人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《整式的乘法（第7课时）》示范教学设计

整式的乘法（第7课时）教学目标1．根据乘、除互逆的运算关系，探索并掌握同底数幂的除法运算法则．2．探索并掌握单项式除以单项式的运算法则．3．探索并掌握多项式除以单项式的运算法则．4．准确熟练地运用法则进行整式的除法运算．教学重点整式的除法运算法则．教学难点整式的除法运算法则的探究和应用．教学过程知识回顾1．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．用一个多项式的每一项乘遍另一个多项式的每一项，不要漏乘；在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式的项数之积．3．多项式是单项式的和，每一项都包括它前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．4．展开后有同类项要合并，需化成最简形式．5．当已知中没有直接给出字母的值时，一般按如下步骤解题：（1）把待求的代数式用已知的代数式表示出来；（2）用整体代入的方法求解．新知探究一、探究学习【问题】1．计算：（1）()·28＝216； （2）()·53＝55；（3）()·105＝107； （4）()·a3＝a6．2．计算：（1）216÷28＝()； （2）55÷53＝()；（3）107÷105＝()； （4）a6÷a3＝()．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】1．（1）28（2）52（3）102（4）a32．（1）28（2）52（3）102（4）a3【设计意图】通过乘、除互逆的运算关系，让学生对同底数幂的除法运算有初步的了解和猜想．【问题】通过运算，你能否发现商与除数、被除数之间的关系？【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师讲解新知．【答案】同底数幂相除，底数没有改变，商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数．【新知】一般地，我们有am÷an＝（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，即m＝n，那么它们的商等于1．于是规定a0＝1（a≠0）．这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1．【设计意图】通过比较商、除数、被除数的指数关系，指出同底数幂相除的运算法则．说明被除式的指数等于除式的指数时的特殊情况，让学生理解和掌握0次幂的知识．【思考】你能用同样的方法探究单项式除以单项式的运算法则吗？试一试：3a2·()＝12a5c2； ()·x2y3＝－7x3y7z．利用乘法和除法互为逆运算的关系，可得12a5c2÷3a2＝()； －7x3y7z÷x2y3＝()．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】4a3c2－7xy4z4a3c2－7xy4z【设计意图】在学习了单项式的乘法运算的基础上，让学生根据乘、除互逆的运算关系填空，使其对单项式的除法有一个初步的理解．【问题】观察结果中的系数、字母及字母的指数，它们有什么规律？【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师给出正确答案并讲解新知．【答案】通过观察发现：单项式除以单项式，其结果（商式）仍是一个单项式；商式的系数＝被除式的系数÷除式的系数；（同底数幂）商的指数＝被除式的指数－除式的指数；被除式里单独有的幂，写在商式里作为因式．【新知】单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．【设计意图】通过一步步引导，归纳得出单项式除以单项式的运算法则．【思考】如果是多项式除以单项式，该怎样计算？想一想：(2m2n＋mn)÷m＝？(36x4y3－24x3y2＋3x2y2)÷(－6x2y)＝？填空：m·(2mn＋n)＝____________．＝_____________________．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】2m2n＋mn36x4y3－24x3y2＋3x2y2由除法是乘法的逆运算可知，(2m2n＋mn)÷m＝2mn＋n，(36x4y3－24x3y2＋3x2y2)÷(－6x2y)＝－6x2y2＋4xy－y．【设计意图】通过填空、比较“想一想”中的式子，让学生对多项式除以单项式形成自己的猜想．【问题】你能总结出多项式除以单项式的运算法则吗？【师生活动】学生作答，教师补充．【新知】一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．多项式除以单项式，实际上是转化为单项式除以单项式来进行计算的．【设计意图】总结多项式除以单项式的运算法则，点明将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的实质，加深学生的理解和掌握．二、典例精讲【例1】若(2a－1)0＝1，则（）．A．a＝0.5 B．a＝0 C．a≠0.5 D．a≠0【答案】C【解析】因为a0＝1成立的条件是a≠0，所以2a－1≠0，即a≠0.5．【归纳】判断0次幂成立的条件是底数不等于0，进而转化为求解不等式即可．【设计意图】检验学生对0次幂知识的掌握情况．【例2】计算：（1）x8÷x2；（2）(ab)5÷(ab)2；（3）(a＋b)4÷(a＋b)2．【答案】解：（1）x8÷x2＝＝x6；（2）(ab)5÷(ab)2＝＝(ab)3＝a3b3；（3）(a＋b)4÷(a＋b)2＝＝(a＋b)2．【归纳】同底数幂的除法，找准底数再运算只有两个幂的底数相同时，才能运用此运算法则；如果底数是一个多项式，可以把这个多项式看成一个整体．【设计意图】检验学生对同底数幂除法的运算法则的理解和掌握情况；指出当底数是多项式时，同底数幂的除法法则同样适用．【例3】计算：（1）28x4y2÷7x3y；（2）－5a5b3c÷15a4b；（3）(12a3－6a2＋3a)÷3a．【答案】解：（1）28x4y2÷7x3y＝(28÷7)··＝4xy；（2）－5a5b3c÷15a4b＝[(－5)÷15]·＝－ab2c；（3）(12a3－6a2＋3a)÷3a＝12a3÷3a－6a2÷3a＋3a÷3a＝4a2－2a＋1．【归纳】依次计算不漏项，符号变化记心间将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时，应注意逐项计算，不要漏项；并且要注意符号的变化，最后的计算结果按某一字母升幂或降幂的顺序排列．