.2T地>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，D错误。[B组综合提升练]6．(2023·辽宁省葫芦岛市高三下第二次模拟)神舟十五号飞船停靠天和核心舱后，中国空间站基本建成。空间站绕地球可看作做匀速圆周运动，由于地球的自转，空间站的飞行轨道在地球表面的投影如图所示，图中标明了空间站相继飞临赤道上空所对应的地面的经度。设空间站绕地球飞行的轨道半径为r1，地球同步卫星飞行轨道半径为r2，则r2与r1的比值最接近的值为()A．10 B．8C．6 D．4答案C解析由题图可知，空间站每绕地球运动一圈，地球自转转过的角度为22.5°，设空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球自转周期为T0，则有T＝eq\f(22.5°,360°)·T0＝eq\f(1,16)T0，设地球质量为M，对于绕地球做匀速圆周运动、质量为m的卫星，由万有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得卫星轨道半径r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，则有eq\f(r2,r1)＝eq\r(3,\f(Teq\o\al(2,0),T2))＝eq\r(3,162)≈6，故选C。7．(多选)航天员进入空间站绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光。如图所示，某航天员在A点测出她对地球的张角为2θ，OA与太阳光平行，下列说法正确的是()A．空间站距地面的高度为eq\f(R,sinθ)－RB．空间站的运行周期为2πReq\r(\f(R,GMsinθ))C．航天员每次经历“日全食”过程的时间为eq\f(2Rθ,sinθ)eq\r(\f(R,GMsinθ))D．航天员每天经历“日全食”的次数为eq\f(T0sinθ,πR)eq\r(\f(GMsinθ,R))答案AC解析空间站绕地球做匀速圆周运动，设空间站的轨道半径为r，由几何关系知sinθ＝eq\f(R,r)，空