2024年江苏南通苏北七市高三三模高考数学试卷（含答案详解）

2024届苏北七市高三第三次调研测试数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一

并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M尤卜=4+卜N=[xb=：+1,左eZ；贝l]()

A.MjNB.NjMC.M=ND.McN=0

2.已知三个单位向量满足a=6+c，则向量6,c的夹角为()

A.2B.&C.2D.生

6336

3.某同学测得连续7天的最低气温分别为1,2,2,〃z,6,2,8(单位：。C),若这组数据的平均数

是中位数的2倍，则7〃=()

A.2B.3C.6D.7

4.已知z为复数,则“z=7'是2=蓝"的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

5.已知cos[：-e]=3cos[e+r],则sin2O=()

6.设数列｛。“｝的前”项和为S”，若S“+”=2%,则%=()

A.65B.127C.129D.255

7.已知函数的定义域为R,且/(x+1)为偶函数，〃x+2)T为奇函数.若/⑴=0,

26

则»(4)=()

k=l

A.23B.24C.25D.26

8.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为36，则该正四棱台内半径

最大的球的表面积为()

A.12兀B.277tC.—D.—

93

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知〃x)=esin(2x+：J,贝5］()

A.f(7i+x)=/(x)B./用一xj="x)

C.D.xe(0,：］,—(x)<0

10.在正方体ABC。-AgGA中，尸为。2的中点，M是底面A3CD上一点，贝|()

A.M为AC中点时，PM±ACt

B.M为AD中点时，〃平面A8G

C.满足2PM=&£)£)］的点M在圆上

D.满足直线尸“与直线AD成30。角的点M在双曲线上

11.已知2°=logMlogzb=gj，则()

A.a+2a=b+2-hB.a+b=2b+2-a

C-2fc+1>e«D-2“>e%

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设。为实数，若函数=-依?+1在X=T处取得极大值，则。的值为.

13.已知随机变量X~N(4d).若尸(X<3)=0.3，贝”(3<X<5)=,若y=2X+1,

则y的方差为.

14.已知居,心是椭圆+的左、右焦点，尸是C上一点.过点耳作直线尸月的垂

a

线心过点F?作直线尸乙的垂线上若/的交点。在c上(P,Q均在X轴上方)，且

试卷第2页，共4页

|pe|=->则c的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.在,ABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,(2b-c)cosA=acosC.

⑴求A；

⑵若ASC的面积为也,BC边上的高为1,求.ABC的周长.

16.如图，在直三棱柱ABC-ABJG中，AB=BC=2,AB上BC,Cq=2日

(1)当2时，求证：CEL平面A8G；

(2)设二面角3-AE-C的大小为。，求sind的取值范围.

17.已知函数/'(xjuci+xy-"一1(左>1).

⑴若x>-l,求〃x)的最小值;

(2)设数列｛%｝前〃项和S“，若4=[1+3],求证：s“一心2-*.

18.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为/，直线/过点歹交C于A,8两点，C在两

点的切线相交于点P，43的中点为Q,且PQ交C于点E.当/的斜率为1时，a到=8.

(1)求C的方程；

⑵若点P的横坐标为2,求|Q同；

⑶设C在点E处的切线与尸Am分别交于点M,N,求四边形ABNM面积的最小值.

19.“嫡”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大

小，一般燧越大表示随机变量的不确定性越明显.定义：随机变量X对应取值%的概率为

Pi=P(X=X),其单位为帅的熠为H(X)=-£；pJog22r且fpj=1.(当口=0,规定

»=1«=1

P,log2P,=o.)

⑴若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为机(0<相<1),正面向上的次数为X,分别比较

m=g与加=：时对应”(X)的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；

(2)若抛郑一枚质地均匀的硬币"次，设x表示正面向上的总次数，y表示第"次反面向上的

次数(0或1).M4%)表示正面向上4次且第〃次反面向上％次的概率，如〃=3时，

p(o,i)=1.对于两个离散的随机变量x,y,其单位为她的联合燧记为

O

H{X,Y)=-\^j>(%,.,0)log2p(x;,0)+^P(x,.,l)log2p(x;,1)|,且£p(x”0)+力(41)=1.

