专题11.5-用一元一次不等式解决问题(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

专题11.5用一元一次不等式解决问题（知识讲解）【学习目标】1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；2.熟悉常见一些应用题中的数量关系．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系1.行程问题：路程＝速度×时间2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.要点二、列不等式解决实际问题列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．特别说明：(1)列不等式的关键在于确定不等关系；(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B型车x辆”，而在答中应为“至少需要11辆B型车”．这一点应十分注意．【典型例题】类型一、行程问题1.油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．某品牌油电混动汽车售价是16.48万元，百公里燃油成本20元；同一品牌的普通汽车售价16万元，百公里燃油成本50元．问至少行驶多少公里油电混动汽车的总成本不高于普通汽车的总成本？【答案】行驶的公里数至少为16000公里．【分析】设行驶的公里数为x公里，根据题意列出不等式即可得出答案．解：设行驶的公里数为x公里，根据题意得：164800＋x≤160000＋x，解得：x≥16000．答：行驶的公里数至少为16000公里．【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．类型二、工程问题2.计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米施工任务：若甲工程队先单独施工天，再由乙工程对单独施工天，则可以完成米的施工任务．（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？（2）该河道全长米，若两队合作工期不能超过天，乙工程队至少施工多少天？【答案】（1）甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；（2）乙工程队至少施工天【分析】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据等量关系列出二元一次方程组，即可求解；（2）设乙工程队施工a天，根据不等量关系，列出一元一次不等式，即可求解．解：（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意得：，解得：，答：甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；（2）设乙工程队施工a天，根据题意得：80a+50（90-a）≥6000，解得：a≥50，答：乙工程队至少施工天【总结升华】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．举一反三：【变式】某工厂计划m天生产2160个零件，安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．（1）直接写出a与m的数量关系：；（2）若原计划16天完成生产任务，但实际开工6天后，有3名工人外出参加培训，如果剩下的工人要在规定时间里完成这批零件生产任务，每人每天至少要多加工多少个零件？【答案】（1）a＝；（2）3个【分析】（1）根据工作总量=参加工作的人数×人均工作效率×工作时间，即可得出a与m的数量关系；

（2）将m=16代入a=中求出a的值，设每人每天多加工x个零件，根据要在规定时间里完成这批零件生产任务，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小整数值即可得出结论．【详解】（1）依题意得：15am＝2160，∴a＝，即a＝．故答案为：a＝．（2）当m＝16时，a＝＝9．设每人每天多加工x个零件，依题意得：15×9×6＋（15﹣3）×（16﹣6）×（9＋x）≥2160，解得：x≥，又∵x为正整数，∴x的最小值为3．答：每人每天至少要多加工3个零件．【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出a，m之间的数量关系；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．类型三、方案选择3.（2021·浙江宁波市·八年级期末）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司购买A型号和B型号垃圾分拣机器人共60台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的1.4倍．（1）该垃圾处理厂最多购买几台A型号机器人？（2）机器人公司报价A型号机器人6万元/台，B型号机器人10万元/台，要使总费用不超过510万元，则共有几种购买方案？【答案】（1）25台；（2）3种【分析】（1）设该垃圾处理厂购买x台A型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的1.4倍”列出不等式求解即可；（2）根据“总费用不超过510万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和x为整数，即可得出共有3种方案．解：（1）设该垃圾处理厂购买x台A型号机器人．由题意得，解得，∴该垃圾处理厂最多购买25台A型号机器人；（2），解得，，且x为整数，或24或25，答：共有3种购买方案．【点拨】本题考查一元一次不等式的应用．能根据题中不等关系列出不等式是解题关键．举一反三：【变式】（2021·山东济宁市·七年级期末）某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过行程的出租车价格），超过3km行程后，其中除的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足按计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过，那么顾客还需付回程的空驶费，超过部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A处到相距（）的B处办事，在B处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处．现在有两种往返方案：方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；方案二：4人乘同一辆出租车往返．问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）【答案】当x小于5时，方案二省钱；当x=5时，两种方案费用相同；当x大于5且不大于12时时，方案一省钱【分析】先根据题意列出方案一的费用：起步价+超过3km的km数×1.6元+回程的空驶费+乘公交的费用，再求出方案二的费用：起步价+超过3km的km数×1.6元+返回时的费用1.6x+1.6元的等候费，最后分三种情况比较两个式子的大小．解：方案一的费用：7+（x-3）×1.6+0.8（x-3）+4×2=7+1.6x-4.8+0.8x-2.4+8=7.8+2.4x，方案二的费用：7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6=3.8+3.2x，①费用相同时x的值7.8+2.4x=3.8+3.2x，解得x=5，所以当x=5km时费用相同；②方案一费用高时x的值7.8+2.4x＞3.8+3.2x，解得x＜5，所以当x＜5km方案二省钱；③方案二费用高时x的值7.8+2.4x＜3.8+3.2x，解得x＞5，所以当x＞5km方案一省钱．【点拨】此题考查了应用类问题，解答本题的关键是根据题目所示的收费标准，列出x的关系式，再比较．类型四、几何问题4.（2020·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A（0，4）．B、C两点的坐标分别为B（m，0）、C（n，0），且m、n满足：．（1）求线段BC的长．（2）若点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB向终点B匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．如果时间为t，PQ的长度为d，请用含t的式子表示d．（3）在（2）的条件下，若△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一，求出t的范围．【答案】（1）BC＝8；（2）当0≤t≤时，d＝8﹣3t；当＜t≤8时，d＝3t﹣8；（3）0≤t≤或4≤t≤8．【分析】（1）解方程组可求m，n的值，即可求解；（2）分相遇前和相遇后两种情况讨论，由路程＝速度×时间，可求解；（3）分两种情况讨论，由面积公式列出不等式，即可求解．解：（1）∵m、n满足：，∴解得，∴点B（﹣5，0），点C（3，0），∴BC＝8；（2）点B（﹣5，0），点C（3，0），分两种情况讨论：当0≤t≤时，即点P、Q相遇前，d＝8﹣3t；当＜t≤8时，当P、Q相遇后，d＝3t﹣8，综上所述，d＝8﹣3t或d＝3t﹣8；（3）当0≤t≤时，∵△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一，∴×4×（8﹣3t）≥××4×8，∴t≤，∴0≤t≤；当＜t≤8时，∵△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一，∴×4×（3t﹣8）≥××4×8，∴t≥4，∴4≤t≤8，综上所述：当0≤t≤或4≤t≤8时，△APQ的面积不小于△ABC的面积的二分之一．【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，其中涉及分类讨论法、线段上的动点与线段的和差、一元一次不等式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．举一反三：【变式】如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点M从A出发，沿矩形的边A→B→C运动，速度为1.5cm/s；点N从B出发，沿矩形的边B→C→D