人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《整式的乘法（第6课时）》示范教学设计

整式的乘法（第6课时）教学目标1．探索多项式与多项式相乘的运算法则，知道推导这个法则的根据．2．能按照法则进行多项式与多项式相乘的运算．3．在经历探索的过程中，体会数形结合的思想和整体代换的思想．教学重点多项式与多项式相乘的运算法则．教学难点探索多项式与多项式相乘的运算法则．教学过程知识回顾1．p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．2．注意事项：（1）不要出现漏乘现象．（2）计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负．（3）运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．3．单项式与多项式相乘的实质是利用分配律把单项式乘多项式转化为单项式乘单项式．4．单项式与多项式相乘分三个阶段：（1）按分配律写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；（2）按照单项式与单项式相乘的运算法则运算；（3）把所得的积相加．5．单项式乘多项式，如果计算结果中有同类项，要合并同类项．新知探究一、探究学习【问题】如图，悦悦家附近的花园有一长方形草坪分成了四块区域，植上了不同种类的草皮，你能用几种方法计算这个草坪的总面积？【师生活动】学生作答，教师补充并给出正确答案．【答案】解法1：先求这块草坪的长和宽，再求面积，即总面积为(a＋b)(m＋n)．①解法2：先分别求Ⅰ，Ⅲ和Ⅱ，Ⅳ组成的草坪的面积，再把它们加起来求总面积，即总面积为a(m＋n)＋b(m＋n)．②解法3：先分别求四块草坪的面积，再求它们的和，即总面积为am＋an＋bm＋bn．③【设计意图】由生活实例引入多项式乘多项式表示面积，为下文探索多项式乘多项式的运算法则做铺垫．【问题】①②③三个式子有什么关系？【师生活动】学生作答，教师讲解新知．【答案】由于①②③表示同一个量，所以(a＋b)(m＋n)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．【新知】(a＋b)(m＋n)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．上面的等式提供了多项式与多项式相乘的法则．计算(a＋b)(m＋n)，可以先把其中的一个多项式（如m＋n）看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得(a＋b)(m＋n)＝a(m＋n)＋b(m＋n)，再利用单项式与多项式相乘的法则，得a(m＋n)＋b(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．总体上看，(a＋b)(m＋n)的结果可以看作由a＋b的每一项乘m＋n的每一项，再把所得的积相加而得到的，即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【设计意图】运用转化思想，先将多项式乘多项式转化成单项式乘多项式，然后运用单项式乘多项式的运算法则得到结果，从而可以得到多项式乘多项式的运算法则，让学生体会转化思想．二、典例精讲【例1】计算：（1）(3x＋1)(x＋2)； （2）(x－8y)(x－y)；（3）(x＋y)(x2－xy＋y2)．【答案】解：（1）(3x＋1)(x＋2)＝3x·x＋3x×2＋1·x＋1×2＝3x2＋6x＋x＋2＝3x2＋7x＋2；（2）(x－8y)(x－y)＝x2－xy－8xy＋8y2＝x2－9xy＋8y2；（3）(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3．【注意】1．用一个多项式的每一项乘遍另一个多项式的每一项，不要漏乘；在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式的项数之积．2．多项式是单项式的和，每一项都包括它前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．3．展开后有同类项要合并，需化成最简形式．【设计意图】检验学生对多项式乘多项式的运算法则的理解和掌握情况，让学生注意计算过程中需要注意的关键点．【例2】已知m2－m－2＝0，求代数式m(m－1)＋(m＋1)(m－2)的值．【答案】解：m(m－1)＋(m＋1)(m－2)＝m2－m＋m2－2m＋m－2＝2m2－2m－2＝2(m2－m)－2．因为m2－m－2＝0，所以m2－m＝2，所以原式＝2×2－2＝2．【归纳】当已知中没有直接给出字母的值时，一般按如下步骤解题：（1）把待求的代数式用已知的代数式表示出来；（2）用整体代入的方法求解．【设计意图】进一步巩固学生对多项式乘多项式的运算法则的理解和掌握情况，让学生学习整体代入的条件和方法．【例3】小莹说：“我发现不论n取怎样的正整数，代数式(n＋1)·(n2－n＋2)＋n·(2n2－1)＋1的值都是3的倍数”．她说得对吗？【答案】解：小莹的说法对，因为(n＋1)·(n2－n＋2)＋n·(2n2－1)＋1＝n3－n2＋2n＋n2－n＋2＋2n3－n＋1＝3n3＋3＝3(n3＋1)．所以不论n取怎样的正整数，给定代数式的值都是3的倍数．【设计意图】让学生知道多项式乘多项式的运算法则中，多项式不仅可以是两项，还可以是三项、四项