\1=1z=lJi=li=l

(i)当”=3时，求”(X,y)的值；

(ii)求证：H(X,y)<“-*(〃23).

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系.

【详角军［M={xx=左+3,左£Z1={xx=2及；1,左£Z>,

N=,x=1+1,左£z|=|xx=^^,keZ

2

因为2女+1代EZ表示所有的奇数，而上+2,左wZ表示所有的整数，则MqN,

故选：A.

2.C

【分析】对等式两边同平方即可得r入。r=-：1,再利用向量数量积定义和向量夹角范围即可

2

得到答案.

【详解】a2=b2+c2+2b-c即l=l+l+2Z?・c,

:.b'C=一1,即lxlcos(〃,c)=,则cos(A,C)=-;，

因为卜,。)£［0,兀］,.•'C夹角1，

故选：C.

3.D

【分析】根据题意分析可知：平均数为一2"1+^3"2，中位数为2,列式求解即可.

■、立口h』一、、/M/Artzt-i-rLuz/、r1+2+2+根+6+2+821+m

【详解】由t题意可知：这组数据的平均数为------------------=------,

77

除机外，将数据按升序排列可得L2,2,2,6,8,

结合加的任意性可知中位数为2,则f21+H2=2x2,解得m=7.

故选：D.

4.A

【分析】正向可得zeR,则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得a=0或6=0,则

必要性不成立.

【详解】若z=>贝UzeR,则T=k，故充分性成立；

若22=/,设z=a+6i,a,6eR,贝ljz?="+2。历-〃，z1=a1-2abi-b2,

贝1|2。6=0,。=0或万=0,，2与三不一定相等，则必要性不成立，

答案第1页，共15页

则“Z=1”是“z2=?”的充分非必要条件，

故选：A

5.B

【分析】展开同平方并结合二倍角的正弦公式即可得到关于sin26的方程，解出即可.

【详解】展开得孝(cos0+sin0)=3-(cos0-sin0),

ia

两边同平方有/(cosd+sin，)2=—(cos0-sind'y,

104

即5(1+sin26)=-(l-sin2，)，解得sin26=-,

故选：B.

6.B

【分析】降次作差得%+1=2(%-+1),再利用等比数列通项公式即可得到答案.

【详解】〃=1时，。1+1=2弓，则4=1.

〃22时，an—Sn—Sn_!=2an—[2a“_]—(〃—1)]=2a“—2%_]—1,

••a”=2a+1,..a”+1=2(+l),q+l=2w0,

.•・{4+1}是2为首项，2为公比的等比数列，，%+1=2><26=27=128,，%=127,

故选：B.

7.C

【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线x=l对称和关于点(2,1)对称，则得到其周期,

再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可.

【详解】f(x+l)为偶函数，贝iJ/(x+l)=/(-x+l)贝I/。)关于x=l对称，

/(彳+2)-1为奇函数，贝Uf(—x+2)-l=-f(x+2)+l,

即/(-x+2)+/(x+2)=2,则关于点(2,1)对称，

则由其关于尤=1对称有/⑺=/(―x+2),则/(x)++2)=2,

则f(x+2)+/(尤+4)=2,作差有/(%)=/(%+4),

・•・/(x)为周期函数，且周期为4,因为/⑴+〃3)=2,f(l)=0,则/⑶=2,

因为/(0)=〃2),/(0)+/(2)=2,则为0)=〃2)=1,

答案第2页，共15页

了(4)=/(O)=1,贝I/■⑴+/(2)+/(3)+/(4)=4,

2426

=24,£/（幻=24+0+1=25,

k=lk=l

故选：C.

8.D

【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函

数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.

【详解】作出如图所示正四棱台，其中。a为正四棱台的高，为其斜高,

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3指，

22

则4Q=应，30=40，OOX=^（3＞/5）-（4V2-V2）=373,

因为OQ=3石＞U=5,故半径最大的球不与上下底面同时相切，

鹤［=6,则Sin/OE£；=鲁=等，则NO%=三,

过O,E,g,a作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则

71

，

NQ£O=—6

则。。2=*=芈＜年=芈，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，

x/3322

即该正四棱台内半径最大的球半径r=迪，球的表面积为5=4兀户="兀.

