人教版八年级数学上册《分式的运算（第5课时）》示范教学设计

分式的运算（第5课时）教学目标1．理解负整数指数幂的意义．2．能熟练地运用整数指数幂的运算性质进行运算．教学重点掌握整数指数幂的运算性质．教学难点理解负整数指数幂的产生过程及运算性质的拓展过程．教学过程知识回顾【问题】1．你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．【答案】正整数指数幂的定义：当n是正整数时，an＝．正整数指数幂的运算性质：（1）·＝（m，n是正整数）；（2）＝（m，n是正整数）；（3）＝（n是正整数）；（4）÷＝（a≠0，m，n是正整数，m＞n）；（5）＝（n是正整数）．此外，我们还学习过0指数幂：当a≠0时，a0＝1．【问题】2．你能使用两种不同的方法计算a5÷a3（a≠0）吗？【师生活动】教师提示：根据分式的约分和同底数幂的除法进行计算，学生完成作答．【答案】方法一：a5÷a3＝＝＝a2．方法二：a5÷a3＝＝a2．【设计意图】带领学生复习已经学过的正整数指数幂的相关知识，巩固基础，为本节课学习新知识做好准备．新知探究一、探究学习【问题】你能试着计算a3÷a5（a≠0）吗？【师生活动】教师提出问题，学生思考，独立解决；教师展示学生的不同答案．【答案】由分式的约分可知，当a≠0时，a3÷a5＝＝＝①．另一方面，如果把÷＝（a≠0，m，n是正整数，m＞n）中的m＞n这个条件去掉，即假设这个性质对于这个算式也能使用，则有a3÷a5＝＝②．【思考】an中的指数n可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂an表示什么？【师生活动】教师引导学生：由①②两式，我们想到如果规定＝（a≠0），就能使÷＝这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．这样可以扩大这条性质的适用范围，同时也可以更简便地表示分式．【新知】数学中规定：一般地，当n是正整数时，＝（a≠0）．这就是说，（a≠0）是的倒数．【思考】引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，各表示什么意思吗？【师生活动】学生分组讨论，得出结论．学生回答后，师生一起总结．【答案】当m是正整数时，表示m个a相乘；当m是0时，设a≠0，即为a0，值为1；当m是负整数时，设a≠0，即为的倒数．二、典例精讲【例1】填空：（1）＝_______，＝_______，＝_______；（2）＝_______，＝_______，＝_______．【师生活动】学生独立完成，教师巡查，予以辅导，提醒学生指数的负号表示取倒数，底数的负号表示负数．【解析】（1）＝，＝，＝＝2；（2）＝＝，＝＝，＝＝．【答案】（1）2（2），．【归纳】＝（a≠0，n是正整数）这个公式也可以写成＝，其中a≠0，n是正整数，当遇到负整数指数幂的底数是分数或分式时，应用此结论比较方便．如：＝＝．【设计意图】通过例题，帮助学生更加深刻地理解负整数指数幂的含义，加深（a≠0）是an的倒数的理解．三、探究学习【问题】引入负整数指数和0指数后，·＝（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？【师生活动】教师提示：从特殊情形入手，取m，n分别为正整数和负整数、负整数和负整数、零和负整数几种情况进行研究（a≠0）．学生分组讨论，得出结论．学生回答后，师生一起总结．【答案】（1）当m，n分别为正整数和负整数时，·＝·＝＝＝，即·＝．（2）当m，n均为负整数时，·＝·＝＝＝，即·＝．（3）当m，n分别为零和负整数时，a0·＝1·＝＝＝，即a0·＝．【归纳】am·an＝这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．【思考】类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．【师生活动】学生分组讨论，进行验证．【设计意图】运用类比学习的方法，帮助学生掌握负整数指数幂的运算性质．让学生体验证明过程，提升学生的逻辑推理能力．四、典例精讲【例2】计算：（1）÷； （2）；（3）； （4）·．【师生活动】学生独立完成，教师巡查，予以辅导．【答案】解：（1）÷＝＝＝；（2）＝＝＝；（3）＝＝；（4）·＝·＝＝．【归纳】整数指数幂的计算方法（1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算．（2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式．【设计意图】通过例题，巩固整数指数幂的运算性质，培养学生的运算能力．五、探究学习【问题】能否将整数指数幂的5条运算性质进行适当合并？名称符号表示同底数幂的乘法·＝（m，n是整数）幂的乘方＝（m，n是整数）积的乘方＝（n是整数）同底数幂的除法÷＝（a≠0，m，n是整数）分式的乘方＝（n是整数）【答案】当m，n为整数时，÷＝＝＝·，即同底数幂的除法÷可以转化为同底数幂的乘法·．特别地，＝a÷b＝a·，所以＝，即商的乘方可以转化为积的乘方．【归纳】整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）·＝（m，