数列专题练习答案

《数列专题练习》答案详解1．[解析]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×9,2)d＝100，①,100a1＋\f(100×99,2)d＝10.②))①×10－②整理得d＝－eq\f(11,50)，代入①得，a1＝eq\f(1099,100)，∴S110＝110a1＋eq\f(110×109,2)d＝110×eq\f(1099,100)＋eq\f(110×109,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,50)))＝110eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1099－109×11,100)))＝－110.2.[解析]设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d．∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1,a1＋7d＝5))，解得a1＝－2，d＝1.∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(1,2)(n－1)d＝－2＋eq\f(1,2)(n－1)，∵eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴数列{eq\f(Sn,n)}是等差数列，其首项为－2，公差为eq\f(1,2)，∴Tn＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.3.[解析](1)设公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5,a1＋9d＝－9))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9,d＝－2)).∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋11.(2)由(1)知Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值．4．[解析](1)设等差数列{an}的首项为a，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)∵an＝2n＋1，∴aeq\o\al(2,n)－1＝4n(n＋1)，∴bn＝eq\f(1,4nn＋1)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(n,4n＋1)，∴数列{bn}的前n项和Tn＝eq\f(n,4n＋1).5．[解析](1)由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，a1＝10，即d2－3d－4＝0.故d＝1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－eq\f(1,2)n2＋eq\f(21,2)n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝eq\f(1,2)n2－eq\f(21,2)n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)n2＋\f(21,2)n，n≤11，,\f(1,2)n2－\f(21,2)n＋110，n≥12.))6．[解析](1)由已知得Sn＝－n2＋4n，∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5，又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．∴an＝－2n＋5.(2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)·2n.Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1.两式相减得Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1＝eq\f(231－2n－1,1－2)＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)·2n＋1－14.7．[解析](1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，∴q＝1不满足题意．∴eq\f(2a11－q3,1－q)＝a1＋eq\f(a11－q2,1－q)，解得q＝－eq\f(1,2).(2)由(1)知q＝eq\f(1,2)，又a1－a3＝a1－a1q2＝eq\f(3,4)a1＝3，∴a1＝4.∴Sn＝eq\f(4[1－－\f(1,2)n],1＋\f(1,2))＝eq\f(8,3)[1－(－eq\f(1,2))n].8．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(12－3,3)＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝eq\f(b4－a4,b1－a1)＝eq\f(20－12,4－3)＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为eq\f(3,2)n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为eq\f(3,2)n(n＋1)＋2n－1.9.【答案】（1）;（2）试题分析：（1）利用，可得数列是首项为1,公比为2的等比数列，即可求出结果;（2）由（1）知，所以，利用错位相减，可得（或写成或，根据单调性即可求出结果．试题解析：解：（1）当时，；当时，，两式相减得，，又，所以是首项为,公比为2的等比数列，所以．（2）由（1）知，所以，所以，两式相减得，所以（或写成或是递增的，又考点：1．数列的递推公式；2．错位相减求和．10.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（