33

答案第3页，共15页

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相

切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.

9.AC

【分析】根据正弦型函数的周期即可判断A；根据其对称性即可判断B,利用整体法求出函

数值域即可判断C；求导并举出反例即可判断D.

27r

【详解】对A,/(x)周期为万=兀,/./(兀+%)=/(兀)，故A对；

对B,令2%+:=5+左兀，ksZ,则％=二十包，左cZ,

4282

若d.一1=73成立,则/⑺关于尤=筌对称,

koJ10

令1+”=萼，解得上=:，因为&WZ,则B错误；

82168

对C,++4,1/(x)e(l,2],故C正确；

对D,f，(x)=2V2cos^2x+^,当苫=5时，则/'0)=0,则D错误，

故选：AC.

10.BCD

【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，对A计算PM.AG即可判断；对B

利用线面平行的判定定理即可判断；对C,计算得。加=0,则得到其轨迹；对D,根据

线线夹角公式得到关于尤，y的方程，化简即可.

【详解】不失一般性，设正方体棱长为2,如图建系，因为P为。2的中点，

则尸(0,0,1,4(2,0,0)6(0,2,2),

对A,M为AC中点，则加(1,1,0),正加=(LLT),AG=(-2,2,2),

•・AC；=-2+2-2=-2/0,尸河与AG不垂直，故A错误.

对B,M为AD中点时，PM//AD,,因为A3〃2G，AB=QG,

则四边形ABCR为平行四边形，则ADJ/BQ,:.PM//BQ,

因为BGu平面A^G,所以〃平面ABC一故B正确；

答案第4页，共15页

对C,令M(x,y,O),PM=^DDi=+x2=y/i,;.DM=血,

r.M在以。为圆心，血为半径的圆上，故C正确；

对D,PM=(x,AO=(2,0,0),

=cos300=IcosPM,AD\=1=——，

211W+.+iQ

化简得£一丁=[,其为双曲线方程，故D正确,

3'

故选：BCD.

11.AD

【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式e*2x+l即可判

断C；利用不等式lnx<x-l即可判断D.

【详解】对A,由图可知：y=2'与y=bg《x交点A(a,2。)，(0<a<l)

y=log)与y=的交点

根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A,2关于y=x对称，

[Q_2一。

故/…,4+2"=6+2汽故A正确；

[b=2a

对B,由A知。+6=2"+2",故B错误；

对C,由a=2-〃知2'L贝|2"+1=1+1,设/(x)=e，—x—1,xeR,

aa

贝ur(x)=e'—l,贝IJ当xe(y,o)时，r(x)<0,此时单调递减；

当xe(O,+e)时,/'(x)>0,此时单调递增；

则/(x)2/(O)=O,则eJ-120恒成立，BP%+l<e\当x=0时取等;

答案第5页，共15页

11-11i1

令x二一，则有—FlWe。，因为一。0,则—Five。，即外+1(/，故C错误;

aaaa乙十

对D,设/i(x)=lnx+l-x,%£(0,+8),则/⑴,

则当元40,1)时，r(x)>o,此时“工)单调递增；

当工£。,+“)时，/(%)<0,此时/⑴单调递减；

则/z(x)</z(l)=O,即lnx+1-1W0在(0,+a)上恒成立,

即在(0,+8)上恒成立，当％=1时取等，

令彳=[,则即因为6〉1,则则〃>/一

b\b)bbb°

故2a=6>j£故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD

选项的关键在于两个不等式e*2尤+1和InxW尤-1的运用.

12.-2

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出。的值即可.

【详解】解：//(X)=x2-2ax=x(x-2a),

令尸(%)=。，解得；％=0或X=2〃，

若函数/(x)=¥一五+1在x=T处取得极大值，

贝ij2a——4,解得a——2,

当a=-2时，/'(x)=x(x+4),/'(尤)>0nx>g!tx<Y,/'(x)<0nT<x<0

所以函数式无)在(-4,0)上单调递减，在(FT),(0,+S)上单调递增.满足题意.

故答案为：-2.

答案第6页，共15页

13.0.4##-64

5

【分析】由题意可知：〃=4,b=4,根据方差的性质可得。(y)；根据正态分布的对称性可

得P(3<X<5).

【详解】由题意可知："=4,。=4,即£>(X)=16,所以。(y)=4£>(X)=64；

因为3+5=2〃，且尸(X<3)=03,

所以P(3<X<5)=1-2P(X<3)=04.

故答案为：0.4；64.

14.叵##=布

22

【分析】设以机“)，可得4,的方程，联立方程求得结合对称性可知

m2=y,进而列式求即可得离心率.

【详解】设「(〃[,“)，耳(—G。),耳(C,O),由题意可知：m^+c,n>0,

则直线尸耳的斜率％可知4的方程为>=-竺二(x+c),

m+cn

同理可得：4的方程为>=-%

n

"(x+c)x=-m

y=-(2-c2

联立方程，解得m2-即。m—m,--------

y=—n

>=一In

因为。在。上，可知R。关于X轴对称，

且|尸@=竽，则2同=半，可得M=g,

又因为史二S=〃，即，。2="2,

n5

答案第7页，共15页

16

由题意可得：4+»2=1,整理得5/-16/-16=0,

a

c2=a2-1

4

解得/=4或/=一,(舍去)，则°2=片一1=3,

所以C的离心率为e=£

a

故答案为：f.

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的

等量关系或不等关系，然后把6用a,c代换，求e的值.

71

⑸⑴孑

(2)2"+26

【分析】利用正弦定理和三角恒等变换得cosA=g,则得到A的大小；

(2)利用三角形面积公式得税=4,再结合余弦定理得6+c的值，则得到其周长.

【详解】(1)因为(2b—c)cosA=acosC,

由正弦定理，得(2sin3-sinC)cosA=sinAcosC,

即2sin5cosA=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosA=sinB.

因为在。中，sinB^O,

所以COSA=L

2

又因为OVAVTI,所以A=].

(2)因为」ABC的面积为

所以5〃x1=yj3,得〃=.

由工匕csinA=6,即』bcx立=指，

222

所以be=4.由余弦定理，得以=b2+c2-2bccosA,BP12=b2+c2-be,

答案第8页，共15页

化简得(6+C)2=36C+12,所以(b+c)2=24,即b+c=2",

所以ABC的周长为a+b+c=2"+2后.

16.(1)证明见解析

⑵(I叫

【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，得出相关向量，求出A5-CE=0,3C-CE=。，

再结合线面垂直的判定即可；

(2)求出相关法向量，得到sin®=jg+2(6；+i)，再结合函数单调性即可得到其范围.

【详解】(1)以3cB4,3旦为基底建立如图所示空间直角坐标系，

则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),£(2,0,2目),E(0,0,2&).

当力=：时，E0,0,羊，

3I3J

(2百

所以AB=(0,-2,0),BC|=(2,0,2^),CE=-2,0,—.

I3J

所以AB-CE=0,3cl.cE=0,所以CE_LAB,CE_LBG.

又ABBG=8,ABu平面Ag,gu平面ABC1，

所以CEL平面ABG.

(2)AC=(2,-2,0),AE=(0,-2,2^2),

设平面AEC的一个法向量为4=(x,y,z),

答案第9页，共15页

ACj=02x-2y=

不妨取4=(&,&」).

AE-n1=-2y+2\/3Az=0

因为BC1平面ABE,所以平面加运的一个法向量为%=(2,0,0).

所以2卜*=金，

闯X网V62+1

所以sin0=Vl-COS20=J1=I—H7-\—C-

历“V6Z2+1122(6万+1).

又因为0<”l,易知“可=/+可，^在(0,1)上单调递减,

所以5皿6€(,近，1)

17.(1)0

⑵证明见详解

【分析】(1)求导，利用导数判断“X)的单调性，进而可得f(x)的最小值；

(2)当〃=1时显然成立，当〃22,结合(1)可得(1+%)"2丘+1,进而可得

4>差+1=费一3二+1，利用裂项相消法分析证明•

【详解】⑴因为〃x)=(l+x)J区-1伏>1),则((x)=d(l+x)i-l1

因为上〉1,贝!J左一1>0,且％>—1,

当时，则0<x+]<],可得/'(%)=左[(l+x)i—1]〈人(1—1)=0；

当彳>0时，则彳+1>1,可得尸(x)=d(l+x)iT]>MlT)=0；

可知/■(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+e)上单调递增，

所以〃x)的最小值为7(0)=0.

(2)因为为=1+:],

若〃=1,则5=4=1+<=|,满足S,-〃22-竽；

若"22,由(1)可知：f(x)=(l+x)k-kx-l>0,

答案第10页，共15页

即（1+x）"之丘+1,当且仅当％=0时，等号成立,

A门丫c71w曰J1Ynn+\n+21

々X=|一〉0,左=〃>1,XT谷1Cl—1H---->--------FA1—:----------F1,

(2)I2〃J2〃2“T2〃

33

且％=—=2-----Fl,

122

r/口cc33445n+1n+2_n+2

可得S〃>2——+-------+—一一-+•••+—：-------+n=2---------+n,

222222232〃T2〃2〃

所以S-〃>2-〃变+2；

综上所述：S,-"22-岁.

18.(l)x2=4j

⑵2

(3)3

【分析】（1）设直线/的方程为>=自+与4&,%）,2仁，%），再联立得到韦达定理式，最

后根据焦点弦公式得到P=2,则得到抛物线方程；

（2）首先得到。（2々,2^+1）,再根据导数得到两条切线方程，再计算出产的坐标，求出左值

则得到相关点坐标，即可求出|。目；

3

（3）首先证明出S四边形的皿=*S旗，，再计算出SAABP的表达式，从而得到其最小值.

【详解】（1）由题意，直线/的斜率必存在.

设直线/的方程为y=辰+~|,4（2|）,2（%2，%），

PA>O,

r,P

联立：2得f一20依一，=0,（*）,所以|%+々=2汰

=2pyx^2=­p~.

当左=1时，x1+x2=2p,

止匕时|4同=%+〉2+0=(否+[+[2+~|)+P=(%+%)+2p=8,

所以4p=8,即p=2.

所以C的方程为Y=4y.

答案第11页，共15页

（2）由⑴知,玉+/=2p左=4%,

则x°=2左，代入直线、=丘+1得力=2/+1,则A3中点。（2左,2左2+1）.

因为f=4y,所以yg,

则直线以方程为y-％=（（尤-%），即y=I尤-；X；,

同理，直线PB方程为〉=：苫2彳-；石，

所以%=（—二=与殳=23

2（%i-x2）―

山主义—日=/=_],所以尸（2匕一1）.

P444

因为辱=2,2左=2,即笈=1,此时。（2,3）,尸（2,-1）,

所以直线PQ的方程为x=2,代入d=4y,得y=l,

所以E（2,l）,所以|QE|=2.

（3）由（2）知Q（2匕2/+1）,尸（2匕-1）,

所以直线尸2方程为x=2鼠

代入炉=4「得y=2r,所以网2左,2左2）,所以E为尸。的中点.

因为C在E处的切线斜率y'=^x2k=k,

所以C在E处的切线平行于AB,

3

又因为E为PQ的中点，所以S四边形

由（1）中（*）式得炉一4fcc-4=0,所以芯+x2=4k,

因为直线A3方程为丫=履+1,

2

所以[AB〔=另+%+p=（kxi+1）+（仇+1）+2=+x2）+4=4k+4.

|2r+2I—

又尸（2左,-1）到直线AB的距离力=1.1=2病,

-I-I____3

222

所以5ABp=-|AB|-/?=--（4^+4）-2V^+l=4（^+l）2>4,

（当且仅当左=0时取“=”）

答案第12页，共15页

、3

所以S四边形一HS.p-3,

所以四边形ABMW的面积的最小值为3.

3

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是找到S四边形的阚=15救，再结合焦点弦和点到

直线距离公式得到S-BP的表达式，从而得到其最小值.

19.(1)答案见解析

⑵(i)(ii)证明见解析.

【分析】(1)根据定义代入计算，再比较大小即可;

(2)(i)根据步骤列出分布列，再计算a(x